空间向量练习及答案解析

第第页空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是()A．(4,2，－2)B．(2,0,4)C．(2，－1，－5)D．(4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A．120°B．45°C．150°D．60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A．B．C．D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．①B．②C．③D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A．45°B．60°C．90°D．120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－cB．－a＋b＋cC．a－b＋cD．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A．B．C．－D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－B．C．－D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为()A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－211.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A．23B．73C．3212.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为()A．2B．3C．2D．213.三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角A－BD－CA．π3B．2π3C．π3或2π14.已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP等于()A．407,157,-3B．337,15.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．17.已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．18.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________．19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．20.如下图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．21.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分)22.如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1，M是PB的中点．(1)证明：面PAD⊥面PCD；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱BC，CD的中点，求：(1)直线DF与B1F所成角的余弦值；(2)二面角C1－EF－A的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB＝90°，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴Ea2,a2,1，Ga3,a3∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴GE⊥平面ABD，∴GE·BD＝0，解得a＝2，∴GE＝13,1∵GE⊥平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量，又cos〈GE，BA1〉＝GE·BA1GEBA1＝4363×212.【答案】A【解析】如下图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，则m·CB1=0,m·得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由cos60°＝m·nmn，得1a2+1＝12，即a＝13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝π3；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－π3＝14.【答案】D【解析】因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4，因为BP⊥平面ABC，所以BP⊥AB，且BP⊥BC，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝407，y＝－157，于是BP＝15.【答案】C【解析】因为A1M＝A1A＋AM＝A1A＋12AB，D1所以A1M∥D1P，从而A1M∥又B1Q与D1P不平行，故②不正确．故选C.16.【答案】【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】B【解析】若两向量的夹角为钝角，则a·b＜0，且a与b不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1＜0，且x≠，解得x＞－2，且x≠，故选B.18.【答案】【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos〈，〉＝＝.19.【答案】21【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A32,12,0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则C1A＝32,12,-1，C则有C1A·n=32则所求距离为C1B1·n20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD＝a(a＞0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E1,1,a2.∴DP＝(0,0，a)，AE∵cos〈DP，AE〉＝33，∴a22＝a2+a24·21.【答案】①②③【解析】由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．22.【答案】因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M0,1,(1)∵AP＝(0,0,1)，DC＝(0,1,0)，故AP·DC＝0，∴AP⊥DC，∴AP⊥又由题设知：AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD，又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD；(2)∵AC＝(1,1,0)，PB＝(0,2，－1)，∴|AC|＝2，|PB|＝5，AC·PB＝2，∴cos〈AC，PB〉＝105由此得AC与PB所成角的余弦值为105(3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在λ∈R，使NC＝λMC，NC＝(1－x,1－y，－z)，MC＝1,0,-∴x＝1－λ，y＝1，z＝12λ要使AN⊥MC，只需AN·MC＝0，即x－12z＝0，解得λ＝4可知当λ＝45时，N点坐标为15,1,此时，AN＝15,1,25，由AN·MC＝0，BN·MC＝0，得AN⊥MC，BN⊥∴∠ANB为所求二面角的平面角，∵|AN|＝305，|BN|＝305，AN·BN＝－45，∴cos〈AN故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A为原点，AB，AP分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C34a,34a,0(1)AP＝(0,0，a)，BC＝34a,-a4,0，∴BC·AP＝0，∴BC又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，∴D0,a2,a∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵AD＝0,a2,a2，AE＝38a,∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为24(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．24.【答案】如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0,2,0)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,2)，C1(2,2,2)，(1)因为DE＝(2，－1,0)，B1所以cos〈DE，B1F〉＝DE·B1所以直线DE与B1F所成角的余弦值为45(2)因为C1E＝(0，－1，－2)，设平面C1EF的一个法向量为n＝(x，y,1)，则由n·C1解得x＝y＝－2，所以n＝(－2，－2,1)，又AA1＝(0,0,2)是平面AEF所以cos〈AA1，n〉＝n·AA1n观察图形，可知二面角C1－EF－A为钝角，所以二面角C1－EF－A的余弦值为－1325.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0