考点15 圆（解析版） -中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点15圆

课标对考点的要求

对圆问题，中考命题需要满足下列要求：

(1)理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。

(2)探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

(3)探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对

弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对

角互补。

(4)知道三角形的内心和外心。

(5)了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一

点画圆的切线。

(6)探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

(7)会计算圆的弧长、扇形的面积。

(8)了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

重要考点知识解疏

一、圆的有关概念

1.与圆有关的概念和性质

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

(6)弦心距：圆心到弦的距离.

2.注意

(1)经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条：

(2)3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.

(3)任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.

二、垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，i般过圆心作弦的垂线，构造直

角二角形.

2.推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

三、圆心角、弧、弦的关系

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系

必须在同圆等式中才成立.

2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各

组量都分别相等.

四、圆周角定理及其推论

1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.2）直径所对的圆周角是直角.

圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角

间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

五、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d.（l）dvro点在。。内；（2）d=ro点在。O上；（3）上点在。0外.

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.

2.直线和圆的位置关系

位置关系相离相切相交

图形CD

公共点个数0个1个2个

数量关系d>rd=rd<r

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.

六、切线的性质与判定

1.切线的性质

(1)切线与圆只有一个公共点.

(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.

(3)切线垂直于经过切点的半径.

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.

2.切线的判定

(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).

(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共

点时，作垂直，证垂线段等于半径.

七、三角形与圆

1.三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接

三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

2.三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外

切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等.

八、正多边形的有关概念

正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径.

正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角.

正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

九、与圆有关的计算公式

1.求解圆的周长和面积的公式

设圆的周长为r,则：

(1)求圆的直径公式d=2r

(2)求圆的周长公式C=2nr

(3)求圆的面积公式§=兀#

2.弧长和扇形面积的计算：

扇形的弧长仁E;

180

扇形的面积

3602

3.圆锥与侧面展开图

（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

（2）若圆锥的底面半径为，，母线长为/,则这个扇形的半径为/,扇形的弧长为2M,

圆锥的侧面积为S姗隹*?/•2兀r=Ttrl.

2

圆锥的表面积：S回植；K=S四惟偈+S咻=冗”+兀a=”•（/+r）.

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.

重要词题解题思维方法总结

一、解题要领

1.判定切线的方法

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有

时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平

分线；总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此

及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式

复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是

要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已

知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它

所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，

解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基

本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

二、攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑

类型1图形：

（1）如图1,49是。。的直径，点反。是。。上的两点.

基本结论有：在“力。平分N加夕；“AD1CD”；“如是。。的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3,应等于弓形旌的高；屐丝的弦心距在'（或弓形腔的半弦的。

（3）如图（4）：若CKLAB于K,则:

②JADCs/ACBnAC;AD・AB

（4）在⑴中的条件①、②、③中任选两个条件，当应LL0于£时（如图5）,则:

D

C

①DE=GB；②DC=CG：③AD+BG=AB；®AD^BG=-DG2=l)d

类型2图形：如图：RtdABC中,/月的90°。点。是“'上一点，以优为半径作。0交4C于点区基本结

论有：

到

(1)在“BO平■分NCBA”;“加〃的‘；”力8是00的切线”；"劭二才'。四个论断中，知一推三。

(2)①G是ZJ颇的内心；②CG=GD；③△BCO^ACDEnBO・DE=CO・CE='C百、

2

(3)在图(1)中的线段8aCE、AE、力。中，知二求四。

A£1

(4)如图(3),若Q)BC=CE,则：②一=-=tanNADE；③BC：AC：力庐3：4：5；(在①、②、③中知

AD2

一推二)④设或;CD交于点H,,则BH=2EH

类型3图形：如图：Rt4ABe中,/力吐90。，以AB为直径作。0交AC于D,基本结论有:

如图：

(1)施切。00£是优的中点;

(2)若如切。0,则：

O)DE=BE=CE：

②〃、0、B、/四点共圆=/OF作2/4

③CD♦CA=4B匕DE=CD=BC

RBDBA

图形特殊化：在(1)的条件下

如图：DE〃ABOAABC、/迹是等腰直角三角形;

