中学物理学中的数学问题（下）

中学物理学中的数学问题（下）

目录

第十一章中学数学思想方法在中学物理学中的应用.........................2

1、分类讨论思想在中学物理中的应用.............................2

2、结构图在中学物理学中的应用（选学）.........................9

3、归纳推理在中学物理学中的应用（选学）.......................13

4、类比推理在中学物理学中的应用（选学）.......................23

5、数形结合思想在中学物理学中的应用...........................31

6、反证法在中学物理学中的应用.................................44

7.化归原则在中学物理学中的应用...............................48

第十二章中学物理学中的近似计算.....................................54

1、估算法在中学物理学中的应用...............................54

2、二项式定理在中学物理学中的应用...........................56

第十三章利用中学物理知识验证数学结论.............................58

第十四章美学与中学物理学关系探幽...................................58

1、科学美的特点..............................................58

2、科学美的范畴..............................................60

3、科学美在物理学习中的作用...................................69

第十五章中学物理学中的哲学问题.......................................74

第十六章直觉思维在物理学习中的局限性.................................75

第十七章数学与物理学关系综述（仅供中学教师参考）......................77

1.分析力学在中学物理竞赛中的应用.................................80

2.利用常微分方程求解几个中学物理习题.............................84

第十一章中学数学思想方法在中学物理学中的应用

数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理

概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言,为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法,为物

理学中的数量分析和计算提供有力工具.

1、分类讨论思想在中学物理中的应用

数学知识回顾：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用

范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中

不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的

取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致

的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这

种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想.当数学问题中的条

件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论.

分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题

划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，

这就是分类讨论思想.

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的

方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和

求解.分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件.分类讨论的

原则是不重复、不遗漏.讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤

完整.

在中学物理中，学习、研究物理的同时也离不开数学知识的辅助,而深入系统地学习物理更是一个

掌握物理学中数学方法的过程.所以，重视数理结合对于降低学习难度、培养学生学习兴趣、促进素质

教育有着重要的意义.一、物理学中数理之间的辩证关系数学与物理之间是抽象与具体、一般与特殊的

关系.数学是一门高度抽象的科学,它完全摒弃了具体的现象;而物理学研究的是客观的物质的本质，是

一门以实验为基础的自然科学.所以，当数学知识应用于物理学当中时,就必须受到客观事实,即物理规

律的制约.当我们在应用数学知识表述物理概念、总结物理规律、解答物理问题时，又要注意其特殊性

和局限性.二、中学物理中数理结合存在的问题：一是忽视了物理学的科学方法,忽视数学公式的推导

和论证，仅记忆最后的结果;二是过分强调数学方法和数学推导，忽视对物理概念、规律、原理、公式以

及物理现象等物理意义的讲解,尤其是在涉及物理公式时,不能对公式中所蕴含的物理意义、表达的物

理过程做深刻地阐释，而过分地把物理公式作为数学公式处理.

例1如图所示，有一轴线水平且垂直纸面的固定绝缘弹性圆筒，圆筒壁光滑，筒内有沿轴线向里的

匀强磁场氏0是筒的圆心，圆筒的内半径尸0.40m.在圆筒底部有一小孔a（只能容一个粒子通过）.圆

筒下方一个带正电的粒子经电场加速后（加速电场未画出），以片2X10"m/s的速度从a孔垂直磁场8

并正对着圆心。进入筒中，该带电粒子与圆筒壁碰撞四次后恰好又从小孔a射出圆筒.已知该带电粒子

每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，不计粒子的重力和空气阻力，粒子的荷质比

g%F5X101C/kg）,求磁感应强度6多大（结果允许含有三角函数式）？

vmv

解析：带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，＜7丫8=加一.(1)，得：B=—(2)

RqR

由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向

总是沿着圆筒半径方向,4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分,粒子在圆筒内的轨迹具有对称性，由

5段相同的圆弧组成，设每段轨迹圆弧对应的圆心角为氏则由几何关系可得：

1=⑶

Rr

有两种情形符合题意(如图所:示)：

昴」字

0'R㊀0?Ra

(1)情形1:每段轨迹圆弧对应的圆

、.、r八2"3%

心角为0—----=---.

55

联立(2)(3)并代入。值得：

_tan(3^-/l0)mv

LJ—.(4),

rq

将数据代入⑷式得：

B=tan(3^/10)xlO-3(T).(5)

c、i八71

(2)情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心，角为6—71----=—.

