第27章 相似 人教版数学九年级下册中考题演练(含答案)

本章中考演练一、选择题1．[2015·石家庄模拟]已知eq\f(b,a)＝eq\f(5,13)，则eq\f(a－b,a＋b)的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(9,4)D.eq\f(4,9)[解析]D先设出b＝5k，则a＝13k，再把a，b的值代入，∴eq\f(a－b,a＋b)＝eq\f(13k－5k,13k＋5k)＝eq\f(8k,18k)＝eq\f(4,9).2．[2015·嘉兴]如图27－Y－1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则eq\f(DE,EF)的值为()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)[答案]D图27－Y－1图27－Y－23．[2015·成都]如图27－Y－2，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，则EC的长为()A．1B．2C．3D．4[解析]B根据平行线段的比例关系，知eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，即eq\f(6,3)＝eq\f(4,EC)，EC＝2.故选B.4．[2015·永州]如图27－Y－3，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是()A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·ACD.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC)[解析]D在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，当∠ABD＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC或eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)时，△ADB∽△ABC，而不是eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC).故选D.图27－Y－3图27－Y－45．[2015·铜仁]如图27－Y－4，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶CE＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A．3∶4B．9∶16C．9∶1D．3∶1[解析]B∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴△DFE∽△BFA.∵DE∶EC＝3∶1，∴DE∶DC＝3∶4，∴DE∶AB＝3∶4，∴S△DFE∶S△BFA＝9∶16.6．[2014·白银]如图27－Y－5，在边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y.则在下面的函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是()图27－Y－5图27－Y－6[解析]C根据题意，知BF＝1－x，BE＝y－1，且△EFB∽△EDC，则eq\f(BF,CD)＝eq\f(BE,CE)，即eq\f(1－x,1)＝eq\f(y－1,y)，所以y＝eq\f(1,x)(0.2≤x≤0.8)，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．选项A，D的图象都是直线的一部分，选项B的图象是抛物线的一部分，选项C的图象是双曲线的一部分．故选C.7．[2014·毕节]如图27－Y－7，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于()A.eq\f(15,4)B.eq\f(12,5)C.eq\f(20,3)D.eq\f(17,4)[解析]A∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴eq\f(DC,DE)＝eq\f(AD,BD).∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8，∴AD＝3，DE＝5.又∵BD＝4，∴eq\f(DC,5)＝eq\f(3,4)，∴DC＝eq\f(15,4).故选A.图27－Y－7图27－Y－8二、填空题8．[2015·秦皇岛模拟]如图27－Y－8，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形____________(用相似符号连接)．[答案]答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等[解析]∵锐角三角形ABC的边AB和AC上的高CE和BF相交于点D，∴∠AEC＝∠BEC＝∠AFB＝∠CFB＝90°.∵∠ABF＝∠DBE，∠ACE＝∠DCF，∴△ABF∽△DBE，△ACE∽△DCF.∵∠EDB＝∠FDC，∴△EDB∽△FDC.∴△ABF∽△DBE∽△DCF∽△ACE.9．[2014·遵义]“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图27－Y－9，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，则FH＝________里．图27－Y－9[答案]1.05[解析]∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，∴△GEA∽△AFH，∴eq\f(GE,AF)＝eq\f(AE,HF).∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，∴eq\f(15,3.5)＝eq\f(4.5,HF)，∴FH＝1.05里．10．[2015·自贡]－副三角板叠放在一起如图27－Y－10，则△AOB与△DOC的面积之比为________．[答案]1∶3[解析]首先设BC＝x，根据题意可得∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∠D＝30°，即可求得CD与AB的长．因为△AOB∽△COD，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOB与△DOC的面积之比．图27－Y－10图27－Y－1111．[2014·孝感]如图27－Y－11，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝eq\f(k,x)(x>0)经过斜边OA的中点C，与另一条直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为________．[答案]6图27－Y－12[解析]如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB.∵C为Rt△OAB的斜边OA的中点，∴CE为Rt△OAB的中位线，∴△OEC∽△OBA，且eq\f(OC,OA)＝eq\f(1,2).∵双曲线所对应的函数解析式是y＝eq\f(k,x)，∴S△BOD＝S△COE＝eq\f(1,2)k，∴S△AOB＝4S△COE＝2k.由S△AOB－S△BOD＝S△OAD＝2S△DOC＝18，得2k－eq\f(1,2)k＝18，解得k＝12，∴S△BOD＝eq\f(1,2)k＝6.故答案为6.三、解答题12．[2014·岳阳]如图27－Y－13，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm.球目前在点E的位置，AE＝60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．图27－Y－13解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG.∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，∴∠BFE＝∠CFD.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF.(2)∵△BEF∽△CDF，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(BF,CF)，即eq\f(130－60,130)＝eq\f(260－CF,CF)，∴CF＝169cm.13．[2015·黄冈]已知：如图27－Y－14，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.(1)求证：∠BCP＝∠BAN；(2)求证：eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).图27－Y－14[解析](1)由AC为⊙O直径，得到∠NAC＋∠ACN＝90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°.(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，从而证得eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).证明：(1)∵AC为⊙O直径，∴∠ANC＝90°，∴∠NAC＋∠ACN＝90°.∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN.∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP＝90°，∴∠ACN＋∠PCB＝90°，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN.(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴eq\f(AM,MN)＝eq\f(CB,BP).14．[2013·绍兴]若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图27－Y－15①，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称矩形ABCD为方形．(1)设a，b是方形的一组邻边，写出a，b的值(一组即可)．(2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图②所示．①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形，为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．图27－Y－15解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6.(2)①以B4C4为一边的矩形不是方形．理由：由题意，可知eq\f(B4C4,BC)＝eq\f(16,20)，∴B4C4＝25×eq\f(16,20)＝20.∵20÷4＝5≠2，∴此矩形不是方形．②设BC边上的高为h，由题意可知，eq\f(BC,h)＝eq\f(B3C3,\f(3,5)h).若B3C3＝2×eq\f(1,5)h，则eq\f(BC,h)＝eq\f(2,3)；若B3C3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)h，则eq\f(BC,h)＝eq\f(1,6).综上所述，若以B3C3为一边的矩形为方形，则BC与BC边上的高之比为eq\f(2,3)或eq\f(1,6).15．[2013·苏州]如图27－Y－16，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长，交边AB于点E，连接BP并延长，交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD.(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x之间的函数解析式；②当x＝6时，求线段FG的长．图27－Y－16解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP.在△APB和△APD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAP＝∠DAP，,AP＝AP，))∴△APB≌△APD.(2)①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFP∽△CBP，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(FP,BP).∵DF∶