如图：若分的延长线交力〃的延长线于点尸，若AB=";贝ij：

CDE1BE1

①——=-

EF3R

类型4图形：如图，//胸中，AB=AC,以48为直径作。0,交a'于点〃，交AC于点、F,

基本结论有：

(1)DE1ACQDE切。6

(2)在应J_/C或如切。0下，有：

①是等腰三角形；

②EF=EC：③〃是命的中点。④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD,产生母子三角形。

类型5图形：以直角梯形力用7?的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:

(1)如图1：QAD+BC=CD:②4C0D=/AE板90°；③如平分NADC(或比'平分NZCT)；(注：在①、

②、③及④”或是。。的切线”四个论断中，知一推三)

④AD♦BC=LABJ*；

4

(2)如图2,连/43,则有：CO//左2/(与基本图形2重合)

(3)如图3,若EF1AB于F,交〃1于G,则：EG^FG.

类型6图形：如图：直线外的半径加于£,〃。切。。于0,BQ交直线掰于几

基本结论有：

(1)FQ=PR(/尸Q?是等腰三角形)；

(2)在“PR10B”、“尸0切。〃'、"PQ=PR'中，知二推一

(3)2PR・RE=BR・RQ=BE・2R=A^

类型7图形：如图，，/胸内接于00,/为△/!肉的内心。基本结论有:

(1)如图1,®BD=CD=ID；②Df=DE・DA；③N4/900+-ZJ®

2

£1

(2)如图2,若N为伍60°,则：BD+CE=BC.

图2

类型8图形：己知，力8是。。的直径，C是俞中点，CDLAB于D°BG交.CD、AC

于反Fo基本结论有：

(1)CD=LBG：BE=EF=CExGF=2DE

2

(反之，由处;BG或BE=EF可得:。是众中点)

(2)OE=-AFtOE//AC-,AODEs/AGF

2

⑶BE•BG=BD•BA

(4)若〃是阳的中点，则：①是等边三角形；②BC^CG=AG

中考典例解析

【例题1】（2021重庆）如图，4B是。0的直径，AC,BC是。0的弦，若NA=20°,则NB的度数为（）

AB

A.70°B.90°C.40°D.60,

【答案】A

【解析】根据直径所对的圆周角为90°,即可求解.

TAB是。。的直径，

AZC=90°,

VZA=20°,

.'.ZB=900-NA=7U°.

【例题2】（2021山东济宁）如图，正五边形A8COE中，NCA。的度数为（）

【答案】C

【解析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出NC4B和NZME,即可求出NCAD

根据正多边形内角和公式可得，

正五边形ABCOE的内角和=180°X（5-2）=540°,

则=108°,

5

根据正五边形的性质，△ABCgZXAED,

：.ZCAB=ZDAE=^-（180°-108°）=36°,

2

・・・NCAO=I080-36°-36°=36°.

【例题3】（2021山东济宁）如图，△48C中，/A8C=90°,AB=2,AC=4,点O为8C的中点，以O

为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点。，则图中阴影部分的面积是

【答案】

42

【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得OE的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分

的面积是△ABC的面积减去△CO。的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题.

连接。D,过。作。于E,

在△ABC中，NA8C=90°,48=2,AC=4,

?，SinC=AC=BC=TAC?-AB2=“_22=2加，

AV34

.'.ZC=30°,

・・・NUOB=60°,

-：OD=1BC=^3,

2

：.DE=^

2

•兀跖.兀

，阴影部分的面积是：上x2X2加-工x«x2・60X3=

222-360-42

故答案为：^3-2L.

【例题4】(2021大连)如图1,ZXABC内接于。0,直线MN与。。相切于点O,与3c相交于点E,

BC//MN.

(1)求证：NB4C=NOOC；

(2)如图2,若AC是。0的直径，E是0。的中点，。0的半径为4,求AE的长.

A

图2

【解析】（1）连接0B,如图1,根据切线的性质得到0D1MN,则ODLBC,利用垂径定理得到丽=CD,

然后根据圆周角定理得到结论；

（2）先计算出庭=2力，根据垂径定理得到接着利用勾股定理计算出AB,然后计算4E

的长.

【解答】（1）证明：连接。8,如图1,

•・•直线MN与。。相切于点D,

：.ODLMN,

■:BC//MN,

：.BD=CD,

/.ZBOD=/COD,

VNBAC=|ZBOC,

AZBAC=ZCOD；

(2)YE是。£>的中点，

：.OE=DE=2,

在Rl/XOCE中，CE=-阳=，皆-2?=2倔

•：OELBC,

：.BE=CE=2y/3,

〈AC是。。的直径，

/.ZABC=90°,

：.AB=>/AC2-BC2=/82-(4V3)2=4,

=心+(273)2=20.

