2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|y=x−1A.[−1,1] B.[−1,1) C.[−3,1] D.[−3,1)2.若复数z满足1−z=2i+iz，则复数z在复平面内所对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若a和b是两个互不相等的正实数，则“a+b=2”是“logab<0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a，b是两个非零平面向量，a⊥(3b−2a)，则b在A.a B.12a C.235.在平面直角坐标系中，将角α的终边顺时针旋转π4后经过点(1,−2)，则sinα=(

)A.1010 B.−1010 6.定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x+1，若函数ℎ(x)=g2(x)−2mf(x)(m∈R)的最小值为−12A.1 B.3 C.22 7.数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为Sn,bn=|sinnπ2A.10221023 B.20462047 C.409440958.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)为f(x)的导函数，满足2(f(x)+x2)=x(f′(x)+x)，f(1)=−32，则A.−e B.e C.−e2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数最小值为4的是(

)A.y=x2−2x+3 B.y=2x+10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω>0)，则下列说法正确的是A.当ω=1时，f(x)的最小正周期为2π

B.函数f(x)过定点(0,1)

C.将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数ℎ(x)的图象，若函数ℎ(x)是偶函数，则ω的最小值为12

D.函数g(x)=f(x)−3在区间[0,π]上恰有511.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是A1DA.△EFG的面积为32

B.三棱锥P−EFG体积的最大值为34

C.若A1P//平面EFG，则点P的轨迹长度为62

D.当点P为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=2x,x≤1x2−7x+13,x>113.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A=sinC，a=2，c=1，则b=______．14.记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，函数f(x)=x22+lnx−(an+2)x均存在两个极值点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6−a3=9，S5=15．

(1)求数列{an}的通项公式an及前16.(本小题15分)

如图所示，C，D分别为半圆锥PAB的底面半圆弧上的两个三等分点，O为AB中点，E为母线PB的中点．

(1)证明：DE//平面PAC；

(2)若△PAB为等边三角形，求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值．17.(本小题15分)

函数f(x)=(1−x)eax−x−1，其中a为整数．

(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；

(2)当x∈(0,+∞)时，f(x)<0恒成立，求a18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinAsinB+cos2B=1，1+3c2=23bcsinA．

(1)求a；

(2)求△ABC的面积；

(3)在△ABC所在的平面内有一动点D(x,y)19.(本小题17分)

设f′(x)为函数f(x)的导函数，若f′(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数，区间D称作函数f(x)的凹区间；反之，则称f(x)为区间D上的凸函数，区间D称作函数f(x)的凸区间．

(1)已知函数g(x)=lnx+12x2，求g(x)的凹、凸区间；

(2)如图所示为某个凹函数y=m(x)的图象，在图象上任取两个不同的点A(x1,m(x1))，B(x2,m(x2))，过线段AB的中点C作x轴的垂线，与函数图象和x轴分别交于D，E两点，则有|CE|>|DE|

参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.B

8.D

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.1

13.2

14.3−215.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由2a6−a3=9，S5=15，

得2a1+10d−a1−2d=a1+8d=9，且5a1+10d=15，

联立解得a1=d=1，故an=1+n−1=n；

Sn=n+n(n−1)2=n16.解：(1)证明：根据C，D分别为底面半圆弧上的两个三等分点，可知CD/​/AB且CD=12AB，

如果F是PA中点，E为母线PB的中点，那么易知EF=12AB且EF/​/AB，

因此EF//CD且EF=CD，那么EFCD为平行四边形，所以CF/​/DE，

根据DE⊄面PAC，CF⊂面PAC，所以DE/​/平面PAC．

(2)作DH⊥PA，DG⊥AB，连接HG，如上图所示，

根据题意，面PAB⊥面ABDC，PO⊂面PAB，PO⊥AB，面PAB∩面ABDC=AB，

因此PO⊥面ABDC，又因为DG⊂面ABDC，所以PO⊥DG，

又因为PO∩AB=O都在面PAB内，那么DG⊥面PAB，又因为PA⊂面PAB，

因此DG⊥PA，又由于DG∩DH=D都在面DHG内，所以PA⊥面DHG，

根据GH⊂面DHG，那么PA⊥GH，并根据DH⊥PA，且DH⊂面PAD，GH⊂面PAB，

因此平面PAD与平面PAB的夹角为∠DHG或其补角，

设△PAB的边长为2，那么PA=2，根据题设易知∠BAD=30°，所以DG=32，AD=3，

在三角形PAD中AD上的高ℎ=4−34=13217.解：(1)当a=1时，函数f(x)=(1−x)ex−x−1，所以f(1)=−2，

而导函数f′(x)=−ex+(1−x)ex−1=−xex−1，那么f′(1)=−e−1，

因此f(x)在x=1处的切线方程为y+2=(−e−1)(x−1)，

所以(e+1)x+y+1−e=0．

(2)当x∈[1,+∞)时，(1−x)eax≤0，那么f(x)<0恒成立，

当x∈(0,1)时，根据函数f(x)<0，得(1−x)eax−x−1<0，

所以eax<x+11−x，那么ax<lnx+11−x=ln(x+1)−ln(1−x)，

所以ln(x+1)−ln(1−x)−ax>0对于x∈(0,1)恒成立，

设函数g(x)=ln(x+1)−ln(1−x)−ax，x∈(0,1)，

那么导函数g′(x)=1x+1+11−x18.解：(1)因为2bsinAsinB+cos2B=1，

所以2bsinAsinB=1−cos2B=2sin2B，

因为sinB≠0，所以bsinA=sinB，

由正弦定理得，bsinA=asinB，

所以a=1．

(2)由余弦定理得，1=a2=b2+c2−2bccosA，

因为1+3c2=23bcsinA，所以b2+4c2=23bcsinA+2bccosA，

两边同时除以2bc，得b2c+2cb=3sinA+cosA=2sin(A+π6)，

因为2sin(A+π6)≤2，当且仅当A=π3时等号成立，

所以b2c+2cb≤2，

又b2c+2cb≥2，当且仅当b=2c时等号成立，

所以b2c+2cb=2，且b=2c，A=π3，

由余弦定理得，1=b2+c2−2bccosA=b2+19.解：(1)因为g(x)=lnx+12x2的定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x+x，

设G(x)=g′(x)，则G′(x)=1−1x2=x2−1x2，

当x∈(0,1)时，G′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，G′(x)>0，

故G(x)=g′(x)在x∈(0,1