小学奥数难题汇编

1.先分解再通分

1117

例1-----+■

5776

有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互

质数。

8369691805

原式=

4332+4332=4332

判断两个数是否互质，不必用2、3、5........逐个试除。把其中一个分解质

因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。

57=3x19,如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19

试除，

[57,76]=19x3x4=228。

4451955

22822822812-

例2卫+”上

266591

26=2x13,65和91是13的倍数。

最小公分母为

13x2x5x7=910.

2退法

著名的我国数学家华罗庚指出，善于"退"，足够地"退"，"退"到最原始而

不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍。

(1)从复杂退到简单

例1一袋米，第一次用去!还多2千克，第二次用去余下的（还少1

22千克，还剩

下20千克。这袋米重多少千克？

.阿里全姆•千克

'_2「「「一岸克~,

一用二用

先退一步想：如果第二次正好用了剩的那么该剩19千克，第一次用

2后剩19

x2=38（千克）

继续这样想，若第一次只用了全袋的：，则应剩38+2=40（千克）。

所求40x2=80（千克）

（2）从一般退到特殊

例2一只轮船往返于甲、乙码头一次，问：静水中航行所花时间长,还是

流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长。

这样的问题，一时很难作出解答。我们可以把问题足够地"退〃，〃退〃到

一种非常特殊的情况：假定船速等于水速，船在逆水航行时将停止不前。这就是

说，船无论花费多长时间，也无法在这样的流水中完成两码头之间的往返航行。

而在静水中航行的话，往返一次所花时间总是"往"（或"返"时的2倍。因此

在流水中花的时间最长。

如时速3千米的一只小船，往返一段12千米的行程。如果水时速1千米,

需几小时?若是静水，需几小时?

