数学课堂导学案：两角和与差的正弦、余弦和正切公式（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.两角和与差的正余弦公式的应用【例1】求值：(1）cos75°；(2)sin；（3)sin（-）。思路分析：想办法利用特殊角表示所求式中的角:(1）75°=45°+30°;（2）=—;（3)sin（—）=—sin，=+。解：（1）cos75°=cos（45°+30°)=cos45°cos30°—sin45°sin30°=·—·=；（2)sin=sin（—)=sincos-cossin=·—·=；（3)sin（-）=sin(+）=—（sincos+cossin）=—(·+·）=—.温馨提示解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简。2．两角和与差的正余弦公式的灵活运用【例2】已知＜β＜α＜，cos(α-β）=,sin（α+β)=-,求sin2α的值。解:由＜β＜α＜,得α-β∈(0，），α+β∈(π，).∴sin（α—β)=。cos(α+β）=。故sin2α=sin［(α-β)+（α+β)]=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α—β)sin(α+β）=×(-）+×(-）=—。温馨提示(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,以免造成解决时不必要的麻烦。(2)要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值。(3）许多问题都给出了角的范围,解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系,从而恰当、准确求出三角函数值.3.给值求角问题【例3】已知sinα=,sinβ=，且α、β为锐角。求α+β的值.思路分析：首先选择它的某一函数值,然后求角。解:∵sinα=,α是锐角，∴cosα=。又∵sinβ=,β又是锐角，∴cosβ=.则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=。又∵sinα=＜，即sinα＜sin，∵α是锐角，∴0＜α＜。又∵sinβ=＜,即sinβ＜sin,β是锐角。∴0＜β＜。∴0＜α+β＜。∴α+β=。温馨提示三角函数中求角的问题,一般方法是：(1)求这个角的某一个三角函数值；（2）确定该角的范围。解这类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小，致使求出的角不适合题意。各个击破类题演练1不查表求cos105°和sin的三角函数值.解：cos105°=cos（60°+45°）=cos60°cos45°-sin60°sin45°=·—·=。sin=sin（π+)=-sin=-sin(-)=—(sincos—cossin)=·-·=.变式提升1求下列各式的值：（1）cos80°cos35°+cos10°cos55°；(2)sin75°—sin15°.解析:(1）原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°—35°)=cos45°=。（2)原式=sin（45°+30°)—sin(45°—30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°—sin45°cos30°+cos45°sin30°=2cos45°sin30°=2××=.类题演练2在例2中条件不变,求sin2β。解：sin2β=sin［(α+β)—（α—β）］=sin(α+β)cos(α—β）—cos（α+β）·sin(α—β)=-×—(-)×=。变式提升2已知cosα=，sin（α-β）=—，且α、β∈（0，)，求sinβ的值.解:∵cosα=，α∈(0，)，∴sinα=。又∵α、β∈（0，）,∴α—β∈（-,)。∵sin（α—β）=—,∴cos（α-β）=.∴sinβ=sin［α—（α-β）］=sinαcos(α-β)—cosαsin（α-β)=×-×（-)=.类题演练3已知π＜α＜α+β＜2π,且满足cosα=—,cos(α+β)=,求β。解：∵cosα=-,cos（α+β）=,且π＜α＜α+β＜2π,∴sinα=—,sin(α+β）=-，∴cosβ=cos［(α+β）-α］=cos(α+β）cosα+sin(α+β）sinα=×(—)+（-）×(-）=-.又易知0＜β＜π，∴β=。变式提升3已知α、β为锐角，cosα=,sin(α+β)=，求β.解：∵α为锐角且cosα＝，∴sinα=.又β为锐角，∴α+β∈（0,π)