【高考数学 特色题型汇编】第31讲 结构不良试题-解三角形（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习

结构不良试题——解三角形

I.从①8=£；②sinA+sinC=V^sinAsinC；③,+1中任选两个作为条件，另一

3ac2

个作为(1)小题证明的结论.

已知锐知4ABe的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且b=36,.

(1)证明：:

(2)求4BC的面积.

注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知叵=上咨0.

asinA

⑴求B.

⑵若a=21c=1,,求忸Z)|.

在①。为AC的中点，②8。为NABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线

上.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3.在①Aos导Cj=7iccos8：@2SAnc=y/3BABC：这两个条件中仔诜一个，补充

在下面的问题中，并进行解答.

问题：在二ABC中，内角A8,C的对边分别为a/,c,且.

⑴求角8;

(2)在一ABC中，b=26,求一A8C周长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

4.在AA8C中，角ARC的对边分别为a也c,下面给出有关的三个论断：①

a1+c2-b1=ac：②c=2Z?cosB；@acosC+\/3asinC=Z?+c.

化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个

论断作为结论，写出所有可能的真命题.(不必证明)

5.在二A8c中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且满足2Z?cosC=2a-c

⑴求角B；

(2)在①&A8C的外接圆的面积为野，②.ABC的周长为12,③b=4,这三个条件中

任选一个.求-ABC的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计

分.

6.a©sinB+sinC=—,②cos8+cosC=£，③b+c=5这三个条件中任选一个，

99

补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知二ABC的内角A,B.C的对边分别为a",c,且a=3,sinA=22,，

3

求.43。的面积.

7.在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。=2中，加ingC=asinB.

(I)求角4的值;

⑵在①MC=2MB,②SAABM=③sin/MBG祗这三个条件中任选一个，补充在下

面的横线上，并解答下列问题.若M为AC边上一点，且M4=MB,,求AABC

的面积S^ABC.

8.一ABC的内角A,B,。所对的边分别为4c,〃=6,〃+12cos8=2c.

(I)求A的大小；

(2)例为内一点，AM的延长线交4c于点。，,求..ABC的面积.

请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使一43c存在，并解决问题.

①M为一ABC的外心，AM=4；

②用为..A8C的垂心，MD=6

③M为..A8C的内心，AD=3y/3.

9.在AAAC中.2r*cos.4=2/?-fl.kin>4+tanC+1=tanAkinC.

⑴求。的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使./8C存在且唯一确定，并求出AB的长.

①Gc=四;②AB截得角。的角平分线的线段CD长为1；③面积为％8°=等.

10.从①(b-c)2=c『-bc,②2c=GasinC+ccosA这两个条件中选一个，补充在下面问

题中，并解答.

已知aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且.

(1)求A的值；

⑵若J8c的外接圆半径为G，求〃+c的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按

第一个解答记分)

11.在sABC中,角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,已知〃2-2Z?ccosA=/-2accosB»

c=2.

(I)证明：ABC为等腰三角形；

(2)设-ABC的面积为S,若,求S的值.

在①7cos6=2cosC；②CAC8=2S;③/+6=8/三个选项中，选择一个填入上面

空白处，并求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2JI

12.已知在AARC中.4.B,。为二个内角,a,4.：为二边，r=2/?cos«C=—

⑴求角B的大小；

(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出边二的中线的长度.

①，A8C的面积为地；

4

②.A8C的周长为4+2后.

13.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosC-ccosA=2bsinB,S.b2<a2+c2.

⑴求B；

(2)在条件①和条件②中选择一个，求,A6c的面积.

条件①：〃=&，c=2.条件②：b=6,，a+c=2.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

14.△ABC的内角A,B、C的对边分别为a,b,c,若cos*C-cos?A=sin?3-sin8sinC.

(1)求4的大小；

(2)若a=3,,请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，

求c的值.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)

©sin/?=2sinC；②〃=4sinA；ZA/lDC=—4.