1212人,।亚、

市+百=9（小时）

与1=8（小时）9>8

（3）从抽象退到具体

例3四年级的男生人数比女生多;，问女生人数比男生少几分之几。

此题比较抽象，且由于"标准量"、〃比较量"前后变化，增加了题目难度。

把它从抽象退到具体，不妨假设女生人数是30（所设数是3的倍数简

捷）,则男生人数为30X（1+1）=40。所求

（40-30）+40=9

3.推想与推断

得之。

例如，3/17的分子和分母同时加上什么数，‘丁

由己知条件，可推断［是经过约分的。

因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17

3

-3=14是不变的，而约分后是5-3=2,所以约分前应是:的分子和八

5分母同时

扩大14・2=7（倍）,就是

3x7_21

5^7=35°

加上的数是35-17=18或21-3=18。

4.割补法

例1一批货，甲汽车运它的!还多5吨，乙汽车运的比甲汽车运的；

45还少2吨，

这时，正好运完。这批货共几吨？

条件二是说乙汽车运的比“这批货的9多5吨”的!还要少2吨，即比

这批货的?的1+5吨的,“还少2吨，亦即比这批货的（：X，）+（5X

3

”吨还少2吨。

如果把甲汽车运的;还多的5吨割下来，把乙汽车运的（f）还多的（5

x|）吨也割下来，再从割下来的（5+5X,）吨中割下2吨补给乙汽车运

的不足的2吨，使乙汽车正好运这批货的（gx：）,甲汽车正好

4545

运这批货的入这样还有的（5+5X|-2）吨就是这批货的。

从而可求出

这批货是10吨。

5.统一单位"1"1

分率的单位"r不同，量的性质相异的题型，由于数量间运算无法直接实施，

必须统一单位"1",才能解答。

例1甲、乙两堆煤共330吨，甲堆的刍等于乙堆的J,两堆煤各多少

34吨？

分析：为了求出甲、乙两堆煤的重量间的倍数关系，只须将其中一个量作为

标准量，并以此为计量单位去度量另一个量。若甲堆煤的重量为单位

门”则分数|有两种意义。一是甲堆部分煤的分率：IX,（单位“1”）,

二是乙堆煤的J所对应的量数，其数量是马个单位“1

43

解法一：设甲堆煤的数量为单位“1”，则乙堆煤的:的数量为（lx|）

个单位“1”。所以乙堆煤的时应分率为（IX|）-1=|（单位"1”）

甲堆为330+（1+|）=90（吨）

若设乙堆煤的数量为单位"1",则算式为

12

330+（1+,+］）=240（吨）

解法二：观察线段图

甲I।_1-------1乙

'-------^4—

《甲+乙冷

xi

甲1―〜i----------------十-------------1乙

q乙等

乙4+争

这里（甲+乙）X|是乙堆煤的部分量的数量，其对应的分率是（9+5）。

乙堆为（330x|）十（1+|）=240（吨）

例2某地有甲乙两个消防队共有336人，抽调甲队人数的方和乙队人

数的总共抽调188人，开赴大兴安岭支援灭火，问甲乙两个消防队原来

7各有

多少人？

思路一：因为?5=93+：2,所以可由188人里求出分-率为:2的甲队的

7777部分人数,

从而求出甲队的人数。

甲1

4乙

336X-y

32

由图知甲队为(188-336X-)+7=154(人)

