第四章 数列 章末检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册一、单选题1．已知数列，，，，，，，则是这个数列的（）A．第项 B．第21项 C．第项 D．第19项2．将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（

）

A．59 B．60 C．61 D．623．将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（

）A．55 B．77 C．91 D．1134．为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（

）A．3.5小时 B．246分钟C．4小时 D．250分钟5．设为等比数列的前n项和，若，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．56．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．项 D．项二、多选题7．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．8．若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．，三、填空题9．数列的一个通项公式．10．对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为．如下，给出，，…，，在中，有，．

，

，，

，，，，

，，，，，，

，，，，，，，，，，已知，则，．11．对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列bn满足，且为bn的二阶差分数列，则数列bn的前项和．12．利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是．四、解答题13．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式．14．已知是等差数列的前n项和，且，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前100项和.15．已知数列是公差为的等差数列，且，数列bn是等比数列，且，．(1)求和bn的通项公式；(2)设（），求数列的前项和；(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围．16．已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．参考答案：题号12345678答案CCCCCDBCDAC1．C【分析】令，解出即可得.【详解】令，解得，所以是这个数列的第项.故选：C.2．C【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得．【详解】由题意得，，，…，所以，．因此．故选：C．3．C【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解.【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为，不难发现，所以，得，当时，也符合上式，所以，第9个“拐角数”是，故C对；其他都不是拐角数，故选：C4．C【分析】根据等差数列求和公式计算可得结果.【详解】依题意可得，小张从11月1日开始，第1天､第2天､､第15天的运动时长依次成等差数列，且首项为2，公差为2，所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为分钟小时.故选：C5．C【分析】设等比数列的公比为，易得，再根据等比数列的性质可得，，进而结合等比数列的前项和公式求解即可.【详解】设等比数列的公比为，显然，由，，得，则，即，所以.故选：C.6．D【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可【详解】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D7．BCD【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D.【详解】对于A，B，，所以当时，，又，则，所以，故A错，B对；对于C，，，，故C对；对于D，，，当时，，，，故D对；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案.8．AC【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可.【详解】对于选项A：小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，因为，故A正确；对于选项B：因为当时，，故B错误；对于选项C：小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，，，，，，，，，，，，，共有个，所以，故C正确；对于选项D：当时，因为，故D不正确；故选：AC9．【分析】根据题意，观察数列项的特点，即可得到其通项公式.【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍，则通项公式为.故答案为：10．23【分析】结合题意根据阶Farey数列的定义及性质分析即可求解.【详解】分母为6的既约真分数有，共2个；分母为7的既约真分数有，共6个；分母为8的既约真分数有，共4个，由题意得，所以，与100互质的数是不含有2和5的数，即个位是1,3,7,9的数都与100互质，所以与100互质的数共有40个，即分母为100的既约真分数有个，又，所以，由题意可知阶Farey数列，每一阶最中间的数都为，且关于对称的两数之和为1，所以利用倒序相加法可得，所以.故答案为：23；.【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略：（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.11．【分析】根据题意得到，变形得到是首项为，公差为的等差数列，从而求出，利用错位相减法求和，得到答案.【详解】因为为bn的二阶差分数列，即，由，故，可知，即，得，所以，又，故数列是首项为，公差为的等差数列，因此，，所以①，得②，得，故．故答案为：12．【分析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案.【详解】当时，左边式子为，当时，左边式子为，故左边增乘的因式是．故答案为：．13．【分析】根据题意，当时，，作差化简得，利用累乘法，即可求得答案。【详解】因为，所以当时，，两式作差可得，整理得，因为，，令，则，所以，所以，所以，则，当时，也符合上式，综上，.14．(1)(2)200【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）求出，利用分组求和公式得到答案.【详解】（1）设公差为d，结合题设有，解得，则故的通项公式为.（2），所以.15．(1)，；(2)；(3)【分析】（1）根据等差数列与等比数列的基本量求解首项、公比即可得和bn的通项公式；（2）根据数列的通项，奇数部分通项进行裂项，然后分奇偶求和即可得数列的前项和；（3）根据等差数列的性质可得，利用含参不等式孤立参数可得对恒成立，令，判断其单调性得最值即可得实数的取值范围．【详解】（1）由题可知数列是公差为的等差数列，且，则，解得，所以，设等比数列bn的公比为，且，，则，解得，所以，所以和bn的通项公式为，．（2）由（1）得为，，所以，因为当为奇数时，则，所以求数列的前项和为故；（3）由题意可得，由，得，所以对恒成立，令，则当时，，当时，，当时，，所以最大，所以．16．；证明见解析【分析】根据递推关系先求前四