15.在中，内先4,B,C所对的边分别为。，b,c,@b+°cosB=c•从条件

2

①、②中找出能使得,ABC唯一确定的条件,并求边卜的富/?.

条件①a=2,sinC=^^；条件②a=b=6.

0

16.在①(a+O)(sinA-sin8)=(c・叫sinC；®2Z?-c-2f/cosC=0；③

cos28+cos2C+sin8sinC=l+cos2A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并

解答问题.

在“ABC中，角人民C所对的边分别是以"c,.

⑴求角A；

(2)若AC=2,8c=26，点。在线段48上，且△4CZ)与△8C。的面积比为3：5,

求CD的长.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分)

人+r

17.1A8c的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知asin^----=bsinA.

2

⑴求B；

⑵若点。在边4c上(不与A,C重合),BD=g,求.ABC面积的最值.

请在①AD=DC;②ZABD=/DBC；③A。_LAC这三个条件中选择一个，补充在上

面的横线上，并完成解答.

18.在①2c=asinC+百ccosA；②Gsin(A+C)cosA=3sinAsin5：(3)

2cosA(ccos3+》cosC)=Ga,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解

答.

问题：已知二ABC中，。为四边上的一点，且BD=2AD,.

(1)若B=g,求//3C。大小；

6

(2)若CD=CB,求cosNACA.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

31

19.在^A8C中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且£=二，cosB=-.

b49

(1)证明：a=c.

(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为己知，求^AAC的面积.

条件①：△ABC的中线AO=4r；

条件②：△A8C的角平分线AE=率.

20.在①AB=2石，②/4。8=135。，③N84T>=NC这三个条件中任选一个，补充在

下面的问题中，使得问题成立，并求4。的长和..ABC的面积.如图，在..A8C中，D

?/s

为BC边上一点,AD1AC,AD=l,sinZBAC=—,,求AD的长和..ABC的

5

面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21.在△A8C中，角4B,2的对边分别为a,b,c,Ra<h<c,现有三个条件：

①a,b,c,为连续自然数；②c=2a；③C=2A.

(1)从上述三个条件中选出两个，使得aABC不存在，并说明理由；

(2)从上述三个条件中选出两个，使得aABC存在，并求AABC的面积(写出一组作答

即可)

22.在①〃2="+3/记；@cosC=->/7；③tanC=sinA这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中.

问题：在..A8C中，内角A8C的对边分别为。力,c,,c=»,点E是线段

BC上一点.

(1)若NB4E=m，求段的值；

6EC

⑵若BE=2EC,且4七二石，求二ABC的面积.

°道ln冗gZ?sin4rrsinfi+sinCa、》

23.在①(〃-+L-/r)sin8=——ac且8>:；②-------->J3a；③一；----这

\，241-cosBsin/l-sinCb-c

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

问题：在‘ABC中，角4,8,C的对边分别为a1,c,且__________.

⑴求8;

(2)若。为边4c的中点，且a=3,c=4,求中线30长.

24.的内角人,8,。的对边分别为0,4「，且.(忘吊8-8$。)=(。-/?)854.从下列

①®®这二个条件中选择一个补充在横线处,并作答.

①。为/WC的内心；②。为一"C的外心；③。为人8。的重心.

⑴求A;

(2)若〃=6,。=1(),,求.O8C的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

25.在①方sin"2=asin8；②Gasinb=b(2-cosA)这两个条件中任选一个，补充在

下面的问题中，并作答.

问题：己知_ABC中，”,6,c分别为角所对的边，.

(1)求角A的大小；

(2)已知/1B=2,4C=8,若8cAe边上的两条中线AM,8V相交于点。，求NMPN的余

弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

26.在①2asin8一力cosC-ccos8=0,@sin2A-sin2S+sin2C-\/3sinAsinC=0,③

sinAsinC-6sinB-cosAcosC=0三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.

