2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价二第一章空间向量与立体几何1.1.2空间向量的数量积运算含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE二空间向量的数量积运算(15分钟30分)1．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能推出l⊥α.若l⊥α，则肯定有c·a＝0，c·b＝0，故选项B符合题意．2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．－eq\f(1,2) D．0【解析】选D.因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|·coseq\f(π,3)－|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·coseq\f(π,3)＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于________．【解析】因为|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b＝1－6×cos60°＋9＝7，所以|a－3b|＝eq\r(7).答案：eq\r(7)4．已知向量a，b满意：|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a与2b－a相互垂直，则a与b的夹角为________．【解析】因为a与2b－a垂直，所以a·(2b－a)＝0，即2a·b－|a|2所以2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，所以4eq\r(2)cos〈a，b〉－4＝0，所以cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以a与b的夹角为eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)5．如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．【解析】因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝12＋2×(2×2·cos90°＋2×2·cos120°＋2×2·cos90°)＝8，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，即A，D两点间的距离为2eq\r(2).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3bA．eq\r(97)B．97C．eq\r(61)D．61【解析】选C.|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b|b|cos60°＝97－12×2×3×eq\f(1,2)＝61.所以|2a－3b|＝eq\r(61).2．设向量a，b满意|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b等于()A．1 B．2 C．3 D．5【解析】选A.|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2将上面两式左、右两边分别相减得4a·b＝4，所以a·b3．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满意eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC的中点，则△AMD是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定【解析】选C.因为M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，所以AM⊥AD，所以△AMD是直角三角形．4．在正方体ABCD­A1B1C1D1①(＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；②·(＝0；③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．0【解析】选B.如图所示．由(＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2(·eq\o(AD,\s\up6(→))＋·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2，知①正确；由·()＝·()＝·＝0，知②正确；与的夹角为120°，故③不正确．二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．设a，b，c是随意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|<|a－b|C．(b·a)c－(c·a)b肯定不与c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b【解析】选BD.依据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不肯定相等，故A错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故C错误；易知BD正确．6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列向量的数量积能为0的有(A．· B．·eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))· D．·eq\o(BC,\s\up6(→))【解析】选ABC.对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1所以AD1⊥B1C，此时有＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，易得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；对于选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·＝0.对于选项D，由于与eq\o(BC,\s\up6(→))不行能垂直，所以·eq\o(BC,\s\up6(→))不行能为0.三、填空题(每小题5分，共10分)7．如图，已知△ABC在平面α内，∠BAC＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．【解析】eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋0＝0，所以eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，即CA⊥DB.答案：垂直8．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝__________，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))________eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).(填“<”“＝”或“>”)【解析】由题易知AE⊥BC，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，而eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos120°<0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).答案：0<四、解答题(每小题10分，共20分)9．已知在三棱锥O­ABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.【证明】设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.因为P，M分别为OA，BC的中点，所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)[(b－a)＋c].同理，eq\o(QN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)[(b－a)－c].所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|b－a|2－|c|2)).因为AB＝OC，即|b－a|＝|c|.所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(QN,\s\up6(→))，即PM⊥QN.10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，＝c.(1)试用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．【解析】(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝＝eq\f(1,3)＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(c－a)＋a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＝5，所以|a＋b＋c|＝eq\r(5)，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|a＋b＋c|＝eq\f(\r(5),3)，即MN＝eq\f(\r(5),3).【创新迁移】1．已知空间向量a，b，c满意a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．【解析】因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.答案：－132．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为eq\r(2).(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥B