数学课堂导学案：三角函数的诱导公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。诱导公式【例1】求下列三角函数值：（1)sin(）；(2）cos(）;(3）tan；(4）cos（-945°）.解：（1)sin（）=-sin=—sin(4π+）=-sin=-sin（π+)=sin=（2)cos（)=cos=cos(4π+π)=cosπ=cos（π+)=-cos=。(3）tan=tan(6π+）=tan=tan（π+）=tan=tan(π-)=—tan=。(4)cos（—945°）=cos945°=cos（2×360°+225°）=cos225°=cos（180°+45°)=—cos45°=.温馨提示对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三,化为正角的三角函数,若化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数。若这时角是90°到180°间的角，再利用180°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数；若这时角是180°—270°间的角，则用180°+α的诱导公式化为0°-90°间的角的三角函数；若这时角是270°—360°间的角，则利用360°+(—α)的诱导公式化为0°-90°间的角的三角函数。（1)（2)小题解法一都是按着这样的思路求解的.【例2】（1）设f(α）=，求的值.(2)已知sin(3π+θ）=，求的值.思路分析：本题主要考查求值问题，由于所求式子比较烦琐，故应先用诱导公式化简，然后求值.解：（1）f(α）==则f（—）=。（2)∵sin(3π+θ）=,又∵sin（3π+θ）=sin(π+θ)=-sinθ,∴sinθ=。∵==2．诱导公式的应用【例3】化简(k∈Z）.解:当k为偶数时,不妨设k=2n,n∈Z，则原式====当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，则原式====。综上当k∈Z时，=-1.温馨提示对于kπ+α形式的角的三角函数，只须分k的奇、偶情况进行分类讨论，即可转化为α的三角函数，这在三角函数式的运算中经常出现，注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学好三角函数的一个重要条件。3.诱导公式的符号规律【例4】若sinθ=,则的值为__________________。解：原式=∵sinθ=，∴被求式==6.答案：6各个击破类题演练1求sin（-1200°）·cos1290°+cos（—1020°)·sin(-1050°)+tan945°的值.解:原式=-sin（3×360°+120°)·cos（3×360°+210°）-cos(2×360°+300°)·sin（2×360°+330°）+tan(2×360°+225°）=—sin(180°—60°）·cos(180°+30°）—cos（360°—60°）sin(360°-30°)+tan（180°+45°）=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=变式提升1（1）已知cos（+α）=，求cos（—α)的值.(2)已知cos(75°+α)=，其中α为第三象限角，求cos(150°-α)+sin(α—105°)的值。分析:(1）（+α)+（—α）=π.（2）（75°+α)+(105°—α)=180°，这样就可以用诱导公式求解。解：（1)cos（-α)=-cos[π-（-α)]=—cos(+α）=.（2）cos（105°-α)=cos［180°-(75°+α）］=-cos(75°+α)=。sin（α-105°）=—sin(105°-α)=—sin［180°—（75°+α)]=—sin（75°+α）.∵cos(75°+α）=＞0,又α为第三象限角,可知75°+α为第四象限角。则有sin（75°+α）=;则cos(105°—α）+sin(α-105°)==。类题演练2已知f(α)=.（1）化简f（α）;(2)若α是第三角限角，且cos（α—）=,求f(α)的值；（3）若α=,求f（α)的值。解:(1）f(α)=(2)∵cos（α—）=-sinα，∴sinα=,cosα=。∴f（α)=。（3）∵∴f（)=-cos(）=-cos（-6×2π+)=-cos=—cos。变式提升2已知f(cosx）=cos17x，求证f(sinx)=sin17x;证明：利用已知条件诱导公式，有f(sinx）=f［cos(-x)］=cos［17(-x）］=cos(8π+-17x）=cos（—17x）=sin17x.类题演练3求sin（2nπ+)·cos（nπ+)的值（n∈Z)。解：（1）当n为奇数时，原式=sin·(-cos)=sin（π-）·［-cos(π+）］=sin·cos=.(2)当n为偶数时，原式=sin·cos=sin（π—)·cos（π+)=sin·(—cos)=×(—）=。变式提升3设函数f（x）=asin(πx+α）+bcos(πx+β)其中a，b，α,β都是非零实数，且满足f(2004）=-1，求f（2005）的值.解:∵f(2004)=asin（2004π+α)+bcos（2004π+β)=—1，∴f（2005)=asin(2005π+α）+bcos（2005π+β）=asin［π+（2004π+α)］+bcos[π+(2004π+β）］=—［asin(2004π+α）+bcos（2004π+β)］=-（—1）=1。类题演练4若α+β=π,则下列各等式不成立的是(）A。sinα=sinβB.cosα+cosβ=0C。tanα+tanβ=0D。sin答案：D变式提升4在△ABC中,下列不等式一定成立的是（）A.sin=—cos