乙队为336-154=182(人)。

思路二：若对甲乙两队抽调人数进行调整，甲队减少到半4，而乙队增

加到，则可求出乙队的;与甲队的g的差，从而可求出两队的人数。

4

.336Xy=192,

.,乙队-甲队二(192-188)x7=28,

•理队=(336-28)=2=154(人)，……。

6.统一单位"1"2

例3某校举行短跑比赛，参加比赛的人数比未参加人数的《少10人，

7临时又有

10个同学报名参加比赛，这样，参加比赛的人数刚好是未参加人数

的求原来参加比赛的和未参加比赛的各有多少人？

依题意作线段图如下：

原点券加

JA

7A

K

下会加少10人

现希参加嘲爻名

I--------1--------——1-----------1--------A

\现参郎得

___________AD

来10人

确定以"原来未参加的人数’为单位"1"。从图中可知，现在参加的

人数正好是原来未参加人数的4会……（1）

因为现在参加的人数是现在未参加人数的W（已知）。即现在未参加

即现在未参加的人数是现在参加人数的……（2）

由（1）、（2）推得：现在未参加的人数是原来未参加人数的泰X|=

9D乙1

整理线段图如下：

原未参加:i八、|

20

现未参加：（五黑

因为原未参加人数与现未参加人数相差10人，所以

on

原未参加10+（1-—）=210（人）

乙X

4

原参加210X^—10=11。（人）

例4大河湾小学上学期有男女同学共750人，本学期男同学增加1,

0

女同学减少;共有710人。求本学期男女同学各多少人？

用假设法统一标准量。

方法一：假设本学期男同学不是增加!，而是减少］则本学期应该有

0J

750X（1-1）=600（人）。

比实际少710-600=110（A）o

男同学本是增加1,今不但没增加，反而减少工。所以会少110人，

65

这110人是男同学人数的!+

oJ3U

故上学期男同学是110+（7+7）=300（人），女同学是750-300

0J

=450（人）。

本学期男同学为300X（1+1）=350（人），女同学为450X（1-1）

o5

二360（人），或710-350=360（人）。

方法二：假设本学期女同学不是减少!而是增加，则本空期应该有

5o

750X（1+1）=875（人）°

6

比实际多875-710=165（人）。

这165人是假设女同学也增加之，多出的人数。女同学本是减少巳今

65

不但没减少，反而增加!，所以165是女同学人数的』+:=萼。

6jo3U

故上学期女生是165+（2+!）=450（人），男生是750-450=”~1\

36300（A）o

本学期女生为450X（1-1）=360（人），男生为300X（?）=

56350（人）。

7.同分子法

例1某水果商店运来一批梨和桃子，其中梨比桃子多40千克。已知梨

的I和桃子的I的重量相等，梨和桃子各运来多少千克？

通常用"两数差与倍数〃关系解：

桃：40+（|+,-1）=360（千克）

梨：40+（1-y）=400（千克）

如果把相关的分数化为同分子的分数去分析数量关系问题比较容易解答。

取2和3的最小公倍数6为新分子，得：=£，|=^o由图知

6

㈣40千克

梨।C

_______A________

桃H□——^-2..\,

6

~9

梨和桃的重量共为19个等份，梨占10份，桃子占9份，每份重40千克。

梨:40x10=400（千克）

桃：40x9=360（千克）

例2学校买来一批图书。已知科技书本数的g与文艺书共620本。科技

书本数的;与文艺书本数的，相等，求买来科技书多少本？

解：根据“科技书本数的:与文艺书本数的|■相等"，可知，它们不但

45

,12

标准数不同，而且各对应份数也不相同。对此，我们可把卜和1•化成同分子

分数：：=，，根据题意，画出如下线段图

4oJJ

8份

__A___________

科技书।­­―«———।

4《8）

2

T

文艺书;?:.I

X____________/

7

5份

可见，科技书和文艺书的相应份数分别为8份和5份。

再根据“科技书本数的|与文艺书共620本”，求出620本的对应份数，

然后用归一法求出科技书本数。

对应份数：8x|+5=io1（份）

科技书为：620+10;X8=480（本）。

例3两人分别从相距224千米的AB两地同时相向而行，因甲途中办事1

小时而6小时后相遇并立即返回原地。当甲行2小时，乙行4小时后，分别与

AB两地距离相等，每小时各行多少千米？

由线段图知，返回过程中甲到A应行切、时，行了2小时，剩下，的路程；

91

乙到B应行6小时，行了4小时，剩下:=；的路程。

o5

224千米

_A—

5小时甲乙6小时

宾米.，.谕..............

’2小时q小时■>91

^-

63

53

乙

甲9-

将:和1化为同分子分数，AB两地总路程为5+9=14（份）。

5339所以

甲时速为：等=16（千米）

乙时速为：詈X9+6=24（千米）

8.同分母法

例如：甲乙两仓库共存粮570吨。如果从甲仓库取出?放入乙仓库内，

4

这时甲库存粮的;正好是乙库存粮的.，问甲乙两仓库原来存粮各有多少什今

53吨？

分析解答：根据题中“甲库存粮的（正好是乙库存粮的9“，即甲库的

1=乙库的可推出甲库的卷=乙库的瑞。这就是说，甲乙两库的存粮数

都平均分成15份，甲库中的9份相当于乙库中的10份，由此得出甲库与

乙库的存粮数之比为10:9。现有粮

甲库：570XiFT9=30°（吨）

乙库：570-300=270（^）

甲库原有粮：300-（1-=400（吨）

乙库原有粮：570-400=170（吨）

9.通用公式

a+b

S=----Xh

一般的平面图形都可以用公式2似、b互为两个平行的底边长，h为

两底间的距离）

例1一个三角形的底为6cm,高为4cm,求面积。

0+6。

S=-^-X4=12(cm2)

例2一个长方形长8cm，宽2cm,求面积。

S=*X2=16(cm2)

例3一个梯形的上底为12cm,下底为18cm,高为3cm,求面积。

12+18.

S=——X3=45(cm2)

例4一个平行四边形的底边长9cm，高5cm,求面积。

9+9

S=^^X5=45(cm2)

例5一个圆的周长是12.56cm,半径是2cm,求圆的面积。

0+12.56.

S=---------X2=12.56(cm2)

例6一个圆环，内圆周长18.84cm,外圆周长31.4cm,环宽2cm,求环

形面积。

S=^2^X2=5024(^)

例7求下图的面积。（单位：厘米）

15.7

0

157i

一般解法:3.14x30=94.2

15.7^94.2=1/6

S=3.14xl52xl/6

=117.75(cm2)

巧妙解法："巴X15=117.75(cm2)

2

10.替代法

例1一块布，可以做3套大人衣服或7套儿童衣服。已知做一套大人衣服比做

一套儿童衣服多用布8尺。做一套大人衣服和儿童衣服各用布多少尺？

解：将3套大人衣服改做儿童衣服，则少用布8x3=24(尺)，这些布刚好可

以做7-3=4套儿童衣服。因此，一套儿童衣服用布24+4二6(尺)。即

(8x3)+(7-3)=6(尺)

一套大人衣服用布：

8+6=14(尺)

例2一个水果店有水果845千克，其中桃子比鸭梨的3倍还多25千克。

问各有多少千克？

解：根据已知条件，如果用鸭梨代替桃子，那么桃子就相当于3份鸭梨再加

上25千克。从总数中减去25千克，就相当(3+1)份鸭梨，从而可求出鸭梨的重

量。

鸭梨(845-25)+(3+1)=205(千克)

桃子845-205=640(千克)