在RtzXABE中，AE=\AB2+BE2

图2

考点问题综合训练

一、选择题

1.（2021辽宁营口）如图，OO中，点C为弦A6中点，连接OC,OB,NCOB=56°,点。是标上任

意一点，则NAOB度数为（）

A.112°B.124°C.122°D.134°

【答案】B

【解析】作彘所对的圆周角NAP8,如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分NA08,则NAOC=N

50c=56°,再根据圆周角定理得到NAP8=56°,然后根据圆内接四边形的性质计算NA£>B的度数.

解：作益所对的圆周角N4P8，如图，

TOCOA=OB,

・・・0C平分N408,

・・・N4OC=N8OC=56°,

，NAP8=2/AOB=56°,

2

VZAPB+ZADB=\SOQ,

/.ZA£>B=180°-56°=124°.

故选：B.

2.(2021浙江绍兴)如图，正方形A8CD内接于。0,点P在标匕ZBPC=()

【答案】B

【解析】根据正方形的性质得到弧所对的圆心角为90°,则N5OC=9(T,然后根据圆周角定理求解.

;正方形ABCD内接于。0,

.3C弧所对的圆心角为90°,

ZBOC=90°，

；.NBPC=Z/BOC=45°.

2

3.(2021云南)如图，等边AABC的三个顶点都在。。上，AO是。。的直径.若。4=3,则劣弧的

长是：)

A.-B.nC.—D.2n

22

【答案】B

【解析】连接08、BD,由等边AABC,可得NQ=NC=60。，且08=。。，故ABO。是等边三角形，NBOD

=60°.又半径。4=3,根据弧长公式即可得劣弧8。的长.

解：连接。8、BD,如图：

丁等边A4BC,

AZC=60°,

•・•弧48=弧人8,

・・・ND=NC=60。，

'：OB=OD,

・•・△50。是等边三角形，

AZBOD=60°,

•・•半径0A=3,

・・・劣弧的长为竺&坦=

180

【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用.

4.（2021四川泸州）如图，。0的直径48=8,AM,8N是它的两条切线，。七与00相切于点E,并与

AM,BN分别相交于。，C两点，BD,OC相交于点凡若C£>=10,则B尸的长是（）

【解析】如图，构建如图平面直角坐标系，过点。作。H_L3C于从想办法求出C,。两点坐标，构建一

次函数，利用方程组确定交点坐标即可.

如图，构建如图平面直角坐标系，过点力作O〃_L8C于”.

TAB是直径，A8=8,

：.0A=0B=4,

,;AO,BC,CO是0。的切线，

AZDAB=ZABH=ZDHB=9Q°,DA=DE,CE=CB,

・•・四边形ABH。是矩形，

：・AD=BH,AB=DH=S,

•**CH=VCD2-DH2=7102-82=6,

设贝ijEC=CB=x+6,

/.X+A+6=10,

・・・x=2,

：.D(2,4),C(8,-4),B(0,-4),

:.直线OC的解析式为y=-X,直线AD的解析式为y=4x-4,

8

_1

y-X

由＜-2,解得，

4,

y=4x-4y=3

.••尸（星,-A）,

99

，叩椅/MEW

故选：A.

5.（2020•黔东南州）如图，OO的直径8=20,AB是。。的弦，ABLCD,垂足为M,OM：。。=3：5,

则AB的长为（）

A.8B.12C.16D.2、，宛

【答案】C

【解析】连接。4,先根据。0的直径CO=20,OM：0。=3：5求出0。及OM的长，再根据勾股定理可

求出AM的长，进而得出结论.

连接。4,

;。。的直径CQ=20,OM：OD=3：5,

工00=10,OM=6,

•・F8J_CO,

：,AM=<0A2-0M2="02-62=8,

6.（2020•营口）如图，48为。。的直径，点C,点。是。。上的两点，连接C4,CD,AD.若NC4B=

40°,则NAOC的度数是（）

C

D

A.110°B.130°C.140°D.160°

【答案】B

【解析】连接BC,如图，利用圆周角定理得到NAC8=90°,则N8=50°,然后利用圆的内接四边形的

性质求N4DC的度数.

