2025届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线课时规范练理含解析新人教版

PAGE第六节双曲线[A组基础对点练]1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3)，则k的值是()A．1 B．－1C．eq\f(\r(65),3) D．－eq\f(\r(6),3)解析：kx2－eq\f(ky2,8)＝1，焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1.答案：B2．双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(9,4)x B．y＝±eq\f(4,9)xC．y＝±eq\f(3,2)x D．y＝±eq\f(2,3)x解析：双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x.答案：C3．双曲线eq\f(x2,36－m2)－eq\f(y2,m2)＝1(0＜m＜3)的焦距为()A．6 B．12C．36 D．2eq\r(36－2m2)解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，双曲线的焦距为12.答案：B4．(2024·山东滕州模拟)已知双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于()A．eq\f(2,3) B．1C．2 D．4解析：由双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1，知a＝5，由双曲线定义|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.答案：D5．(2024·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－eq\f(x2,3)＝1C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2解析：由已知，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，故选D.答案：D6．(2024·河北石家庄模拟)若双曲线M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，则双曲线M的离心率为()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(5,4)解析：P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝10，则双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4).答案：D7．若a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，因为a>1，所以e∈(1，eq\r(2)).答案：C8．(2024·四川彭州模拟)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q，若|PQ|＝2|QF|，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)解析：∠PQF＝60°，因为|PQ|＝2|QF|，所以∠PFQ＝90°，设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q(图略)，由对称性可知，四边形F1PFQ为矩形，且|F1F|＝2|QF|，|QF1|＝eq\r(3)|QF|，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F|,|QF1|－|QF|)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案：B9．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为________________．解析：因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，F2(5，0)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以双曲线C的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝110．已知双曲线经过点(2eq\r(2)，1)，其一条渐近线方程为y＝eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________________．解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8m＋n＝1，,\r(－\f(m,n))＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝－1.))则双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝111．已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3m)＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆eq\f(y2,n)－eq\f(x2,m)＝1的焦距等于4，则n＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为eq\f(y2,－3m)－eq\f(x2,－m)＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为eq\f(y2,n)＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或c2＝1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去).答案：512．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2分别为C的左、右焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝________．解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，即2c＝2eq\r(5)a，所以cos∠AF2F1＝eq\f(|F1F2|2＋|AF2|2－|AF1|2,2|F1F2||AF2|)＝eq\f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)＝eq\f(\r(5),5).答案：eq\f(\r(5),5)[B组素养提升练]1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)>2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：C2．(2024·贵州贵阳检测)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))解析：依题意，留意到题中的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，且“右”区域是不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＜\f(b,a)x，,y＞－\f(b,a)x))所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1＜eq\f(2b,a)，即eq\f(b,a)＞eq\f(1,2)，因此题中的双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞)).答案：B3．(2024·河北唐山模拟)已知P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且焦距为2c，求△PF1F2的内切圆圆心的横坐标．解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.因为M的横坐标和A的横坐标相同，所以M的横坐标为a.4．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝eq\r(3)x，右焦点F到直线x＝eq\f(a2,c)的距离为eq\f(3,2).(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．解析：(1)依题意有eq\f(b,a)＝eq\r(3)，c－eq\f(a2,c)＝eq\f(3,2)，因为a2＋b2＝c2，所以c＝2a，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3.所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2－\f(y2,3)＝1，))得2x2－2mx－m2－3＝0，所以x1＋x2＝m，x1x2＝－eq\f(m2＋3,2).又因为eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1.所以m＝0(舍)或m＝2.所以x1＋x2＝2，x1x2＝－eq\f(7,2)，M点的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)＝1.因为eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0.所以AD⊥AB，所以过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径．因为点M的横坐标为1，所以MA⊥x轴，所以过A，B，D三点的圆与x轴相切．5．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解析：(1)由题知c＝eq\r(13)，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