类似以上两例的特点是，题目只给出两个未知数量的关系，要求这两个未知

数量，思考时，可根据所给的条件，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而

找到解题途径。

11.特殊值

有些数学题,按一般思路不易求解，若从给出的特殊值入手，紧扣条件和问题之

间的联系，将会优化解题思路，很快找到解题捷径。

例1如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分为两部分，SADBC比'△

ABD大10cm2。BC与AD的和为5cm,差为5cm，求S梯？

一般是借助〃辅助线"解。其实只要仔细分析题意，利用给出的特殊条件可

简捷求解。

△ABD与ADBC,如果分别以AD=巴2=5(cm),BC=15-5=10(cm)为

2

底，它们等高，由BC=2AD,知△BDC=24ABD。所以

S梯=10x(2+l)=30(cm2)。

例2设直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，用四个这样的直

角三角形拼成如图所示正方形，求大正方形的边长。

此题用勾股定理求解戊2+82=10。通过观察可以发现，大正方形和阴影

部分小正方形的面积是条件和问题的联系纽带。小正方形的边长为直角三角形两

条直角边之差8-6=2(cm),大正方形面积为四个直角三角形的面积和小正方形

面积的和。

l/2x8x6x4+(8-6)2=100(cm2)o

这个面积是一个特殊值100=10x10,所以大正方形的边长为10cm。

例3四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形(如图)大正

方形的面积是49平方米，小正方形面积是4平方米。问长方形的短边长度是几

米?(第一届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛复赛题)

因为4=2x2,49=7x7,所以小正方形边长2cm,大正方形边长7cm。

长方形长宽之和为7cm.差为2cm,即

长+宽=7①

长一宽=2②

从而可求得，宽为2.5cm。

例41992年奥林匹克决赛题：一个正方形（如图），被分成四个长方形，他

—m-m<

们的面积分别是105

图中阴影部分是一个正方形，那么它的面积是多少平方米。

2119

W可见大正方形的面积是一个特殊值1=1X1,

大正方形边长为1米。仔细观察还可发现小正方形的边长与长方形I、in的

长和宽有关。只要求出in的长和I的宽即可求得小正方形的边长了。

由于III和IV的宽相等，因此长之比为5=2：i,那么in的长为ix

鼻米），同样I的宽和n的宽之比为Q（=3：4,I的宽为ix

寸3/7（米）。

小正方形的边长为=米），面积为

12.特殊结论

有些题目按照一般的思考方法解答，或者较麻烦，或者不能获得正确答案。用特

殊结论解题，思路清楚，方法简便。

例1周长为28cm的长方形，如果长和宽都增加1cm,这个长方形的面积

增加多少?

增力瞰

/\

增加部分的面积=(半周长+增加数)X增加数。分析示意图，不难发现。

(28^2+l)xl=15(cm2)

例2周长为28cm的长方形,长增加1cm，宽增加2cm，面积增加24cm2,

求原长方形的面积。

思路一：假设长和宽都增加1cm,根据以上结论,这个长方形的面积增加：

(28+2+l)xl=15(cm2),因实际宽比假设多增加1cm,而面积多增加

24-15=9(cm2)如图，所以原长方形的长为9+l-l=8(cm)。宽为28・

2-8=6(cm)o

面积是8x6=48(cm2)

2

思路二：假设长和宽都增加2cm,根据以上结论，面积增加：

2g

(k+2/2=32(5?)

2与题给条件24cm2相差8cm2这是因为长没增加2cm,

只增加1cm，假设比实际多的部分的面积如图中阴影部分的面积。所以，原长

方形的宽为8+l-2=26(cm),长为28+2-6=8(cm)。

面积为8x6=48(cm2)

例3如图,已知S阴景乡二6.28cm2,求空白部分的圆面积。

S圆=6.28x2

=12.56(cm2)根据：

结论一任意一个圆心角为90。的扇形面积，等于以这个扇形的半径为直径

的圆的面积。

证明：

设有一圆心角为90。，半径为R的扇形。

则它的面积为

7TR2X—=ljrR2

3604

直径为R的圆的面积为

兀X(,冗R2

故兀R2X券=5今

结论，得证。

13特殊数题1

(1)21-12

当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与

减数十位数字的差乘以9。

因为这样的两位数减法,最低起点是21-12，差为9,即(2-l)x9。减数增

加1,其差也就相应地增加了一个9，故31-13=(3-1)x9=18。减数从12—89,

都可类推。

被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩

大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如

210-120=(2-1)x90=90,

0.65-0.56=(6-5)x0.09=0.09。

⑵31x51

个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十

位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

3x5=15

13+5=81=1581

若十位数字的和满10,进L如

8x9«72)

81x91=^8+9=171=7371

证明：(10a+l)(10b+l)

=100ab+10a+10b+l

=100ab+10(a+b)+l

(3)26x8642x62

2x8+6=22

26x862236

6x6=36

[4x6+2-26,

42x62=2604

2x2=04

个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字

的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。

证明:(10a+c)(10b+c)