已知锐角,ABC的内角A,B,C,的对边分别为〃，从c满足_______(填写序号即可)

⑴求8;

(2)若4=1,求〃+C的取值范围.

27.在①asin2C=4csinCcos29；②/一。2=A；这两个条件中任取一个，补充在下

面问题中,并解答补充完整的题目

在一A3C中，角AB,C所对的边分别为。b,c,S为aA4C的面积，已知.

(1)求证：A=2C；

(2)若2a=3c,且。=5,求S的值.

28.在一A8C中.48=47,D为8c边上的•点，ZZMC=9O°,再从下列三个条件中

选择两个作为已知，求△A3。的面积及的长.

①"二6；②cos/BAC=-g；③CD=3瓜.

注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答II分.

BD

29.在①(2c-4)sinC=(从+(?一片)包生(2)cos:-cosAcosC=—,(3)

植一=lanA+tan8这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，

bcosA

问题：在.SBC中，〃，b,。分别为角A,B,C所对的边，〃=26,

⑴求角B;

⑵求2a-c的范围.

30.在①2sinB=Ian4cosc+sinC,©sinA=V3sin—,③cos2A+cosA=0这三个条件中

2

仔选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答.

已知”，。，c分别是AABC三个内角A,B,C的对边，b=\,c=3,且一.

⑴求4

(2)若点。在边8C上，且BC=3BD,求AD

注：如果选择多个方案进行解答，则按第一个方案解答计分

31.在①2%sinC=^/5ccosB+csinB,②8sg=一两个条件中任选一个，补充在下

cosC2a-c

面的问题中，并解答该问题.在一ABC中，内角A、R、。所对的边分别是〃、b、c,

且________.

⑴求角8;

(2)若a+c=G，点。是4C的中点，求线段80的取值范围.

32.(sinA-sinC)«=(/?-c?)(sinB+sinC),②(2〃一c)cos4=4*；-,③

sin(B+C)=/os(8-£］这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.已知..MC

中，内角A,B,C的对边分别为mAc,且.

⑴求8

(2)若方=旧，乙钻。的平分线交AC于点。，且80=亭，求二AAC的面积.

33.在A8C中，角AB,。的对边长分别为ab,c,,.A8C的面积为S,且

4s，DJA

----=a'cosB+abcosA.

tanB

⑴求角/?的大小：

3

(2)若AB=2,8C=弓，点。在边AC上，,求8。的长.

乙

请在①AO=DC；②ZDBC=NDBA；③8。_LAC这三个条件中选择一个，补充在上

面的横线上，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

34.在①A3=2AD,②sinNACB=2sinNACO,③S诋=2S,皿这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并解答.

已知在四边形ABC。中，ZABC+ZADC=7i,BC=CD=2,且______.

(1)证明：tan/A8C=3lanN84C；

(2)若AC=3,求四边形A8C。的面枳.

35.已知..A8C的内角A,B,C所对的边分别为0,c,且sinfB+彳cos|--5.

I3J16Jd

⑴求角B的大小；

(2)若a"C为钝角三角形，,求，/WC外接圆的半径R的取值范围.

请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.①。+。=3；②

a-c=3.

参考答案:

1.（1）答案见解析

⑵|（3+石）

【分析】（1）若选①②作为条件，先通过正弦定理得出sin4=^.sinC=v%,代入②中

化简即可得结果：若选①③作为条件，通过正弦定理得出"J代入即可得证；若选②③作

为条件，通过正弦定理将边的关系化为角的关系，然后再次通过正弦定理得出结果.

（2）将（1）中的结论a-c=g，c•进行平方，结合余弦定理得出彼的值，进而可得面积.

（I）

证明：若选①②作为条件，③作为证明结论.

