江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年江苏省盐城市东台市第一教育联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.用配方法解方程时，原方程应变形为(

)A. B. C. D.2.已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是(

)A.平均数是4 B.众数是3 C.中位数是5 D.方差是3.已知的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是(

)A.点P在外 B.点P在内 C.点P在上 D.不能确定4.某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布这9名同学成绩的(

)A.中位数 B.众数 C.方差 D.平均数5.用半径为60，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是(

)A.10 B.20 C.30 D.406.P为内一点，，半径为5，则经过P点的最短弦长为(

)A.5 B.6 C.8 D.107.如图，点A、B、C在上，过点A作的切线交OC的延长线于点P，，，则AP的长为(

)A.3

B.

C.

D.8.如图，AB是的一条弦，点C是上一动点，且，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与交于G、H两点，若的半径为8，则的最大值为(

)A.8

B.12

C.16

D.20二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。9.若方程是一元二次方程，则m的值等于______.10.一组数据：、、、、，这组数据的方差是______.11.已知圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______.12.如果m是一元二次方程的一个根，那么的值是______.13.已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积是______.14.如图，四边形ABCD是的内接四边形，的半径为5，，则弦AC的长为______.

15.如图，的半径为6，如果弦AB是内接正方形的一边，弦AC是内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为______.

16.中，，，则的内切圆的半径长为______.17.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，满足，则a的值为______.18.如图，在中，，，，将绕点C旋转，得到，点A的对应点为，P为的中点，连接在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为______.

三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题12分

解方程：

；

用配方法；

；

20.本小题8分

如图，AB是的直径，C、D为上的点，且AD平分，作于点

求证：；

若，求AC的长．21.本小题10分

已知关于x的方程

求证：方程一定有两个不相等的实数根；

若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．22.本小题12分每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94，七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数93b众数c100方差52根据以上信息，解答下列问题：直接写出上述图表中a，b，c的值；根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由一条理由即可；该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？23.本小题10分

如图，AB是的直径，弦于点E，连接AC，

求证：；

若，，求扇形阴影部分的面积．24.本小题10分

某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．

设销售单价定为x元．据此规律，请回答：

商店日销售量减少______件，每件商品盈利______元用含x的代数式表示；

针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？25.本小题10分

在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．

问题情境：如图1，在中，，，则的外接圆的半径为______；

操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得，且不写作法，保留作图痕迹；

迁移应用：已知，在中，，，，求BC的取值范围．

26.本小题12分

如图，在中，，，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作交AC于F点，经过P、E、F三点确定

试说明：点C也一定在上．

点E在运动过程中，的度数是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由．

求线段EF的取值范围，并说明理由．27.本小题12分

如图①，在矩形ABCD中，动点P以的速度在矩形ABCD的边上沿的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示．

______cm，点Q的运动速度为______；

在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．

①当点O在QD上时，求t的值；

②当PQ与有公共点时，求t的取值范围．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

移项，得，

配方，得，

即，

故选：

移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可．

本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．2.【答案】C

【解析】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，

方差是

故选：

根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．

本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．3.【答案】C

【解析】解：圆心O的坐标为，点P的坐标为，

的半径为5，

点P在圆上．

故选：

先根据勾股定理求出OP的长，再与圆的半径相比较即可．

本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设的半径为r，点P到圆心的距离，当时，点在圆内是解答此题的关键．4.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．9人成绩的中位数是第5名的成绩．

参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【解答】

解：知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．

故选：5.【答案】B

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得

，

解得

故选：

圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．

本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．6.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用，能够正确的判断出过P点的最短弦的位置是解答此题的关键．过P点作垂直于OP的弦AB，连接OA，由勾股定理可求出PA的长，进而可由垂径定理得到弦AB的长即过P点的最短弦长

【解答】

解：如图；过P作，交于AB，连接OA，

中，，，

由勾股定理，得：，

，

故选7.【答案】D

【解析】解：

连接OA，

，

，

过点A作的切线交OC的延长线于点P，

，

，

，

故选：

连接OA，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出AP即可．

本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．8.【答案】B

【解析】解：连接OA、OB，如图所示：

，

，

，

为等边三角形，

的半径为8，

，

点E，F分别是AC、BC的中点，

，

要求的最大值，即求弦的最大值，

当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：，

的最大值为：

故选：

连接OA、OB，根据圆周角定理，求出，进而判断出为等边三角形；然后根据的半径为8，可得，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出的最大值是多少即可．

本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质等知识．确定GH的位置是解题的关键．9.【答案】0

【解析】解：方程是一元二次方程，

，

解得

故答案为：

根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是10.【答案】2

【解析】解：这组数据的平均数是：，

则组数据的方差是

故答案为：

先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．

本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差…，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11.【答案】或

【解析】解：弦AB把分成1：3两部分，

，

，

四边形ADBC是的内接四边形，

这条弦所对的圆周角的度数是：或

故答案为：或

首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得的度数，又由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案．

此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．12.【答案】

【解析】解：为一元二次方程的一个根．

，

即，

故答案为：

利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13.【答案】

【解析】解：圆锥侧面积；

故答案为：

圆锥的侧面积底面半径母线长．

考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为：圆锥的侧面积底面半径母线长．14.【答案】

【解析】解：连接OA、OC，AC，

四边形ABCD是的内接四边形，

，

，

，

，

的半径为5，

，

故答案为：

连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可．

本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15.【答案】

【解析】解：连接OA、OB、OC，作于点D，

是内接正方形的一边，弦AC是内接正十二边形的一边，

，，

，

，

，

，

，

，

故答案为：

连接OA、OB、OC，作于点D，根据AB是内接正方形的一边，弦AC是内接正十二边形的一边得到，，从而得到，然后求得BC的长即可．

考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得的度数，难度不大．16.【答案】3

【解析】解：设的内切圆为，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，

，，

，

则

，

解得：

故答案为：

设的内切圆为，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．

此题主要考查等腰三角形内切圆半径求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．17.【答案】

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

，是关于x的一元二次方程的两个实数根，

，，

，

即，

整理得：，

解得：，不合题意，舍去

故答案为：

根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，由，是关于x的一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，找出关于a的一元二次方程是解题的关键．18.【答案】11

【解析】解：连接CP，

，，，

，

将绕点C旋转，得到，

，，

为的中点，

，

在旋转的过程中，点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，

当B，C，P三点共线时，BP有最大值，

的最大值为

故答案为

连接CP，由勾股定理求出，由旋转的性质得出，，由直角三角形的性质求出，由题意得出点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，则可求出答案．

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的性质，由直角三角形的性质求出CP的长是解题的关键．19.【答案】解：，

，

，

或，

所以，；

，

，

，

所以，；

，

，

或，

所以，；

方程化为一般式为，

，

，

所以

【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；

利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；

先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；

先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为，然后解一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．20.【答案】证明：平分，

，

，

解：作于点F，如图所示：

则，

，

在和中，，

≌，

，

【解析】根据角平分线的性质可得出，由圆周角定理可得出，进而可得出，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出；

作于点F，由垂径定理可得出，由可得出，结合、即可证出≌，再根据全等三角形的性质可得出，即可得出答案．

本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．21.【答案】证明：

方程，

，

方程一定有两个不相等的实数根；

解：把代入方程可得，解得，

方程为，解得或，

方程的另一根为，

当边长为1和3的线段为直角三角形的直角边时，则斜边，此时直角三角形的周长，

当边长为3的直角三角形斜边时，则另一直角边，此时直角三角形的周长，

综上可知直角三角形的周长为或

【解析】计算该方程的判别式，判断其符号即可；

把方程的根代入可求得m的值，再求解即可，再利用勾股定理可求得直角三角形的第三边，则可求得直角三角形的周长．

本题主要考查根的判别式及勾股定理的应用，在利用根的判别式时，要熟练掌握根的个数与根的判别式的关系，在求直角三角形周长时注意分两种情况．22.【答案】解：，b，c的值分别为40，94，99；

八年级学生掌握防溺水安全知识较好，

理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．

参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数人，

答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是468人．

【解析】本题考查扇形统计图，平均数、中位数、众数、方差，用样本估计总体，属于中档题．

用整体1减去其它所占的百分比即可求出a；根据中位数、众数的定义即可求出b，c；

根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；

利用样本估计总体思想求解可得．

解：，

八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，

；

在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，；

见答案；

见答案.23.【答案】证明：是的直径，弦，

，

；

解：，，

为等边三角形，

，

，

是的直径，弦，

，，

在中，，

扇形阴影部分的面积

【解析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；

根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，求出，根据勾股定理求出OC，利用扇形面积公式计算即可．

本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．24.【答案】解：；；

由题意可得：，

解得：，舍去

答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的应用．

根据题目的条件：销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，填空即可；因为每件商品的成本为8元，所以每件商品盈利元；

由利润=每件利润销售数量建立方程求出其解即可．

【解答】

解：销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，

商店日销售量减少件，

每件商品的成本为8元．

每件商品盈利为元；

见答案．25.【答案】解：；

如图，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，

如图，作的外接圆，

，，

当时，BC为最长直径，

，

，

，，

，

，

当时，是等边三角形，

，

，

的取值范围为：

【解析】解：连接OB、OC，

，

，

，

是等边三角形，

，

的外接圆的半径为

故答案为：

见答案.

连接OB、OC，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；

作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，可得图；

作的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．

此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．26.【答案】解：由于，

经过P、E、F三点确定，由圆周角定理可知：的直径为EF，

，

点C在圆O上．

连接PC

，

是等腰直角三角形，

点P是AB的中点，

平分，

，

，

，

由于的度数不变，

的度数不会发生变化．

是等腰直角三角形，

当