=100ab+10c(a+b)+cc

=100(ab+c)+cc(a+b=10)o

⑷17x19

十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的

积。

原式=(17+9)x10+7x9=323

证明：(10+a)(10+b)

=100+10a+10b+ab

=[(10+a)+b]xl0+abe

⑸63x69

十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位

数之和乘以十位数字，再乘以10,加个位数的积。

原式=(63+9)x6x10+3x9

二72x60+27=4347。

证明:(10a+c)(10a+d)

=100aa+10ac+10ad+cd

=10a[(10a+c)+d]+cdo

(6)83x87

十位数字相同，个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的

积为前两位数，后两位是个位数的积。如

j(8+1)x8=72

83x87卜7=21

证明：(10a+c)(10a+d)

=lOOaa+10a(c+d)+cd

=100a(a+l)+cd(c+d=10)o

由4,((9+1)x9=901

再如95、5X5=25=9°25

⑺38x22

十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同

的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

原式二(30+8)x(30-8)

=302-82=836e

(8)88x37

被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的

和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

((34-1)x8=32'

原式=3256

[7x8=56

⑼36x15

乘数是15的两位数相乘，

被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数

加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

原式=(36+36x1)X10

=54X10=540。

55X15

55+(55-1)xl=82,原式=825。

(10)125x101

三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。

125+1=126。

原式二12625。

再如348x101,因为348+3=351,

原式二35148。

(11)84x49

一个数乘以49,把这个数乘以100，除以2,再减去这个数。

原式=8400+2-84

=4200-84=4116.

14.特殊数题2

(12)85x99

两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样

多的0、再减去被乘数。

原式=8500-85=8415

57X9999=569943

Ii

(57-1)(100-57)

(4-2),表示2个9・

不难看出这类题的积：

最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；

最低位上的两位数，是100与被乘数的差；

中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a/0),则

(10a+b)X9-9(n>2)

=(10a+b)X(10-0-1)

=(10a+b)X10-0-(10a+b)

、__V

=(10a+b-l+l)X10-0-(1Oa+b)

=(10a+b-l)X10-0+10-0-(10a+b)

=(10a+b-l)X10-0+10-0X100-(10a+b)

=(10a+b-l)X10-0+(9…9+1)X100-(10a+b)

=(10a+b-l)X10^0+(9^^X100)+100-(10a+b)

In个个厂

被乘数T9的本数100-被乘数

如果被乘数的个位数是1.例如

31x999

在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。

71x9999=709999-70=709929。

这是因为苗可一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式，由9

组成的自然数可表示为(10n-l)的形式，其积为

(10a+1)(10£-1)=10n-la+(10'-1)-10a。

(13)1-19

这是一道颇为繁复的计算题。

原式=0.052631578947368421。

根据”如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相

同倍〃和"商不变"性质，可很方便算出结果。

原式转化为0.1+1.9，把1.9看作2,计算程序：

⑴先用0.1+2=0.05。

(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

0.052

2)0.105

10

1

如此除到循环为止。

0.0526

2)0.10526

10

5-

4

12

12

6

0.52631578947368421......

2)0.1052631578947368421

10

-5-

4

12

12

-6~

―.(下略)

当除数用2代替L9计算时，扩大了亮倍C1.9XA=2),商缩

小诒倍。

0.1+1.9=()

0.1+2=0.05

22

所以要把商扩大逐倍，BP0.05X—e

2「王田1.9+0.1,0.1

后可看成k,即on1+«。

所以0.05X鲁二005X(1+》

=0.054-0.05X—.

1.9

仔细分析这个算式：

加号前面的。05是0.1+2的商后面的0.05x0.1-1.9中0.05x0.1=0.005,

就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.90这样我们又可把除数看作2继

续除，依此类推。

除数末位是9,都可用此法计算。

例如”29,用0.43计算。

”399,用0.1・40计算。

15顺推

例1永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1

小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时见第三块里程碑上的数是A0B。

经研究很快明白了，这三块里程碑上的数分别是16、61、106。试说明算理？

思路一BA与AB的差，只能是两位数或一位数。车匀速前进,B必大于A。

A0B与BA的差必等于BA与AB的差,不会是三位数。

A只能是1,若是2以上的数，则A0B与BA的差肯定是三位数了。

由下表知：

AB1213141516

BA2131415161

A0B102103104105106

思路二：由速度一定知BA-AB=AOB-BA。写成十进数，化简

(10B+A)-(10A+B)=(100A+B)-(10B+A)

