数学课堂导学离散型随机变量的数学期望

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的数学期望【例1】根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击,成绩的分布列如下：射手8环9环10环甲0。30。10。6乙0.20。50。3试比较甲、乙两射手射击水平的高低.解析：设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X1，X2,则E（X1）=8×0.3+9×0。1+10×0。6=9.3,E（X2)=8×0.2+9×0。5+10×0.3=9。1，这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高,从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大。温馨提示离散型随机变量的分布列具有的性质pi≥0，i=1,2,…,n和=1。二、利用概率知识求随机变量的分布列【例2】(2006山东高考,理20）袋中装着标有数字1，2，3,4,5的小球各2个。从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求:（1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；(3）计分介于20分到40分之间的概率。解：(1）方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同"的事件记为A,则P(A)==.方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是互斥事件,因为P(B）==.所以P(A)=1—P(B)=1=.(2)由题意，ξ所有可能的取值为2，3,4,5。P(ξ=2）=；P（ξ=3)=;P(ξ=4)=；P（ξ=5）=。所以随机变量ξ的概率分布为ξ2345P因此ξ的数学期望为Eξ=2×+3×+4×+5×=。(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间"的事件记为C,则P（C)＝P（ξ＝3或ξ=4)=P(ξ＝3）＋P(ξ=4)=。温馨提示求随机变量的分布列,首先弄清随机变量所有可能的取值,进而利用所学概率知识,求取每个值的概率，并列出表格即得分布列。三、找到随机变量的所有可能值并求每种取值的概率【例3】设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为,遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进,ξ表示停车时已经通过的路口数,求：(1）ξ的概率分布列及期望Eξ；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。解析：(1）ξ可能取的值是0，1，2，3，4,P（ξ=0）=，P(ξ=1)=·=，P（ξ=2)=（）2·=,P（ξ=3）=(）3·=，P（ξ=4)=（)4=,∴ξ的分布列是ξ01234PEξ=0+1×+2×+3×+4×=.（2)P（ξ≤3）=1—P（ξ=4）=1=.温馨提示本题的关键是正确求出各随机变量的概率值。各个击破类题演练1一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个,求其中所含白球个数的期望。解析:根据题目知所含白球数X服从参数N=10，M=5，n=4的超几何分布，则E（X)==2,所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球。变式提示1根据气象预报,某地区下个月有小洪水的概率为0。25,有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备,为保护设备有以下二种方案。方案1：运走设备,此时需花费3800元.方案2:建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.试比较哪一种方案好.解析：对于方案1，花费为3800元,损失为0元,花费与期望损失之和为3800元；对于方案2,花费为2000元损失费的分布列为损失费（元）600000概率0。010。99期望损失为60000×0.1+0×0。99=600（元），所以花费与期望损失之和为2000+600=2600（元)；比较二种方案，方案2的花费与期望损失之和较小，故方案2好。类题演练2一接待中心有A、B、C、D四部热线电话。已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0。5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响。假设该时刻有ξ部电话占线,试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.ξ可能取的值是0，1，2，3,4。解析:ξ可能取的值是0，1,2，3，4,P（ξ=0）=0。52×0。62=0.09.P(ξ=1)=×0。52×0。62+×0.52×0。4×0.6=0.3.P（ξ=2)=×0。52×0。62+×0。52×0.4×0。6+×0。52×0.42=0.37。P(ξ=3）=×0.52×0.4×0。6+×0。52×0.42=0。2。P（ξ=4）=0.52×0.42=0。04。于是得到随机变量ξ的概率分布列为ξ01234P0.090.30。370.20。04所以Eξ=0×0。09+1×0.3+2×0。37+3×0.2+4×0.04=1.8.变式提示2已知X的分布列为X-101P设Y=2X+3，则EY的值为（）A。B。4C.-1解析：EX=+=，EY=E(2X+3)=2EX+3=+3=.答案：A类题演练3已知随机变量X满足P（X=1）=0.3，P（X=2）=0。7，则EX的值为（）A。0。6B.0.7C解析:EX=1×0。3+2×0.7=1。7.答案：D变式提升3袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数ξ的概率分