由正弦定理得—7=，；;=3=2#，

sinAsinCsinB

所以sinA=sinC=

276

XsinA+sinC=V6sin/4sinC,

所以仑+=后氏*金

整理得〃+c=9c,

w111

故一+-=1.

ac2

若选①③作为条件，②作为证明结论.

a_c_b

由正弦定理得=2\/6,

sinAsinCsinB

所以。=2\/6sinA,c=2x/6sinC»

所以2\/^(sinA+sinC)=—x(2>/6)2sinA.sinC,

2

故sinA+sinC=VbsinAsinC.

若选②③作为条件，①作为证明结论.

,I111

由一+-=-,得Qa+c=—ac,

ac22

由正弦定理得sinA+sinC=-asinC,

2

又sin4+sinC=\/6sinAsinC>所以gosinC=#sinAsin。,

因为sinCoO,所以三=2几，

smA

由正弦定理得迈=」一=2遍，所以sinS二3,

sinBsinA2

又故8=?.

⑵

由(1)知，a+c=^ac,两边平方得/+c?+2的=5八2,

由余弦定理得18=/+c.2_〃c，所以/+c2=18+ac，

所以/c2-12ac-72=0,

解得ac=6(G+l)或ac=6(l-G)(舍去).

故.A8C的面积S"=g"csin3=$3+G).

2.(Dy

(2)答案见解析

【分析】（I）利用正弦定理化简条件可得Gsin/3=l-cos4,从而求出8=子

（2）选择条件①：利用向量的加法和数量积运算；选择条件②：利用面积关系

5ABD+SCBD=S,\BC进行计算；

(I)

(1)由正弦定理得,-75sinBsinA=sinA-sinAcosB.

因为sinA/0,所以石sinB=l—cosB,

所以GsinB+cos8=2sinB+菅)=1,即sin(8+高=；.

又8£(0,4)，则B+g=些，所以8=4.

663

(2)

(2)选择条件①：因为E7)=BA；8C,所以,

=^l2+2xlx2x(-l)+2'j=.1,

w堂.

选择条件②：

因为BD为NABC的角平分线，所以S八瓯+S(加=S际，

则gc•怛041160。+//•忸Msin60o=g4-csinl20。，

/.^•l|«D|sin60o+^-2|^D|sin60o=1-21sinI20°

7

解得囱=早

3.⑴£

⑵6G

【分析】（1）选择①：由正弦定理化边为角即可求出；选择②：利用面积公式和数量积关系

化简可得出;

（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求出.

(1)

选择①：条件即/?sinC=，3ccosB,

由正弦定理可知，sinZ?sinC=>/5sinCcos4,

在一A6C中，B,Ce(0,4),所以sinB工O,sinCHO,

所以sinB=J5cos8,且COS8H(),即tan8=J5,所以3=g；

选择②：条件即2x」acsinB=&4cosB,

2

即sin8=>/3cosB».

在一A8C中，3w((U),所以sinBwO,贝UcosBwO,

所以tan/?=G，所以3=?.

(2)

由(1)知，B=gb=2拒

由余弦定理知：bz=a2+e2-laccos—

3

所以12-6J%/一一(，$。尸_34。得

(t?+c)2-12=3ac<

所以(a+c)W46,当且仅当。=。时，等号成立

所以求.ABC周长的最大值为6G.

4.论断①：B吟:论断②：C=23或C+23=不；论断③：A=5；所有可能的真命题有：

JJ

①©二②和①②=>③.

【分析】论断①中，利用余弦定理可求得COS。，进而得到笈；论断②中，利用正弦定理边

化角可得sinC=sin28,进而得到结论；论断③中，利用正弦定理边化角，结合两角和差公

式、辅助角公式进行化简整理得到sin(A-着)=!，由此可得A；由三角形内角和可确定结果.

【详解】论断①中，由余弦定理得：cosB=^—^-=—=-,Bw(O，G，.』=三.

