数学课堂导学复数的几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析各个击破一、复数的点表示【例1】设复数z满足｜z｜=5，且（3+4i）z在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，|z-m｜=5（m∈R),求z和m的值。解：设z=a+bi(a,b∈R)∵｜z|=5,∴a2+b2=25.而(3+4i）z=（3+4i）(a+bi）=(3a-4b)+(4a+3又∵（3+4i)z在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，∴3a—4b+4a+3得b=7a∴a=±，b=±，即z=±(+i),z=±（1+7i）。当z=1+7i时，有｜1+7i-m|=5，即（1—m）2+72=50,得m=0,m=2.当z=—(1+7i）时，同理可得m=0，m=-2。类题演练1已知复数x2-6x+5+(x—2)i在复平面内对应的点在第三象限,求实数x的范围。答案：解：∵x为实数，∴x2—6x+5和x-2都是实数.∵复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限,∴∴解得1〈x〈2,即1<x<2为所求实数x的范围。变式提升1已知复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z1+(z2—2)i=2z2—(1+z1）i，求z1和z2。答案：解：由于z1、z2在复平面内的对应点关于原点对称，有z2=-z1,代入已知等式,得3z1+(—z1—2）i=—2z1—(1+z1）i.解得5z1=i。∴z1=i,z2=-i.二、复数的向量表示【例2】向量表示的复数为3+2i，将向量向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,将得到向量,分别写出。(1）向量对应的复数；(2）点′对应的复数;（3）向量对应的复数。思路分析：根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移,只要不改变方向和模的长,它们表示同一个复数，若模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解：如右图所示,O为原点，点A的坐标为（3，2)，向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O′的坐标为（—2，3）.点A′的坐标为（1，5）,坐标平移不改变的方向和模.(1)向量对应的复数为3+2i;（2）点对应的复数为-2+3i；(3）向量对应的复数为—3—2i。类题演练2已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,3+2i，—2+4i.试求：（1)表示的复数；（2)表示的复数；（3）B点对应的复数.答案：解析：(1)，∴表示的复数为—(3+2i)即-3—2i.（2），∴表示的复数为（3+2i）—（—2+4i）=5-2i.（3),∴表示的复数为（3+2i）+(-2+4i）=1+6i,即B点对应的复数为1+6i，变式提升2已知两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=—5+5i,求向量a与b的夹角.答案：解：a=(3，0），b=(-5，5)，所以a·b=-15，｜a｜=3，|b｜=.设a与b的夹角为θ,所以cosθ=。因为0≤θ≤π，所以θ=。三、复数模的几何意义【例3】设Z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）｜z｜=4；（2）2〈|z|〈4.解：(1）如左下图，复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件|z|=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆。（2）不等式2<｜z|〈4可化为不等式组如右上图，不等式|z｜<4的解集是圆｜z|=4内部所有的点组成的集合，不等式|z|>2的解集是圆|z｜=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<｜z｜<4的点Z的集合.容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心,以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示满足条件|z|=r（r为正常数）的点Z的集合是以原点为圆心、r为半径的圆.类题演练3已知点集D={z｜|z+1+i|=1，z∈C｝，试求｜z|的最小值和最大值.答案：解:点集D的图象为以点C（-1,—）为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则｜｜=｜z|。如右图,当OP过圆心C（-1，—）时，与圆交于A、B，则｜z|的最小值是|OA｜=｜OC|-1=—1=2-1=1，即|z｜min=1；|z｜的最大值是｜OB｜=|OC｜+1=2+1=3，即｜z｜max=3.变式提升3已知z=3+ai，且｜z-2｜〈2，求实数a的取值范围.答案:解法一：利用模的定义，从两个已知条件中消去z.∵z=3+ai（a∈R），由|z-2|<2，得|3+ai—2|<2，即|1+ai｜<2,∴<2,解之—<a〈.解法二：利用复数的几何意义.由条件｜z-