联立（2）（3）并代入。值及数据得：B=tan（肛10）把二tan（»/10）x1。々7

(6)

rq

例2如图所示，在直角坐标系的第I象限和第m象限存在着电场强度均为E的匀强电场,其中第I

象限电场沿X轴正方向,第HI象限电场沿y轴负方向.在第II象限和第IV象限存在着磁感应强度均为B

的匀强磁场,磁场方向均垂直纸面向里.有一个电子从y轴的。点以垂直于y轴的初速度％进入第HI

象限,第一次到达x轴上时速度方向与x轴负方向夹角为45。，第一次进入第I象限时,与y轴夹角也

是45°,经过一段时间电子又回到了P点,进行周期性运动.已知电子的电荷量为e,质量为巩不考虑

重力和空气阻力.求：（1）。点距原点〃的距离；（2）电子从P点出发到第一次回到P点所用的时间.

解析：⑴解一：电子在第HI象限做类平抛运动，沿y轴方向的分速度为％=%tan45。=".设

。六方，则"=2•空・〃，可得力=必

'm2eE

解二：经分析可知在第四象限中电子做匀速圆周运动,故可知0P的距离就是圆周运动的半径：由

2

=qv^B=m—得OP=/z=^^

洛ReB

2

答案：0P=/2=外或妙

eB2eE

⑵在一个周期内，设在第m象限运动时间为公在第n象限运动时间为包在1象限运动时间为右，在第

w象限运动时间为u

在第ni象限有4=小3=丝6解得台二吗，在第n象限电子做圆周运动，周期T=271m4f

——在第

meEeB

TTTJ77

n象限运动的时间为芍=一=—由几何关系可知，电子在第I象限的运动与第HI象限的运动对称,

2eB.

沿x轴方向做匀减速运动,沿y轴方向做匀速运动,到达x轴时垂直进入第四象限的磁场中,速度变为

%.在第i象限运动时间为％=A=吗.，电子在第w象限做四分之一圆周运动，运动周期与第in周

eE

2Tz772T

期相同，即T=——在第1V象限运动时间为。=一=上电子从尸点出发到第一次回到尸点所用时

eB，42eB，

^371m

间为Z=4（=------1-----

1234eE2eB

例3.如图所示,两平行光滑的金属导轨加；/颦固定在水平面上,相距为L,处于竖直方向的磁场中，

整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4…组成，磁感应强度反、氏的方向相反,

大小相等，即B\=R=B.导轨左端M、P间接一电阻R,质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导

轨上,与导轨接触良好,不计导轨的电阻.现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位

置开始以速度外向右做匀速直线运动并穿越〃个磁场区域.

PbQ

•1・x2x・3•x4xXX

XXXXL

*x肝5JB

2B2

LXXXXXXJ

M°j+JN

(D求棒穿越区域1磁场的过程中电阻斤上产生的焦耳热Q,

(2)求棒穿越〃个磁场区域的过程中拉力对棒所做的功肌

(3)规定棒劭中从a到。的电流方向为正，画出上述过程中通过棒的电流,随时间大变化的图

象；(4)求棒穿越〃个磁场区域的过程中通过电阻A的净电荷量q.

解析】(1)棒产生的感应电动势E=BLvg通过棒ab的感应电流1=舟.

电阻/?上产生的焦耳热o=(+)%

R+rvo(/r+喳r)

(2)因为棒数匀速穿越〃个磁场区域,所以拉力对棒做的功在数值上等于整个回路中产生的焦耳热,

即拉力对棒所做的功乂9Xn,竹=吟也

K+rvoR+r

(3)如图所示

I

R+r—

(4)若n为奇数,通过电阻R的净电荷量0=音=署，若n为偶数,通过电阻R的净电荷量q

△①2

-----------=()

例41932年劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真

空中的D形金属盒半径为R,两盒间的狭缝很小,带电粒子穿过的时间可以忽略不计.磁感应强度为B

的匀强磁场与盒面垂直.A处粒子源产生的粒子,质量为叭电荷量为+q,在加速器中被加速,加速电压

为U.加速过程中不考虑相对论效应和重力作用.

(1)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；

(2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；

(3)实际使用中,磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制.若某一加速器磁感应强度和加速电场

频率的最大值分别为f„„试讨论粒子能获得的最大动能E如.