如图，连接8C,

:A8为00的直径，

.•・NAC8=9(T,

/.ZB=90°-ZG4B=90°-40°=50°,

VZfi+ZADC=180°，

：.ZADC=I8O°-50°=130°.

7.（2020•湘西州）如图，PA.P8为圆。的切线，切点分别为A、B,尸。交4B于点C,P。的延长线交

圆O于点。.下列结论不一定成立的是（）

A.△5%为等腰三角形

B.AB与P。相互垂直平分

C.点A、B都在以尸。为直径的圆上

D.尸。为AB以的边AB上的中线

【答案】B

【解析】根据切线的性质即可求出答案.

(A);以、PB为圆。的切线，

网是等腰三角形，故A正确.

(8)由圆的对称性可知：ABLPD,但不一定平分,

故BK一定正确.

(C)连接08、OA,

〈BA、PB为圆。的切线，

・・・/08尸=NO4P=90°,

・•・点人、B、P在以。P为直径的圆上，故C正确.

(。)是等腰三角形，PD1AB,

JPC为48%的边AB上的中线，故。正确.

8.(2020•徐州)如图，是。O的弦，点C在过点8的切线上，OC_LOA,OC交A8于点尸.若NBPC

=70°,则NABC的度数等于()

A.75°B.70°C.65°D.60,

【答案】B

【解析】先利用对顶角相等和互余得到NA=20°,再利用等腰三角形的性质得到NOB4=NA=20°,然

后根据切线的性质得到OBLBC,从而利用互余计算出N48C的度数.

'COCLOA,AZAOC=90°，

V/APO=/RPC-lf}0,・・・/4=90°-70°=20°,

•：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20°,

为。。的切线，AOBLBC,・・・NOBC=90°,，NA8C=90°-20°=70°.

9.（2020•苏州）如图，在扇形Q4B中，已知NAOB=90°,OA=>/2,过砧的中点C作CO_LOA,CEL

OB,垂足分别为。、E,则图中阴影部分的面积为（）

rt7T1

A.IT-1B.——1C.71—5D.---

2222

【答案】B

【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC,根据全等三角形的性质得到OD=OE,

得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论.

【解析】'：CDVOA,CELOB,

：.ZCDO=ZCEO=ZAOB=90°,

，四边形CQOE是矩形，

连接OC,

•・•点C是油的中点，

ZAOC=NBOC,

'：OC=OC,

•••△CO性△COE(A4S),

：・OD=OE,

・•・矩形。OE是正方形，

a：OC=OA=y[2,

・・・OE=1,

・・・图中阴影部分的面积=嚼0-1乂1=与一|

□OU/

B

10.（2020•黔东南州）如图，正方形ABC。的边长为2,。为对角线的交点，点E、尸分别为BC、AD的

中点.以。为圆心，2为半径作圆弧时，再分别以E、尸为圆心，1为半径作圆弧前、OD,则图中阴影部

分的面积为（）

R

A.n-1B.JT-2C.IT-3D.4-n

【答案】B

【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半

圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决.

【解析】由题意可得,

阴影部分的面积是：-,TTX22-1-7TXI2-2(1Xl-i*nXI2)=TT-2,

424

11.（2020•金华）如图，00是等边△ABC的内切圆，分别切A8,BC,AC于点E,F,D,P是5?■上一

点，则NEP尸的度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50'

【答案】B

【解析】如图，连接OE，OF.求出NEO尸的度数即可解决问题.

如图，连接OE,OF.

：.OELAB,OFLBC,

：./OEB=NOFB=90°,

•••△ABC是等边三角形，

AZB=60°,

AZ£OF=I20°,

ZEPF=|ZEOF=60°.

二、填空题

I.（2021江西）如图，在边长为6百的正六边形48coEF中，连接BE,CF,其中点M,N分别为BE和

CF上的动点.若以M,N,D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长

【答案】9或10或18.

【解析】连接OF,OB,BF.则aOB尸是等边三角形.解直角三角形求出。尸，可得结论.当点N在OC上，点

M在0E上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论.

解：连接。七。84E则△OBr是等边三角形.

A

设BE交DF于J.

