广东省深圳市光明区实验学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷(含详解)

光明区实验学校2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共24分）1．9的算术平方根是A．3 B． C． D．2．在一个三角形中，其中有两个角分别是和，第三个角是A． B． C． D．3．某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是154．已知直线过点和点，则和的大小关系是A． B． C． D．不能确定5．下列命题中，真命题的个数为①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．46．清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一题：松林四顷，杉林三顷，共产实木五十四方；又松林两顷，杉林五顷，共产实木四十一方，问松林和杉林每顷产量几何？设每公顷松林产方木材，每公顷杉林产方木材，依题意可列方程为A． B． C． D．7．点关于直线的对称点的坐标是A． B． C． D．8．如图，是的角平分线，作的垂直平分线交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中命题一定成立的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（每题3分，共15分）9．已知一次函数与是常数，且的图象的交点坐标是，则方程组的解是．10．若函数是关于的一次函数，则．11．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是．12．如图，在△中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为．13．数学活动课上，将底边8的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点，，，四点处在同一直线上，且点与点重合，点与点重合，点恰好在与交点处，则的长是．三．解答题（共61分）14．计算或解方程组：（1）； （2）．15．某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动．【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）．【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9．【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比七年级7.57八年级7.58根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的，，的值；（2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？（3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．16．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元辆，型车的利润为元辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下：型车销售量（辆型车销售量（辆总利润（元第一周10122240第二周20153400（1）求，的值．（2）若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆．17．如图，在△中，，是斜边上的高，角平分线交于点．（1）求证：△是等腰三角形；（2）若，，求的长度．18．根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答．计算遮雨棚的高度背景素材如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？，结果精确到问题解决解决方法一如图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格：油桶层数1234遮雨棚高度（1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式；（2）当油桶层数是5层时，这样遮雨棚高度是多少？解决方法二如图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心，．（1）判断△的形状，并说明理由；（2）求出遮雨棚的高度．19．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且，则称函数为一次函数的伴随函数．例如：一次函数，它的伴随函数为．【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式．（2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格：01220①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象；②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当△的面积为8时，求的值．【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围．20．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为．材料：课本第7页介绍，美国总统伽菲尔德利用图（1）画出了图（2），验证了勾股定理．问题：（1）利用图（2），证明：；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图4中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处．①请写出，两点的坐标；②若为等腰三角形，点在轴上，请直接写出符合条件的所有点的坐标．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．9的算术平方根是A．3 B． C． D．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：．2．在一个三角形中，其中有两个角分别是和，第三个角是A． B． C． D．【解答】解：三角形两个角分别是和，第三个角是，故选：．3．某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15【解答】解：．这组数据的平均数为，此选项错误，不符合题意；．这组数据中90分出现5次，次数最多，所以这组数据的众数为90分，此选项正确，符合题意；．这组数据的中位数为，此选项错误，不符合题意；．这组数据的方差为，此选项错误，不符合题意；故选：．4．已知直线过点和点，则和的大小关系是A． B． C． D．不能确定【解答】解：，随的增大而增大，又，，故选：．5．下列命题中，真命题的个数为①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴，是真命题；③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，是真命题真命题有3个，故选：．6．清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中有这样一题：松林四顷，杉林三顷，共产实木五十四方；又松林两顷，杉林五顷，共产实木四十一方，问松林和杉林每顷产量几何？设每公顷松林产方木材，每公顷杉林产方木材，依题意可列方程为A． B． C． D．【解答】解：依题意得：．故选：．7．点关于直线的对称点的坐标是A． B． C． D．【解答】解：点关于直线的对称点的坐标是，故选：．8．如图，是的角平分线，作的垂直平分线交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中命题一定成立的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：是的垂直平分线，，故①成立；是的角平分线，点到和的距离相等，，故②成立；，，是的角平分线，，，，，，，，故③成立；根据已知不能得出，故④不成立；故选：．二．填空题（共5小题）9．已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是．【解答】解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，方程组的解是．故答案为：．10．若函数是关于的一次函数，则3．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：3．11．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是59．【解答】解，，，．故答案为：59．12．如图，在△中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为5．【解答】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，即，，，阴影部分的面积为，阴影部分的面积为5，故答案为：5．13．数学活动课上，将底边8的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点，，，四点处在同一直线上，且点与点重合，点与点重合，点恰好在与交点处，则的长是3．【解答】解：由图1及等腰三角形的性质可知，，，，如图2，，，，，，设，则，在中，，，，，故答案为：3．三．解答题（共7小题）14．计算或解方程组：（1）； （2）．【解答】解：（1）原式＝＝4．（2）原方程组变形为，①②得：，解得，将代入①得：，解得．原方程组的解为．15．某校为了了解学生掌握劳动教育知识的情况，举行了“劳动光荣”为主题的知识竞答活动．【收集数据】从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）．【整理数据】将抽取的七年级的20名学生的成绩进行整理，得出了以下信息．七年级20名学生的测试成绩为：9，9，8，5，8，7，6，6，9，7，6，7，9，7，10，6，7，8，7，9．【描述数据】根据统计数据得到八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：【分析数据】七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比七年级7.57八年级7.58根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的，，的值；（2）该校七、八年级共1600名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？（3）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握劳动教育知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．【解答】解：（1）由题中数据可知七年级20名学生的测试成绩为7分的人数最多，；八年级学生的成绩按顺序排列后位于最中间的两名同学的成绩分别为7分和8分，；由题中数据可知八年级学生成绩为8分及以上的人数有（人，；（2）（人，答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是1480人；（3）我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好，理由如下：因为七年级、八年级学生知识竞答活动的平均分一样均为7.5分，但是八年级的中位数为7.5分大于七年级的中位数7分．因此我认为八年级学生掌握劳动教育知识较好．16．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元辆，型车的利润为元辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下：型车销售量（辆型车销售量（辆总利润（元第一周10122240第二周20153400（1）求，的值．（2）若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆．【解答】解：（1）根据题意得，解得；（2）设这天型车和型车分别卖出了辆、辆，根据题意得，整理得，解得或或，所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆．17．如图，在△中，，是斜边上的高，角平分线交于点．（1）求证：△是等腰三角形；（2）若，，求的长度．【解答】（1）证明：平分，，，，，，，，，，△是等腰三角形；（2）解：作于点，如图所示，，平分，，，，，，，，即，解得，由（1）知：，，即的长度为3．18．根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答．计算遮雨棚的高度背景素材如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？，结果精确到问题解决解决方法一如图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格：油桶层数1234遮雨棚高度（1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式；（2）当油桶层数是5层时，这样遮雨棚高度是多少？解决方法二如图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心，．（1）判断△的形状，并说明理由；（2）求出遮雨棚的高度．【解答】解：解决方法一（1）由表格可知：第一层，遮雨棚高度为，第二层，遮雨棚高度为，第三层，遮雨棚高度为，则遮雨棚高度和层数的关系式为：；（2）当油桶层数是5层时，遮雨棚高度为：；解决方法二（1）△等边三角形，理由如下：，，，，△为等边三角形；（2）于，△为等边三角形，，，在△中，，，油桶的最高点到地面的距离．答：遮遮雨棚的高度约为．19．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且，则称函数为一次函数的伴随函数．例如：一次函数，它的伴随函数为．【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式．（2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格：012020①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象；②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当△的面积为8时，求的值．【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围．【解答】解：（1）由新定义知，函数为一次函数的伴随函数，的伴随函数为，故答案为：；（2）①当时，，当时，，补全表格如下：01