解析：(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为r„速度为vi.qu=1mv「,qvB=m'

2(

解得

1[4mU

同理,粒子第2次经过狭缝后的半径2=上丝二则与:r=垃:1

B]qx

2nqU=mv2

(2)设粒子到出口处被加速了n圈伏8=〃?不

17im

1-------

qB

t=nT

TTBR2

解得公

2U

(3)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率,即/=0-

27rm

mv

当磁场感应强度为B0时,加速电场的频率应为fBm=双粒子的动能“K=2'

2兀m,

p22R2R2

当篇W加,粒子的最大动能由B.决定叫鸟=〃说解得纥“二个六

当/«,„导力时，粒子的最大动能由丸决定，v„,=2兀印解得Ekm=2兀2m片尺

例5如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光

滑水平地面上,左端紧靠B点,上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C.一物块被轻放在水平匀速

运动的传送带上E点,运动到A时刚好与传送带速度相同,然后经A沿半圆轨道滑下,再经B滑上滑

板.滑板运动到C时被牢固粘连.物块可视为质点,质量为叫滑板质量M=2m,两半圆半径均为R,板长

1=6.5R,板右端到C的距离L在R<L<5R范围内取值.E距A为S=5R,物块与传送带、物块与滑板

间的动摩擦因素均为y=0.5,重力加速度取g.

(1)求物块滑到B点的速度大小；

(2)试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功W,与L的关系,并判断物块能

否滑到CD轨道的中点.

/=6.5«

用20

2

解析：(1)umgs+mg•2R=—mvB①，

2

所以VB=3JRg

(2)设M滑动xi,m滑动X2二者达到共同速度v,则mvB=(M+m)v②

12

Umgxi=—mv"(3；

2

22

-HmgX2=—mv——mvB④

22

由②③④得v=y[Rg,XF2R,X2=8R

二者位移之差=X2-XF6R<6.5R,即滑块未掉下滑板

讨论：R<L<2RB^,W,-=umg(7+L)=-mg(6.5R+L);2R<L<5RW,=ymgx+umg(7—Ax)=4.25mgR

22

<4.5mgR,即滑块速度不为0,滑上右侧轨道.

要使滑块滑到CD轨道中点,％必须满足：》mgR⑤

2

2⑥

此时L应满足：umg(7+L)W—mvB——mv/

22

则LW’R,不符合题意,滑块不能滑到CD轨道中点.

2

答案：(1)归3弧(2)①R<L<2R时,Wi=umg(/+L)=，mg(6.5R+L)

②2RWLV5R时,Wr=umgx2+umg(7—Ax)=4.25mgR<4.5mgR,即滑块速度不为0,滑上右侧轨道.滑块不

能滑到CD轨道中点.

例7.如图,在场强大小为反水平向右的匀强电场中，一轻杆可绕固定转轴。在竖直平面内自由转

动.杆的两端分别固定两电荷量均为q的小球4B-,力带正电,8带负电；48两球到转轴。的距离分

别为2八/,所受重力大小均为电场力大小的G倍，开始时杆与电场夹角为6(90°<"180°).将

杆从初始位置由静止释放，以。点为重力势能和电势能零点.求:

(1)初始状态的电势能叱,；(2)杆在平衡位置时与电场间的夹角a；

(3)杆在电势能为零处的角速度0.

12石(1-sin。)-6cos6

【答案】⑴-3o£7cos0.(2)30°；(3)当〃<150°时，(0=；当o>

V5A/3/

…⑸。u时I-2A/3(1-s丽in^)--6cos^g或一F/-—26(1+s完in8I)—-6cos6g

【解析】(1)初态：〃=q/+(-q)片g(/-/)=-3q£7cos。

(2)平衡位置如图，

设小球的质量为勿，合力矩为

3g£/sina-mgJcos。=0

由此得tana="^=9。=30°

3qE3

(3)电势能为零时，杆处于竖直位置，当初始时。4与电场间夹角外1505时，A恰好能到达。正上方，在

此位置杆的角速度为0

当代150。时，/位于。正下方处电势能为零。

f

初态：K三一3g£7cos〃，及二跖7sin0,末态：W/=0,Ep=-mgl

5o)

能量守恒：-3qElcos8-mglsinB=-mgl

12mg(1-sin^)-6qEcos0_126(1-sin6)-6cos6

当82150：时，电势能为0有两处，即月位于。正下方或正上方处

./2g(l-sin8)-6cos8

当/位于。正下方时，G二』一^------产--------g

V5V3Z

当/位于。正上方时，°二白五雪室返

V3ml

I—2^/3(1+sin0)—6cos6

解得0=至

物理学的发展依赖于数学,数学是物理学的表述形式.数学高度的抽象性，使它能够概括物理运动

的所有空间形式和一切量的关系.数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以

最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律,唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中.