•・•六边形4BCOE尸是正六边形，

，由对称性可知，DFLBE,NJEF=60",EF=ED=6册,

，E/="=E尸・sin600=6加X返=9,

2

/.DF=18,

・•・当点M与8重合，点N与〃重合时，满足条件，

的边长为18,

如图，当点N在0C上，点”在。七上时，

等边AQMN的边长的最大值为6脏心10.39,最小值为9,

•••△QMN的边长为整数时，边长为10或9,

综上所述，等边△OMN的边长为9或10或18.

2.（2021重庆）如图，在菱形A8co中，对角线AC=12,8。=16,分别以点4,B,C,。为圆心，工8

2

的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为一.（结臭保留n）

【答案】96-100m

【解析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解.

在菱形48C。中，有：AC=12.80=16.

,AB=^(^-BD)2+(-1AO2=10-

VZABC+ZBCD+ZCDA+ZDAB=360<>.

，四个扇形的面积，是一个以工8的长为半径的圆.

2

，图中阴影部分的面积=2x12X16-nX102=96-lOOir.

2

3.(2021内蒙古通辽)如图，A8是。。的弦，AB=243,点C是。。上的一个动点，且NAC8=60°,

若点、M,N分别是A8,BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是

【答案】"

34

【解析】连接OA、OB、OM,根据圆周角定理得到NAO8=120°,求出0加=1,。4=2,再根据三角形

s

中位线性质得到MN//AC,MN=±AC,然后根据三角形相似得到△岫N=(MN)2=工，故当的

2^AABCAC4

面积最大时，△M8N的面积最大，由。、O、M在一条直线时，△A8C的面积最大，求得△ABC的最大值,

进而即可求得△M8N的面枳最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影

部分的最大值.

AZAOB=1200,

OA=OB,

A7OAR=7ORA=W,

*：AM=BM=±AB=J3,

2

：.OMYAB.

/.tan30o=QL

AM

：.0M=®又如=1,

3

：,OA=2OM=2,

二点M、N分别是43、BC的中点,

：.MN//AC,MN=X1C,

2

:•△MBNs^ABC,

S

AMBN_(MN)2=工

,△ABCAC4

当AABC的面积最大时，△MBN的面积最大,

C、。、M在一条直线时，△A8C的面积最大,

次,

△ABC的面积最大值为:Ax2V3X<2+1)=3

2

△MBN的面积最大值为：斑③,

4

S弓形=S扇形OA3-S^AOB=*疑2巾L号S

此时，s”也-仁笙=业-返

3434

4（2020•黑龙江）如图，AO是△ABC的外接圆。。的直径，若NBCA=5Q°,则乙4。8=

【答案】50.

【解析】根据圆周角定理即可得到结论.

•・・A。是△ABC的外接圆。。的直径,

・••点A,3,C,。在。O上，

VZflCA=50°,

：.NAOB=NBC4=50°

5.（2020•天水）如图所示，若用半径为8,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），

则这个圆锥的底面半径是.

8

【答案】

【解析】根据半径为8,圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可.

设圆锥的底面半径为r,

一1207TX8

由题意得，-------=2nr,

180

解得，r=|

6.（2020•苏州）如图，已知48是。0的直径，AC是。0的切线，连接0C交于点。，连接若

NC=40°,则的度数是°.

【答案】25.

【分析】先根据切线的性质得NO4C=90'，再利用互余计算出NAOC=90°-ZC=50°,由于/。8。=

NODB,利用三角形的外角性质得NOBQ另NAOC=25°.

【解析】・・・AC是。。的切线,

：,OALAC.AZOAC=90°,

/./AOC=W-ZC=90°-40。=50°,

•；OB=OD,

：.NOBD=NODB,

而ZAOC=ZOBD+ZODB,

：.ZOBD=|ZAOC=25°,

即NMO的度数为25°

7.（2020•重庆）如图，在边长为2的正方形ABC。中，对角线AC的中点为。，分别以点A,C为圆心,

以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为.（结果保留n）

【答案】4-m

【解析】据勾股定理求出AC,得到OA、0C的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案.

•・•四边形ABCD为正方形,

:・AB=BC=2,/DAB=/DCB=90°,

由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=2^,

：.OA=OC=>/2,

・••图中的阴影部分的面积=22-9以*琢*2=4-n

3oU

8.（2020•荆门）如图所示的扇形408中，0A=08=2,NAOB=90",C为防上一点，NAOC=30°,

连接BC,过。作0A的垂线交40于点D,则图中阴影部分的面积为.

月

【答案】］2一苧

【解析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S@形BOC-SAOBC+SZXCO。进行计算.

