2024春新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3.1余弦定理分层演练含解析新人教A版必修第二册

6.4平面对量的应用A级基础巩固1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C等于 ()A.π6 B.π3 C.π解析:因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,整理,得b2+a2-c2=ab,所以cosC=b2+a2-c22ab=答案:B2.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2-△ABC()A.肯定是锐角三角形B.肯定是直角三角形C.肯定是钝角三角形D.是锐角三角形或直角三角形解析:由c2-a2-所以cosC<0,所以C为钝角,即△ABC肯定是钝角三角形.答案:C3.已知△ABC的两边长a,b是方程x2-23x+2=0的两个实数根,且有2cos(A+B)=1,则第三边长c等于10.解析:易知cosC=-cos(A+B)=-12所以C=120°.因为a,b是方程x2-23x+2=0的两个实数根,所以a所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(23)2-2=10,即c=10.4.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-14,则b=4解析:因为b+c=7,所以c=7-b.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×（-14）解得b=4.5.在△ABC中,已知sinC=12,a=23,b=2,求边解:因为sinC=12,且0<C所以C=π6或5π当C=π6时,cosC=3此时,c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.当C=5π6时,cosC=-3此时,c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=27.B级实力提升6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32,且b<c,则b= (A.3 B.22 C.2 D.3解析:由a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-6b,解得b=2或4.因为b<c,所以b=2.答案:C7.如图所示,△ABC的内切圆O切边AC于点E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,则AB的长等于13-1.解析:由于2B=A+C,所以B=π3依据切线长定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.设BF=BD=x,则由余弦定理,得cosπ3=(x+1解得x=13-2,所以AB=AF+BF=1+13-2=13-1.8.在△ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,若AD为边BC上的高,则AD的长是3.解析:因为cosC=BC2+所以sinC=22,所以AD=ACsinC=39.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且1+tanAtanB(1)求A;(2)若a=3,求b+c的最大值.解:(1)因为1+tanAtanB所以1+sinAcosB即sinBcosA所以sin(A+所以cosA=-12因为0<A<π,所以A=2π3(2)因为a=3,A=2π3所以由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+c2+bc=(b+c)2-bc.因为bc≤(b+c)24所以b+c的最大值为2.C级挑战创新10.多空题在△ABC中,若AB=5,BC=7,AC=8,则cos∠ABC=17,AB·BC=-5解析:由余弦定理,得cos