牛顿的代表作《自然哲学的数学原理》，正是采用了数学语言才对力学定律做出了科学的、有利的系统

论述.

2、结构图在中学物理学中的应用

数学在实际应用技术方面获得巨大的成功,数学在应用技术方面的成效是不容抹杀否定的.数学在

科学活动中所发挥的实际应用作用是显而易见的,数学本身就是属于一种实际应用技术性的工具,如果

说没有数学也就没有科学是毫不夸张的.数学家或几何学家们为物理学家们准备了各种可供选择使用

的数学公式或几何形式.公式是数学家通过抽象归纳发明的,它起到了物理学家所起不到的作用，这是

数学所起到的作用.人们受到欢欣鼓舞并试图用数学手段来解决处理一切问题.数学的优美表现在形式

上,数学形式化是一种必然,因为它本身就是抽象,大可不必非得存在具体内容.数学形式系统是抽象没

有任何真实物质意义的表示,即不管任何物质变化作用关系内容.数学只是对现象或结果的一种定量描

述,而不必管内容实质原因的.以观察和实验事实通过推导所获得到的唯一地可能来把握现象的公式，

优点在于可以超脱关于产生这些现象的原因，即寻找数学规律而用不着寻找原因.它的目的作用是为了

实际应用，知道原因内容与不知道原因内容是没有任何区别的.

1、力与物体的平衡

「(

缓

匀

速

慢

运

运

动

动

止一

（平衡状态）’若只受二力，则两者

.大小相等、方向相反

（受力分析卜

若受三力，其中二力的

平衡条件

合力与第三个力等大反

尸=0向；若三力不平行，则

f力的合成“必共面旦共点

〔与芬癖

（方法）若受N个力,（N-1）个

力的合力与第N个力等

夫反向

正

交

成解图分

解

法法法法

〕

2、匀变速直线运动

3、力学连接体

（受力分析片

「Y连接体问题）

力

T超重与失重）

—件顿运动定律J—

运--------------

（直线运动.动

L~（临界问题）

（曲线运动

4、曲线运动

L（平抛运动~

研究'运动的合'

方法I成和分解，

y类平抛运动）J

"a定恒

（曲线运动）

研究」沿切向和］

|变

°量方法〔法而分解J

（变加速曲线）—e圆周运动）一

特征

方程［皿/=批。

5、万有引力定律

—■｛双星、黑洞〕

{t/

万

〔2

万

有GMmv

H天体运砌i=m

一I‘牛顿第'—7=

引■-《人造卫,

力m(D2r=m^-r

力.二定律.

定2

（变问题）T

〕dI

建特例［r=R

•（宇宙速度）_-f噌鹏

6、功、功率和动能定理

（瞬时功------►（机车启动户」空㈣一1

（平均（恒广的功）（变力熊功〉——

7、机械能守恒定律

静僮力势能变化）~~

耐（只有重力或系统弹力做功）■僧器守•

f量g

量

守

-gT弹性势能变化）——

.恒

变

定

化

——»（电势能变化）--------------------色

〕电场力做功

分子力做功工分子势能变化｝

8、电场力的性质和能的性质

（库仑定律力

（电场强度〉

力的性质能的性质卜电势差卜忸=争

I"

（电场线卜

市

,一i一.,--------.场,---------.一（电?能H&»二4q

(匀强电场卜1W=qEd}—力—^\Wab=qUab\

T’里

功

J-——伊-AEJ—

9、磁场作用下物体的运动

0）_•｛左手定则卜-------------

----《f=qvB卜-------（F=?L）

(WO-—————

■^^1-

v//B•（匀速直线运动）

MB）-------►（匀速圆周运动）

10、带电粒子在复合场中的运动

11、稳恒电流

'转化功率］（输出功率'‘内耗功率

,P=IEPa=lU,、P内=产厂,

（电%）「［产生］

一「

（电路的动态分析h合

闭

路

（含容电路的分析》曲

姆

便

（电路故障分析卜律

定

一

」

（电路中能量转化L（Jnfe）U高压输电）

欧姆定电功电功率

W=UhP=IU

12、电磁感应定律

p（判断『方向）匠韵一（计算E,大小）---------

（楞工定律）（电磁感应%律户展=屋皙

律

（电磁感

应

而

”（电3综合M动力或问题X能3问题―

13.物理实验

I光学用双缝干涉伊里解用用双缝干涉测光的波长的原理，②会用双缝

I实魄I一测光的波长I卞涉法测光的波长

著名哲学家、数学家罗素就曾说过：“数学,如果正确地看它,则具有……至高无上的美一一正像雕

刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐的那些

华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地

一种真实的喜悦的精神,一种精神上的完备，一种觉得高于人的意识一一这些是至善至美的标准，能够

在诗里得到,也能够在数学里得到.”总之,数学美是一种结构美，一种“简单”的美.

3、归纳推理在中学物理学中的应用

英国剑桥大学数学家Littlewood教授曾经提出一个有趣的论断：“在创世之前上帝只是在研究纯数

学,然后他想搞点应用应该是件有意思的事情.”归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,物理中常常用到

不完全归纳,合理地运用归纳法对我们解决一些物理问题有很大帮助.运用不完全归纳的前提条件是物

理的运动规律要有反复性和相似性.

数学知识回顾：所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理，传统上,根据前提所

考察对象范围的不同,把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理.完全归纳推理考察了某类事物

的全部对象,不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象.并进一步根据前提是否揭示对象与其

属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理.现代归纳逻辑则主要

研究概率推理和统计推理.归纳推理的前提是其结论的必要条件.首先,归纳推理的前提必须是真实的,

否则，归纳就失去了意义.其次,归纳推理的前提是真实的,但结论却未必真实,而可能为假.

伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”.无独有偶，大数学家高斯也曾

说过,他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续.纵观古今，科学的发展史其实也是

一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史.数学的发展更是这样的.科学结论的得到大致包含以下几

个阶段:观察、实践f推广f猜测一般性结论一论证结论.而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法.这

与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上论证这一规律的一般性,这是人们认

识自然的客观法则之一”的观点大致相同.杨振宁教授说：“美国学物理的方法与中国学物理的方法

不一样，中国学物理的方法是演绎法,先有许多定理,然后进行推演,美国对物理的了解是从现象出发，

倒过来的,物理定理是从现象归纳出来的,是归纳法.演绎法是学考试的人用的方法;归纳法是做学问的

办法.做学问的人从自己的具体工作分析中抽象出定理来,这样所注意的就是那些与现象接近的东西.”

倪光炯讲：“物理学史表明,真正重要的第一流研究成果,从来不是靠演绎法推算出来的,而是靠分析归

纳法”，“演绎法当然也很重要，但它的结论实际上早已隐含在大前提之中了”，认为“从‘战术’上看，

做演绎法似乎很保险，但从‘战略’上看却不见得“必须记住物理学首先是一门实验科学，因此我们

的研究必须首先'面对现象'，'面对实验事实'，'面对原始问题'“全部科学史还表明：……

当一种成熟的理论或观点已被绝大多数人所接受后，便形成所谓‘主流'，研究中随大流或‘赶热门'

便成为了常见现象.然而自然界比人更富想象力,新的较大的发展，要求越出主流,另辟蹊径,要求抛弃

一些过去的成见(或偏见)，即要求一个研究者及时而坚决地改变自己原来不正确的思想.事实上,很少

有人能做到这一点”.物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的.归纳推理是解决物体

与物体发生多次作用后的情况,即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应

用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式.常用它来研究运动规律已知,在一定条件下连续进行

的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题.它具体方法是先分析某一次作用的情况，得

出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解；或导出联系

相邻两次作用的递推关系式,再把结论推广,后结合数学知识求解.

例1：把长为S的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端A由静止出发，以加速度a运动，当它达到

每一等份的末端时,加速度增加a/n,则汽车到达终点B时的速度是多少？

2

解析：设经过每一份后的速度分别以V1、V2,、、、，V”表示..…出aS/n,v2=2a(1+1/n)S/n+2

Z

aS/n,V3=2a(1+2/n)S/n+2a(1+1/n)S/n+2aS/n,、、、

v„z=2aS/n(2-1/n)+2aS/n(2-2/n)+2aS/n(2-3/n)+、、、+2aS/n(2-n/n)=2aS/n[2n-n(n+1)

5

/2n].vn=[as(3-l/n)]0'.