2ac2ac23

论断②中，c=2Z?COSB1由正弦定理得：sinC=2sinKcosB=sin2B,

Ce(O,^),28w(0,2/r),或。+28=%，

论断③中，由正弦定理得：sinAcosC+\/3sinAsinC=sinfi+sinC»

即sinAcosC+y/3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,

sinAcosC+A/JsinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

即GsinAsinC=cosAsinC+sinC，

Cs(O,^),/.sinC*0,x/5sinA=cosA+1,

即GsinA-cosA=2sin(A-7)=l,,即sin(A-*)=g,

—y./八\4加兀57t7T7tAyr/a44

又Ae(。,4)，••^-Te~~2'~T，^--7=T»解得：K二=

o<o67663

以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：

①@=>②和①②二>③.

5.⑴8=?

⑵4后

【分析】(I)由已知，根据给的2/?cosC=2a-c,先使用正弦定理进行边角转化全部转化成

角的关系，然后再利用sinA=sin(B+C),把sinA换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据

角B的取值范闱，即可完成求解：

(2)由已知，根据第(I)问计算出的角8,若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接

圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长江然后使用余弦定理结合基本不等式求

解好的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用〃+0+c=l2,表示出三边关系，利

用余弦定理借助基本不等式求解出的最值，然后再利用基本不等式找到比与〃+c的关

系，从而求解出面积的最值：若诜③，可根据边长从角B借助余弦定理使用基本不等式直

接求解出戊的最值，即可完成面积最值得求解.

(1)

*.*2bcosC=2a-c

/.2sin£?cosC=2sinA-sinC

2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC

2sinBeesC=2sin6cosc+2cosfisinC-sinC

/.2cosAsinC=sinC

,/Ce(O,乃)

:.sinC。0

cosB=—

2

丁Be(O,^-)

••B=—

3

(2)

若选①，设一人8。的外接圆半径为R,

则3江=此星2,...夫=二

3V3

4G

b=2RsinB=2x=4

由余弦定理，得:

b2=a2+c2-2accosB

即16="+C2-ac>2ac-ac=ac，

当且仅当〃=c时，等号成立.

即.A8C的面枳的最大值为45Q

若选②・・Z+〃+c=12,：,b=\2-(a+c)

由余弦定理b2=a+c2-2accosB

[12-(。+c)F=a2+c2-ac

ac=8（o+c）-48

a+c

又>ac

2

—8（。+c）+48>0

：,a+c>24（舍）或a+c<8,当且仅当。=c时等号成立

a+c

*'•S=—flcsinB=鼠巫=473

244

当且仅当。=c时等号成立

若选③，由余弦定理，得:

b'=a2+c2-2accosB

即16="+c2-ac>2ac-ac=ac，

当且仅当〃=c时，等号成立.

，SABC='sinBwL16x

ADL222

即A8C的面积的最大值为4G

6.2>/2.

【分析】选①，由已知结合正弦定理角化边，求出。+c,再按4是锐角和钝角分类计算作

答.

选②，由已知结合余弦定理角化边，再求出〃+C,按A是锐角和钝角分类计算作答.

选③，按A是锐角和钝角分类计算作答.

【详解】选择条件①：依题意，sinB+sinC=-^=-sinA,

93

人-.c-,-T-e»ESinAsinBsinC^.5「

在二ABC中，由正弦定理----=----=-----得，b+c=-a=5,

aac3

8sA=^^=（"c）-U-

由余弦定理得:

2bc2bcbe

若A为锐角，则cosA=G7=「|j则

WObe=6»又人+c=5,解得〃=2,c=3或〃=3,c=2,

即有二ABC的面积为IbesinA=LX6X2^=2\/J,

223

若A为钝角，则cosA=71-sin24=-.11--=--,M—-1=--,有be=12,又〃+c=5,

\93be3

无解，舍去，

综上可得，ABC的面积为2&.

22222

选择条件②：因为cosB+cosC=?由余弦定理得：^+c-b+a+b-c=10>

92ac2ab9

20of)

整理得：b(a2+c2-b2)+c(a2+b2-c2)=—abc,BP(bc)(a2-b2-c2+2bc)=—abc,

而/-b1-r2=-2/jrcosA,则(0+c)(l-cos4)==学，

若A为锐角，则cosA=Jl-sin?4=Jl-'=g,有〃+c=5,

1+.AH—工in4日«+c~—(i~(b+c)2—ci~.8.

由余弦定理得：cos4=-------------=-----------------1=——I,

2bc2bcbe

则有Z?c=6,又。+c=5,解得〃=2,c=3或〃=3,c=2,

即有..ABC的面积为LesinA='x6x=2叵,

223

若A为钝角，则cosA=_Jl_sin2A=一个1一三=一;,则〃+(?=!■<3=。，舍去，

综上可得，8c的面积为2&・

③因为〃+c=5,由余弦定理COSA=_+C，_"2=("+万_/_1=9_1,

2bc2bcbe

若A为锐角，则cosA=\J[-sin2A=Jl--=-,则言■一1=!，

V93be3

则Z?c=6,又b+c=5,解得〃=Nc=3或Z?=3,c=2,

即有AABC的面积为LesinA=—x6x^^-=242.

223

若A为钝角，则cosA=—-sin2A=--=--,则9一1二一1，有。c=12,又Z?+c=5,

V93be3

无解，舍去，

综上可得，ABC的面积为2拉.

7.(Dj

(2)373

【分析】(1)由己知及正弦定理，转化得到sinW~=sinA,借助于诱导公式得到sin3=；,

*、

由不e。，不，即可求出A=[；

(2)选条件①：在△8MC中，设M8=x,利用余弦定理得解得x=2,求出nABC的面积.

选条件②：由S&\BM=G，求得A8=2.在二ABC中，设AC=x,利用余弦定理得，解得

AC=6.即可求出一A8W的面积.

选条件③：在△8MC中，由正弦定理求得CM=4.设8M=x,由余弦定理解得AC=6

即可求出AAZMJ的面积S=-AH-ACsinA=-Y2y6y—=3>j3.

ADM222

(1)

由已知及正弦定理，得sinBsin"C=sinAsin8.

2

因为8e(0,;r),则sin8w0,

所以sin8+C-sinA,

2

.B+C.(TVA\AA..AA

n即nsin-=$叫万一引=86万,贝mliljcos]=2sin5cos],

4/\4

因为4«0,乃)，则弓6o,—,cos—^0,

所以sin*"得如g即4=g.

22263

（2）

选条件①：如图，因为M4=M8,A=p则二ABM为等边三角形.

在△BMC中，设M8=工，则MC=2M8=2x.

因为8c=〃=2/»/BMC=—,

3

由余弦定理得X2+（2x）2-2A-2xcosy=（2，

即7f=28,得X=2

所以AB=x=2,AC—3A=6,的面积S△八BC=gABMCsinA=Jx2x6x^^=3\/5.

选条件②：如图，因为M4=M8，A=g,则一48M为等边三角形.

因为S。咽二G，则（力8'|]4=第482=>/5,所以A8=2.

在-ABC中，因为BC=4=2",

设AC=x,由余弦定理得4+/一2.2xcosy=（2>/7）2

即》—23一24=0,解得x=6,则AC=6.

所以二的面积S.w=-^B-Z\CsinA=-x2x6x—=3x/3.

ADM222

选条件③：如图，因为M4=M8,A=1,则为等边三角形，从而N3MC=3-,

在△8MC中，由正弦定理，得。知=生任幺丝G=26xpx^=4

sin/BMCV5/3

设由余弦定理，得/+16-2-4.。§券=(2可，g|Jx2+4x-12=0,解得x=2.

AMfUAB=AM=2>AC=6

所以二ABM的面积S=-^-ACsinA=-x2x6x^=3x/3.

/ȣ>iw22

8.⑴4=?

⑵答案见解析

【分析】(1)由余弦定理得力+12/一+厂一"=2c,b2+c2-36=2bccosA,可得cosA=1

2ac2

根据Ae(Q外可得答案；

(2)选①,设二A8C的外接圆半径为R,由正弦定理得R,M为外心得4M=，与⑶=4

盾，故不能选①.

选②，M为“8C的垂心得N8MD=/4C8,由3。=6tan/ACA,

CD=6tanNAC3,BD-CD=6^tanZABC+tanZACB=273,利用

tan(ZABC+NAC3)=-tan/BAC=一行,求得ZABC=ZAC8,可得出一ABC为等边三角形,

再由面积公式可得答案.

选③，M为二ABC的内心，所以NB/1O=/C4O=』NBAC=2,

26

be

由5"依=5."80+5l0和F弦定理可得〃+。=女，结合/+C2—36=〃C，和面积公式可得答

案；

(1)

在。中，由余弦定理得cos8=心二巨，又因为。=6,Z?+12cosB=2c,

2ac

所以"12"+""=①,整理得z^+c?—36=权,.

2ac

在_A6c中，由余弦定理得。2+c?-36=2/?CCOSA,所以权：=2/?ccosA,

即cos4=!又因为Ae(0,i),所以A=£.

23

选①,

BC=6n

设一ABC的外接圆半径为R,则在.ABC中，由正弦定理得一sinA一°、4一"，即

sin—

3

R=2s/3,因为"为外心，所以AM=2G，与4W=4盾，故不能选①.

选②，

-e一/4CB）

因为M为一A8C的垂心,所以N8WO吟-/MBD=y=ZACB,

又MD=6所以在中，BD=MDtanZBMD=75tanZACB.

同理可得CO=6tanZABC,

又囚为Q+8=6,所以石【an/A8C+V5【an/ACB=6,即

tan乙ABC+tanZACB=2后，

又因为在AABC中，tan（NA3C+ZAC13）=-tan/BAC=一6,

.tanZABC+tunZACBnr

所rr以i--------------------=-V3因此tanZA^CtanZACB=3,

1-tanZABCtanZ.ACB

故lanZ48C,1廊4。8为方程/_2>/1¥+3=0两根，BPtanZABC=tanZACB=，

因为NABC,乙4C3£（0,I）,所以NA8C=NAC8=g,所以4ABe为等边三角形,

所以S=—x62x=9VJ.

>AliC22

选③，

囚为M为-ABC的内心，所以ZBAD=^CAD=-^BAC=-,

26

由sABC=sABD+sACD,

^—bcsin—=—C'ADsin—+—bADsin—,

232626

因为人。=3\/^，所以=3>/^x1（力+c），即）+。=彳，

223

由(1)nJ得/+。2-36=bc，即S+c)2—3仇,=36,所以——3bc-36=0,

9

即0c+9)^y-4^=O,

又因为bc>0,所以bc=36,所以又改=；"csin?=gx36x等=96.

9.(1)3=9；

4

(2)若选②，AB=—；若选③，AB=8

2

【分析】（1）先由正弦定理得到2sinCcosA=2sin8-sinA,再借助正弦和角公式求出C=g.

再由正切和角公式求出A+C=与'即可求得角"

（2）若选①，由2=岑推出矛盾；若选②，由角平分线求得AC=CD=1,再由2=2^求

cV3cV3

解;

若选③,由与^=3".”?./4及£=黑求解即可.

⑴

由正弦定理得2sinCeosA=2sin8—sinA,又sinA=sin[)一(A+C)]=sin(A+C),

nl2sinCcosA=2sinAcosC+2sinCcosA-sinA,即2sinAcosC=sinA,

又sinAwO,故cosC=5，又Cw(0,;r),故C=(.