10B+A-10A-B=100A+B-10B-A

9B-9A=99A-9B

B=6A

B是一位数,且只能是一位数。故A=1,B=6。A和B的数字确定了,其

它随之出现。

例2美国小学数学奥林匹克(1982~1983)第二次2题：1个面包和6个鸡

蛋价值1.80元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。问1个面包多

少钱。

由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元，可知，1个面包和2个鸡蛋价值2.40

♦2=1.20阮)。

又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，知4个鸡蛋价值

1.80-1.20=0.60阮)。

所以1个面包价值(2.40-0.60)-2=0.90(元)。

16.数字的双重作用

例美国小学教学奥林匹克，第一次（1980年11月）题2:时钟1点钟敲1下，2

点钟敲2下，3点钟敲3下,依次类推。从1点至12点这12小时共敲了（）下。

由"首尾之和"知

12

1+2+3+…+12=（1+12）X5=78（下）

例2第二次（1980年12月）2题：如果全体自然数如下表排列，数到1000

应在哪个字母的下面。0

ABCDEFG

1234567

891011121314

151617................

1、2、3、4、5、6既是列的序数，又是对应列以下各数除以7的余数而7

既是列的序数,本列除以7余数为0。

1000:7=142余6

所以1000与6位于同一列，即在字母F的下面。

17.竖式填空之巧填除法例题1

奥数难题：竖式填空之巧填除法例题1

例1一个三位数，其十位数字是0,且能被一个一位数整除；如果被另一

个一位数除则余3。请填上所有适合的情况。

(1)

根据所有条件，全面分析，有序思考:

式(1)中,由除数与商的首位数之积是一个数字，知被除数的百位数字为1;

21

5J108

5

式(2)中，由余数是3,且除数与商的末位数的积是一位数和"余数必小于除

数〃，知除数只能为4、5、6,被除数的前两位数为10,除数只能为5,被除

数的末位数字为8,这个数为108;

因为108能被2、3、4、6、9整除，但除数为2不符合式⑴的书写形式。

答案为：

27

-

08

8

828

828

0

18.竖式填空之巧填除法例题2

例2

口2

3□

1口0.第一乘积

.第一余数

□□

0~~

由第一乘积和第一余数,知除数是35;商的十位数字可能是6或4。

商是62不合题意，则除数是35,商为42。

例3下式可整除，请在口中填进适当的数。

口口

257J6□□9

对比联想，逆向思考——转除为乘。

257

X口@

6□□9

显然，A位只能为7。

257

X©7

1799

⑥□□

6口口9

B=5,是一定的。C只能是2,到此整个算式解开。

19.竖式填空之巧填除法例题3

例4第五册数学思考题：

□0D

8/□□口口

Q8

1□

□□

-0

首尾观察：

观察式⑴，知商的百位上是6;再观察式(2),知商的个位上是2。则被除数

为4816。

例5美国小学数学奥林匹克，第四次（1981年2月）题5:在右边的除法算

式中，方格表示擦掉的数字，A和B表示商的数字。求A和B的值。ABAB

AB

5□)□□□□

口6口

□□□

432

0

由Bx5n=432,知B=8进而知A,54=IZI6口,A=3O

20.竖式填空之巧填乘法例题1

奥数难题：竖式填空之巧填减法例题1

例1式中的字母各代表什么数。

MNPMN

xM

iiii~~TT

M不能大于3,如果是4、贝（］4x4=16。也不能小于3,如果是2,则2x2=4,

都不符合积的要求。M=3O

3xN=21,N=7;P=0o即

37037

x3

111111

21.竖式填空之巧填乘法例题2

例2空，并确定被乘数小数点的位置。

□□5

x□

2口口

一第一部分积

□□□

一第二部分积

130

由积的末尾是“30〃，知第一部分积为230;

积的最高位是"1",第二部分积的最高上也为1；

被乘数和第二部分积都是三位数，根据第二部分积的最高位上是1,可确定

被乘数和乘数的最高位上也都为1；

被乘数最｛氐位上是〃5",而积的末尾是0,乘数的最低位上可能是2、4、

6、8中的一个。由被乘数最高位上是1,第分积的最高位上是"2〃，知乘

数的最低位上为2;

乘数是三位数，而只有两个部分积，知乘数的中间T立上为0；

由被乘数最低位上是‘5’，乘数的最低位上是2，第一部分积的末尾是30.