•・・NAO8=90°,NAOC=30°,：,ZBOC=6Q°,

•・•扇形40B中，04=08=2,：.0B=0C=2,•・.△BOC是等边三角形，

:过。作0A的垂线交A0于点。，AZ0DC=90°,

VZAOC=30°,

：.0D=^°C=y[3,CD=10C=1,

，图中阴影部分的面积一S扇形BOC-S^OBC+S^COD

=60^22—|x2x2x^y+|xV3X1

9.（2020•鄂州）用一个圆心角为120。，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径

为.

4

【答案】

3

【解析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径.

设圆锥底面的半径为「，

—.…,120^X48

扇形的弧长为：-------=F，

1803

•・•圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长,

・二根据题意得2nr=尹,

4

得

解-

3-

10.（2020•泰安）如图，点0是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A,。在半圆上，且4O〃B。，NA8O

=60°,45=8,过点。作。CLBE于点C,则阴影部分的面积是.

【答案】--8^.

【分析】连接04易求得圆。的半径为8,扇形的圆心角的度数，然后根据S阳影=SAAO5+S凰形QAD+S项形

ODE-SABCD即可得至lj结论.

【解析】连接Q4,

•・•/舫0=60°,OA=OB,•・•△A08是等边三角形，

•・・A8=8,・・・0。的半径为8,

■:AD!/OB,・・・NOAO=NAO8=60°,

t：OA=OD,・・・NAOO=60°,

VZAOB=ZAOD=60°,AZD0£=60°，

•.♦OC_LBE于点C,

1

-

2

12

-

2x8x4V3+2x6。靖-|xl2x4x^3

OUU4

=竽-8、片

11.（2020•台州）如图，在△A8C中，。是边BC上的一点，以4。为直径的0。交4c于点E，连接。石.若

OO与相切，ZADE=55°,则NC的度数为.

【解析】由直径所对的圆周角为直角得N工£。=90°,由切线的性质可得NAOC=90°,然后由同角的余

角相等可得NC=NAOE=55°.

〈AD为OO的直径,

・・・NA£O=90°,

/.ZADE+ZDAE=90°；

・.・。0与8C相切，/.ZADC=90°，

：.ZC+ZDAE=90°，：,ZC=AADE,

•・・NAOE=55°，・・・NC=55°.

12.（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°,半径为4,则这个扇形的面积为.（结果保留TT）

【答案】47T.

【解析】利用扇形的面积公式计算即可.

c90"4"4

S扇形=-5而一—

13.（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中,点P在上，则APE产的面积为cm2.

CD

【答案】2代

【解析】连接BF,BE,过点A作AT_LB尸于7；证明S“EF=SMEF,求出ABM的面积即可.

连接BEBE,过点A作AT_LB尸于T

:.CB"EF,AB=AF,ZBAF=\20°,

.*.SAPEF=SABEF,

TATIBE,AB=AF,

：.BT=FT,NB4T=/RT=60°,

••・8T=FT=A8・sin600=6,

:・BF=2BT=26,

VZAFE=120°,ZAFB=ZABF=3Q°,

：・/BFE=90°,

:・SAPEF=S、BEF=2,EF・BF=Ix2X2、石=2、用

三、解答题

1.(2021山东济宁)如图，点C在以AB为直径的。。上，点。是6c的中点，连接。。并延长交。。于

点E,作NEBP=NEBC,8P交。E的延长线于点P.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)若AC=2,PD=6,求。。的半径.

B

【答案】见解析

【分析】（1）由4A为直径，可得/4。?=90°,又力为中点,C为AA中点，可得CO〃AC从而/

006=90°.由08=。七得N0E8=N08E,又N0EB=NP+NEBP,N0BE=N0BD+NEBC,所以NP+

NEBP=N0BD+NEBC,又NEBP=NEBC,得/尸=NOBO.又NB0D+NOBD=90。,从而可得NB0D+

NP=90°,即NO8P=90°.则可证为。0切线；

（2）由（1）可得。。=1,从而尸0=7,可证明△BOP〜△0BP,从而得比例BP=DP,解得B尸=根，

OPBP

最后由勾股定理可求半径0B.

解：C1）证明：・・・AB为直径，

・・・NACB=90°,

又。为5。中点，。为A8中点，

故OQ=工AOOD//AC,

2

：・NODB=NACB=90°.

