2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x2m−yA.与m有关，但与n无关 B.与m有关，且与n有关

C.与m无关，但与n有关 D.与m无关，且与n无关2.正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为(

)A.43 B.83 C.3.一个电子产品由A，B两部分元器件组成，两部分有任何一部分损坏，该产品就无法正常工作.若使用1年后，A部分损坏的概率为0.1，B部分损坏的概率为0.05，且这两部分损坏与否相互独立，则该电子产品使用1年后无法正常工作的概率为(

)A.0.15 B.0.005 C.0.14 D.0.1454.已知圆C1：x2+y2+4x−45=0和圆CA.x29+y24=1 B.5.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两焦点分别为F1，FA.y=±23x B.y=±32x6.已知抛物线y2=8x的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆(x−5)2+(y−1)A.6 B.7 C.8 D.97.已知A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，点P(1,1)，且PA⊥PB，则A.2 B.6+2 8.若椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，且P在第一象限，△PF1F2的内心为A.−13 B.−14 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则(

)A.取出的球颜色全不相同的概率为29 B.取出的球颜色不全相同的概率为23

C.取出的球恰有2次红球概率为29 10.已知点C(2,1)，圆C1：(x−2)2+(y−1)2=1和圆C2：(x−2)2+(y−1)2=25，过圆CA.圆E的半径为定值B.圆E一定与圆C2相切

C.|AB|的值可能等于2D.当点P的坐标为(−1,5)时，直线AB的方程为11.平面内到两个定点距离之积为定值的点的轨迹被称为“卡西尼卵形线”.若F1(−1,0)，F2(1,0)是平面内的两个定点，平面内满足|PF1|⋅A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.动点P的横坐标的取值范围是[−2,2]

C.|OP|的取值范围是[2,4]

D.△PF1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线y=2x2的准线方程为______．13.当点P(−1,2)到直线(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0的距离最大时，实数λ=______．14.已知椭圆C：x26+y22=1，过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若点B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

甲、乙两人进行一次围棋对抗赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在每局中，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，各局比赛结果相互独立.已知前两局中，甲、乙各胜1局．

(1)求再赛两局比赛就结束的概率；

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．16.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过点(1,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|的最小值为4．

(1)求p的值；

(2)若线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为49，求直线l17.(本小题15分)

如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=CA=4，AD=DF=FC=2，N为DF的中点，二面角D−AC−B的大小为θ．

(1)求证：AC⊥BN；

(2)若θ=2π3，求三棱台ABC−DEF的体积；

(3)若A到平面BCEF的距离为43318.(本小题17分)

已知椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点(其中点A在x轴的上方)，点M，N分别为椭圆C的左、右顶点．

(1)若AB的垂直平分线交x轴于点D，O为坐标原点.求|OD|的取值范围；

(2)若直线MA和NB相交于点T，试探究T19.(本小题17分)

如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为x2+y2=32，过圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点．

(1)求双曲线E的方程；

(2)求证：∠AOB=π

参考答案1.A

2.B

3.D

4.D

5.C

6.A

7.B

8.A

9.AC

10.ABD

11.ABD

12.y=−113.−314.−6

15.解：每局中，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，各局比赛结果相互独立，

(1)用Ai表示事件“第i局甲胜”，Bi表示事件“第j局乙胜”(i,j=3,4,5)，

设“再赛两局结束这次比赛”为事件A，

则P(A)=P(A3A4+B3B4)，

因为A3A4，B3B4互斥，且A3，A4，B3，B4两两相互独立，

所以P(A)=P(16.解：(1)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过点(1,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，

设直线l的方程为x=my+1，

将其代入抛物线方程得y2−2pmy−2p=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则y1+y2=2pm，y1⋅y2=−2p，

由|AB|=(x1−x2)2+(y1−y2)2=1+m2|y1−y2|=1+m2⋅4p2m2+8p

=217.(1)证明：取AC的中点为M，连接NM，BM，

∵AC/​/DF，且AD=FC=2，

∴四边形DACF为等腰梯形，

又∵M，N分别为AC，DF的中点，

∴MN⊥AC，

∵AB=BC，∴BM⊥AC，

∵BM∩MN=M，且BM，MN⊂平面BMN，

∴AC⊥平面BMN，而BN⊂平面BMN，则AC⊥BN；

(2)解：由(1)可知，NM⊥AC，BM⊥AC，

则∠NMB为二面角D−AC−B的平面角，

当θ=2π3时，∠NMB=2π3，棱台的高等于MN⋅sinπ3，

由AD=DF=FC=2，AC=4，得MN=22−12=3，

又∵棱台的上、下底面面积分别为S△DEF=34⋅22=3，S△ABC=34⋅42=43，

∴棱台ABC−DEF的体积为V=13(3+43+3⋅43)⋅3⋅32=732；

(3)解：由(1)知，∠NMB=θ∈(0,π)，

以M为坐标原点，分别以MA、MB所在直线为x、y轴，

过点M作垂直于平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系，

可得18.解：(1)由题，可设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中点G的坐标为(x0,y0)，

联立y=k(x−1)x22+y2=1，化简得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，

所以x1+x2=4k21+2k2，x1⋅x2=2k2−21+2k2，

则x0=x1+x22=2k21+2k2，y0=k(x0−1)=−k1+2k2，

所以AB的垂直平分线方程为y+k19.解：(1)∵双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为2，

∴2a=2，ca=2，∴a=1，c=2，又∵b2=c2−a2=3，

∴双曲线E的方程为x2−y23=1．

(2)证明：①当直线l的斜率不存在时，不妨取P