河北省衡水市衡水中学2025届高三上学期期中综合素质评价数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省衡水中学2025届高三上学期期中综合素质评价数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足iz=1−3i，则z=(

)A.5 B.10 C.5 2.设全集U=−2,−1,0,1,2,3，集合A=−1,2,B=x∣xA.1,3 B.0,1,3 C.−2,1 D.−2,0,13.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为π4，则该四棱台的体积是(

)A.76 B.726 C.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+aA.60 B.72 C.120 D.1445.已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α//β的是(

)A.l⊂α，m⊂α，且l//β，m//β B.l⊂α，m⊂β，且l//m

C.

l⊥α，m⊥β，且l//m D.l//α，m//β，且l//m6.函数fx=ex+x−4,x<1lnx,x≥1，若A.−1 B.−∞,−1 C.

−1,+∞ D.−1,−7.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=f’(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，则(

)A.函数y=f(x)+x的最大值为1 B.函数y=exf(x)的最小值为1

C.函数y=f(x)⋅ex的最大值为1 8.如图，在棱长为5的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M是侧面ADD′A′上的一个动点，点P为线段CC′上，且PC′=2,则以下命题正确的是(

)(动点的轨迹：指动点运动所形成的图形)

A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离是109

B.保持PM与BD′垂直时，点M的轨迹长度为32

C.若保持PM=26，则M的轨迹长度为43二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下是真命题的是(

)A.已知，为非零向量，若a+b>a−b，则与的夹角为锐角

B.已知，，为两两非共线向量，若a⋅b=a⋅c，则a⊥b−c

C.在三角形10.已知定义在R上的函数fx，gx，其导函数分别为f′x，g′x，f1−x=6−g′1−x，A.gx的图象关于x=1对称 B.g′x+6=g′x

C.11.已知△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=2，E，F分别在线段BA，CA上，且BE=λBA，CF=λCA(λ∈(0,1)).现将△AEF沿EF折起，使二面角A−EF−C的大小为A.若λ=12，α=π3，则点F到平面ABC的距离为32

B.存在λ使得四棱锥A−BCFE有外接球

C.若λ=13，则三棱锥F−AEB体积的最大值为1681三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D为13.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,−35)，∠AOC=α，若BC=1，则14.曲线y=lnx在Ax1,y1，Bx2,y2两点处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的面积为203，O为边BC的中点，OA=5，(1)求边BC的长;(2)求角C的正弦值．16.(本小题15分)

如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1A⊥平面ABC，AB=2A1A=2(1)证明：B1B⊥(2)求直线C1C与平面MCN17.(本小题15分)已知数列an和bn满足，a1=2，b(1)求an与b(2)记数列cn的前n项和为Tn，且cn=1bnb18.(本小题17分)如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面PBD⊥平面BEF．(1)证明：PA=PC；(2)若PB=2PD，当四棱锥P−ABCD的体积最大时，求平面PAB与平面19.(本小题17分)设y=fx是定义域为D且图象连续不断的函数，若存在区间a,b⊆D和x0∈a,b，使得y=fx在a,x0上单调递增，在x0(1)判断gx(2)已知m>1，ℎx=m+2x−x(3)设n∈R，函数Ix=x3−2nx2+4n−4xlnx−13x3+nx2−4n−4x.参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.C

6.A

7.B

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.1013.3514.1；2

15.解：(1)设OB=m，∠AOB=θ(0<θ<π)，则OC=m．

因为O为边BC的中点，所以S△ABC=2S△AOB．

因为△ABC的面积为203，所以5msinθ=203 ①．

因为OA⋅OB=20，所以5mcosθ=20 ②．

①②得tanθ=3，所以θ=π3，所以m=8，

所以BC的长为16．

(2)在△ACO16.(1)证明：因为△ABC是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB，

因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以CM⊥A1A，

因为AB∩A1A=A，AB、A1A⊂平面A1ABB1，

所以CM⊥平面A1ABB1，

又因为B1B⊂平面A1ABB1，所以CM⊥B1B，

连接AB1，易得AB1=B1B=22，

所以AB2=AB12+B1B2，所以AB1⊥B1B，

又因为AB1//MN，所以MN⊥BB1，

因为MN∩CM=M，MN、CM⊂平面MCN，

所以B1B⊥平面MCN．

(2)解：取AC中点O，连接BO，17.解：(1)an+1=2an，a1=2∵b∴b两式相减得bn+1−bn=1n所以bnn=1(2)由已知，n为奇数时，cnc1n为偶数时，cn则c2T2nT2(n+1)4n+1∴4n+1>4∴T2(n+1)>所以{T2n}对n∈N∗，T2n

18.解：(1)设AC∩BD=O，OP∩EF=Q，过点D作DH⊥BQ于H，由平面PBD⊥平面BEF，且平面PBD∩平面BEF=BQ，DH⊂平面PBD，故DH⊥平面BEF，由于EF⊂平面BEF，所以DH⊥EF；因为E，F分别为PA，PC的中点，因此EF/​/AC，因此DH⊥AC，由底面ABCD为正方形可知AC⊥BD，由于DH∩BD=D，DH,BD⊂平面PBD，因此AC⊥平面PBD，由于PO⊂平面PBD，故AC⊥PO，因为O为AC的中点，因此PA=PC；

(2)不妨设AB=2，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(−1,0,0)，D(0,−1,0)，由(1)可知，点P在yOz平面内，设P(0,y0,即y0−12当P−ABCD的体积最大时，z0此时P(0,−3,22)，则E(则FE=(1,0,0)，BE=(1设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅令a=1，则m=(1,1,设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅令z=5，则n=(0,2则cos<即平面PAB与平面BEF的夹角的余弦值为：7

19.解：(1)由gx=x2+令px=2x−sinx，则有p′x又g′0=0，所以当x<0时，g′x<0，当x>0时，g′x>0，gx所以gx(2)由题意可知：函数ℎx=m+2由于ℎ′x又当m>1时，lnm>0，则ℎ′x在所以ℎ′设qm=m+2−lnm，m>1，所以q′m所以当m>1时，qm>q1由于当m>1时，不等式m−mlnm<0等价于lnm>1故m的取值范围是e,+∞．(3)由题意得：I′=3若3x2−4nx+4n−4≥0恒成立，易知当0<x<1时，I′x<0则函数y=Ix在0,1上单调递减，在1,+∞不是山峰函数，不符合题意；因此关于x的方程3x2−4nx+4n−4=0有两个相异实根，设两根为α，β且有Δ=16n由于当x→0时，