例2如图所示,质量为)的由绝缘材料制成的球与质量为19必的金属球并排悬挂.现将绝缘球拉

至与竖直方向成6=60°的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞.在平衡位置附近存

在垂直于纸面的磁场.已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处.求经过几次碰

撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°.

八

〃〃八

.00烷

图1

【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后,其速率将减小,从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小.

而每次两球碰撞后,绝缘球的速率是有规律性的变化,要求解本题题设条件下的碰撞次数,关键在于归

纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律.

【解析】方法1.根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解.设

小球〃的摆线长度为/，绝缘球第一次碰撞前的速度为由，碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为咏九

设速度向左为正，小球0在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：

加和必碰撞过程满足：mv0=MVx+mv\,②

-mv*=+-MV^匕

202121,③联立②、③得：^=m""+步M",

由于必＜0,说明绝缘球被反弹,而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球"发生碰撞,设第二次碰

撞后绝缘球与金属球的速度分别为小满足：

_—mv?=—_

m\Ki|=MV2+mv-i，④222,⑤

m-M,।

v=------x匕=_------R

由④、⑤解得：根+肠|整理得：\m+M）,

m-M

匕T

同理第三次碰撞后绝缘球的速率匕为:m+M

匕=|——覆?।

由以上归纳推理得到第〃次碰撞后绝缘球的速率为",所以：\m+M），⑥

经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45。，则mgW-"s45。）=3aq,⑦

联立①、⑥、⑦代入数据解得，（0.81）"=0.586,

当P=3时,碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°.

方法2.导出联系相邻两次作用的递推关系式,再把结论推广,后结合数学知识求解.

设在第〃次碰撞前绝缘球的速度为“T,碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为心和小,由于碰撞过

程中动量守恒,碰撞前后动能相等,则mv,.-^fV,.+niv„,

111

一加y?=一a+—MU'匕=-----匕t

2""2"2",解得+M）,由以上归纳推理得到第〃次碰撞后绝

v=|------v01

缘球的速率为%,+,再利用方法1的求解可得到结论.

小结：该题除了考查碰撞中的动量守恒定律以及能量守恒定律外,还运用了归纳推理寻找通项公

式,即绝缘小球每一次碰撞前与碰撞后的动能关系，从而找到了绝缘小球每次碰后的动能与初动能的关

系.找不到这个通项关系,而使用递推法解题的计算量会非常大.在解决某些物理过程比较复杂的具体

问题时,常从特殊情况出发,归纳出一般情况下的猜想,然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜

想是正确的.此类题要求注意在书写上的规范，以便于找出其中的规律.

例3我们在火车站常看到载重列车启动时,机车要往后倒退一下，目的是使各节车厢之间的挂钩

都离开一段距离，以便于启动,这是因为机车和车厢与铁轨之间的最大静摩擦力大于它们之间的动摩擦

力,若机车不倒退直接启动,启动以后机车和车厢与铁轨之间的摩擦力由静摩擦力变为动摩擦力，当列

车加速到一定的速度后，列车的机车就必须减少牵引力使列车匀速直线运动，资源不能得到充分的利用,

所以载重列车常常采用我们所见到的启动方式启动.今有一列载重列车，若它不倒退以恒定的牵引力直

接启动，机车的牵引力能带动49节车厢(不含机车),那么它利用倒退后用同样大小的恒定牵引力启动，

该机车启动59节同样质量的车厢以后，恰好做匀速直线运动，已知机车与各节车厢的质量均为力,机车

和各节车厢与铁轨之间的动摩擦力为umg,假设机车倒退后,各节车厢之间的挂钩离开相同的距离s,

机车加速后,每拉动一节车厢的瞬间可近似地认为满足动量守恒定律的条件.求：(1)每一节车厢与铁

轨之间的最大静摩擦力？(2)列车采用机车倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度？(最终结果可

以用根式表示)

解：(1)设每节车厢所受最大静摩擦力为£，机车的牵引为为月直接启动时，有户(49+1)£(1)

当采用倒退方式启动时，有六(59+1)umg(2).由①、②两式可得：£=1.2〃侬(3)

(2)设第一节车厢被拉动前,机车的速度为，，被拉动后，机车的速度为匕'由动能定理有

(F_R噫)S=—mV?

2(4)

„。V:2=L(L-ng')S

由动量守恒定律有*八=2泡匕(5)由④、⑤得2m