知被乘数中间一位上为1；

由被乘数和乘数，求出第二部分积115,终积117.30;

最后，由乘数是一位小数，积有两位小数，知被乘数为一位小数。即右式

11.5

x10.2

230

115

117.30

22.竖式填空之巧填乘法例题3

奥数难题：竖式填空之巧填乘法例题3

例3国小学数学奥林匹克，1981~1982年试题：

下边乘法算式中，每个字母代表不同的数字，A不是零。A、B、C、D各代

表什么数。

ABC

xC

DBC

由CxC二C,知C只可能是1、5、6。如果C=1,乘积为原被乘数，与条件矛

盾，C只可能是5或6,A只能是1。C=6无解。

125175

x5x5

625875

C=5时，B=2或7。

如果B=2,则D=6；

如果B=7,则D=8。即

4口口

xn7

□□82-第一部分积

12

□□□□□第二部分积

在右边算式中，每一个方格表示一个擦掉的数字，求最后的乘积。

由第一部分积个位上是2,十位上是8,知被乘数个位数字是6,十位数字

是2;

根据第二部分积前两位数字是1、2,确定乘数的十位数字是3。

426

x37

2982

1278

15762

23.竖式填空之巧填乘法例题4

奥数难题：竖式填空之巧填乘法例题4

例4下式中每个△号,都只表示某个素数（即2、3、5、7）,请你确定这个

算式。

△△△

x△△△

△△△△

△△△△

AAAAA

由素数数码构成的三位数与一位素数相乘，积仅是由素数码构成的四位数，只有

四种：

325x7=2275555x5=2775

755x5=3775775x3=2325

进一步，不难得到

325

x777

2275

2275

2275

252525

24.竖式填空之巧填减法例题1

奥数难题：竖式填空之巧填减法例题1

例1册数学思考题：下面减法竖式中的字母，各代表什么数。

a0bc3

s72t

777

由被减数、减数和差的位数，可确定a=l,s=9;13-6=7,t=6o

c可能为9，但已借给个位数一个l,c=O;b可能是4,因为14—7=7,

但b已借1给c,所以b=5。

10503

-9726

777

25.竖式填空之巧填加法例题2

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题2

例2把下列算式中的符号△、□改写成数字，每种符号代表同一个数。

+0.□

令x=d,y=Ao

如果x+10（没进位）,

即2x<10,

那么根据题意有

y=2x（x=0,

{y|y=0,

如果x+x>10（有进位），即2x〉10（两个数码的和一定小于20,即10<2x<20）,

则有f=2x；0,（x=；,

|x=y+1;ly=8o

也可列方程为2x=10+（x-1）

26.竖式填空之巧填加法例题3

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3

二届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初试题：有一个四位数，在它的某位数

字前面加一个小数点，再与这个四位数相加，得数2000.81.求这个四位数。

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3

由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与80

变换为下列算式：

□E81

+HE].81

200Ogi

易推得方框中的数字为1、9,从而再根据加小数点后的数与原四位数字组

成相同，确定这个数为1981.

27.竖式填空之巧填加法例题2

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题2

例2把下列算式中的符号△、口改写成数字,每种符号代表同一个数。

+0.□

令x=d,y=Ao

如果x+x<10（没进位）,

即2x<10,

那么根据题意有

y=2x（x=0,

{y=x|y=0,

如果x+x>10（有进位），即2x〉10（两个数码的和一定小于20,即10<2x<20）,

贝情f=2x：0,

|x=y+1;|y=8o

也可列方程为2x=10+（x-1）

28.竖式填空之巧填加法例题3

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3

二届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初试题：有一个四位数，在它的某位数

字前面加一个小数点,再与这个四位数相加，得数2000.81。求这个四位数。

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3

由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与8。

变换为下列算式：

□E81

+m回.81

2000.81

易推得方框中的数字为1、9,从而再根据加小数点后的数与原四位数字组

成相同，确定这个数为198L

29.竖式填空之巧填加法

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题：

例1

AB

建+BA?各字母代表的数是()。

最大两位数的和＜200,和的最高位只能是1,B=1;A+B210,方可形成进

位。

A=9,C=0o

30.学生何时相遇

一列长110米的火车，以每小时30千米的速度向北驶去,14点10分火车追上

一个向北走的工人，