由tanA+tanC+1=tanAtariC可得tan4+tanC=-lanAtanC),

(anA+tanC

即=tan(A+C)=-l,故A+T

1-tanAtanC

⑵

.71

sin—jz

若选①，由（1）知9=当=-1

-------T77和辰=®b矛盾,二4BC不存在;

c

sinCsin—

3

若选②,

TT

由为角C的角平分线可知：Z.ACD=-又/A=2,故NAOC=4-W乃一工=二)，

61212612

.冗

,,ACsin8s,n7夜

即AC=CD=\乂=----=-=-=故日洋

tABsinC-£石

oiln1

3

此时,ABC存在且唯一确定;

.71

sin

甘、6+31T74csinB441

若选③，^BC=-=-4B.AC.sinA,又通=敬="=京'

sin

3

sin4=sin(B+C)=sin—cos—+sin—cos—+,解得AC=2,48=指；

43344

此时二44c存在且唯一确定.

10.(l)A=y

(2)6

【分析】（1）若选①，利用余弦定理即可求解；若选②，利用正弦定理，再结合辅助角公式

即可求解（2）由正弦定理求出〃，再利用余弦定理结合重要不等式即可求解

（1）

若选①：由(力一=a2-be,得//+c2-a-=be,

2

Ab-a

由余弦定理得:cosA=--------

2bc2

又因为0<4<兀，所以A=g

若选②：由2c=>/5asinC+ccosA,得2sinC=GsiMsinC+sinCcosA

即5/5sinA+cosA=2,故sinA+-^l=1

k6)

又因为OvAv九所以+=,所以A+g=g,所以A=f

666623

(2)

由正弦定理得就=2R,即看2生解得“3,

又由余弦定理得：a2=b2+c2-2Z?ccosA,即//+-bc=(b+c)*-3bc=9

所以9N("c)、勺？=”且，

当且仅当•a=c”时取等号.

所以8+c•的最大值为6.

11.(1)证明见解析

⑵答案见解析

【分析】(I)由余弦定理化简即可得出；

(2)选①，由。=乃-28化简可求出8sB=1,即可求解；

选②，由已知可得C=f,由余弦定理求得。，即可得出面积；

4

选③，由已知求出。，〃即可求出面积.

(1)

因为从一2bccosA=a2-2accosB»所以。2+c?-2bccosA=tz2+c2-2accosB，

由余弦定理可知，a2=h\即a=d即一ABC为等腰三角形；

(2)

选①，由(1)可知，A=B,所以。="一28,

所以7cosB=2cosC=2cos(4一28)=-2cos2B=2-4cos2B,

整理得48"+73人2=。，解得COS*；,

所以cosC=：cosB=：,所以sinC=Jl-cos?。，

288

又由cosB=,，可得〃=4,

a

所以S=4，心sinC=Lx4＞：4x=yf\5;

228

选②，因为C4C8=2S，所以42cosc=/sinC,解得C=f,

4

所以4=2/一2八①，得/=4+2应，S=-fz2x—=—x(4+2^)=l+V2；

222

选③，因为/+6=8c?，且a=〃，c=2,所以a=〃=4,

a2+b2-c216+16-47

所以cosC=

lab2x4x4-8,

所以sinC=Jl-cos?C=

8

所以S=L而sinC=，x4＞：4x——=y/\5.

228

12.⑴8=2

o

(2)答案见解析

【分析】（1）由正弦定理可得sinC=2sin3cos3,再由。=三和8的范围可得答案；

（2）选择（1）,由（1）可得“=〃，则S.c=g"sinC解得“，则由余弦定理可得月C边

上的中线的长度为：选择（2）：由（1）可得A=g,设4ABe的外接圆半径为R,则由正弦

6

定理可得C,则周长a+b+c=2A+x/5R解得R,由余弦定理可得4c边上的中线的长度.

(1)

*.*c=2Z>cosB,则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

，28=三，解得8=%

36

(2)