•：0B=0E,

：./0EB=N0BE,

又•：/OEB=NP+NEBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,

：.NP+NEBP=NOBD+/EBC,

又/EBP=/EBC,

：・4P=/0BD.

•：/BOD+/OBD=90°,

AZBOD+ZP=90°,

・・・NO5P=90°.

又OB为半径，

故PB是。。的切线.

（2）*：AC=2,

由（1）得OO=_LAC=L

2

又PD=6,

：,PO=PD+OD=6+\=1.

VZP=ZP,NBDP=NOBP=90°,

：.4BDP〜AOBP.

A=DP,即8产=0P•。尸=7X6=42,

OPBP

ABP=V42.

Jop2_Bp2=V49-42=V7-

故oo的半径为证.

2.(2021云南)如图，AB是。0的直径，点C是。。上异于A、B的点,连接AC、BC,点。在84的延

长线上，且N£>C4=NABC,点E在。C的延长线上，HBELDC.

(1)求证：OC是。O的切线；

(2)若丝=2,BE=3,求0A的长.

【答案】见解析。

【解析】(1)连接OC,由等腰三角形的性质得出NOCB=NOBC,由圆周角定理得出N4CB=90。，证出

NOCO=90。，则可得出结论；

nrOD4

(2)设O4=08=2x,OD=3x,证明△OCOS^DEB,由相似三角形的性质得出匕=士上=巳，求出

BEDB5

的长，则可求出答案.

【答案】(1)证明:连接。C,

E

*：OC=OB,

：,ZOCB=NOBC,

•・•ZABC=ZDCA,

・・・NOCB=NOCA,

又•・•AB是。。的直径，

:.NACB=90。，

，N4C0+N0C8=90。，

・・・/OCA+NACO=90。，

即NDCO=90。，

・・・OC_LOC,

•・・OC是半径，

•••OC是。。的切线；

(2)解：•・•丝=2,且0A=08,

OD3

设OA=OB=2x,OD=3x,

：,DB=OD+OB=5x,

・OD_3

.•,

DB5

又〈BELDC,DC,LOC,

：.OC〃BE,

：・4DC0s4DEB,

.OCOD3

••==—,

BEDB5

•:BE=3,

・

•・%L—9,

10

9

：,AD=OD-OA=x=—,

10

即4。的长为2.

10

【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与

性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键.

3.(2021新疆)如图，AC是的直径，BC,是。0的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F,

过点。作DEJ_8C,交8C的延长线于点E,且8平分NACE.

(1)求证：是。。的切线；

(2)求证：/CDE=/DBE；

(3)若OE=6,tan/COE=2,求8/的长.

3

【解析】(1)连接OO，由8平分/ACE,OC=OD,可得OD//BC,从而可证是

OO的切线；

(2)连接A3,由AC是。。的直径，得N48O+ND8C=90°,又/ABD=4ACD,ZABD=ZODC,可

得NOOC+NOBC=90°,结合NODC+NCDE=90°,即可得NC。七=NOBE；

(3)求出CE=4,BE=9,即可得3。=5,由例为8c的中点，可得0M_L8C,BM=$,RtZXBQW中，

2

求出FM=立，再用勾股定理即得答案，8广=后而不='亘.

36

【解答】(1)证明：连接0£>,如图:

•；CD平分NACE,

：•/OCD=/DCE,

•：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

:.NDCE=NODC,

：.OD//BC,

'：DELBC,

：.DELOD,

是。。的切线；

（2）证明：连接48,如图:

〈AC是。。的直径，

AZABC=90°,即NA6Q+NO6C=90°,

vAE=AD.

:.NABD=NACD,

'：NACD=NODC,

：.NABD=NODC,

・・・NOOC+NOBC=90°,

•：/ODC+/CDE=90°，

：./CDE=/DRC,即/CDF-/DRE-

(3)解：RtZkCOE中，DE=6,tan/CZ)E=2,

3

・

••，CE_—29

63

：・CE=4,

由(2)知NCDE=NDBE,

RtZXBDE中，DE=6,tan/O8E=2,

3

•-•・・6_29

BE3

・・・8E=9,

：,BC=BE-CE=5,

•・•何为8c的中点，

；・0M上BC,8M=Zc=$,

22

RtZXB尸M中，8M=9,tan/DBE=2,

23

.理=2

•・§一§