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高斯公式和斯托克斯公式10.6.1高斯(Gauss)公式10.6.2斯托克斯公式10.6.1高斯(Gauss)公式定理10.6.1

上有连续的一阶偏导数,函数P,Q,R在

所围成,则有(Gauss公式)

的方向取外侧,或是在点处的法向量的方向余弦.设空间闭区域

由分片光滑的闭曲面证明:称为XY-型区域,则定理1

设所以若

不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧曲面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：注:(2)时,即闭曲面、外侧、偏导数连续其中V表示区域Ω

的体积(1)Gauss公式成立条件:例10.6.1计算其中

为边长为的外侧表面.解:利用Gauss公式的正方体例10.6.2

计算其中是由平面及三个坐标平面所围四面体的外侧.解：利用Gauss公式例10.6.3计算曲面积分其中

为锥面解:取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为

,则作辅助面由对称性思考:提示:介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面例10.6.4设

为曲面取上侧,解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标求10.6.2斯托克斯（Stokes）公式定理10.6.2上具有一阶连续偏导数,

的侧与

的正向符合右手法则,在

(连同边界Γ)则有设光滑曲面

的边界

是分段光滑曲线,如果

是xOy

面上的一块平面区域,故格林公式是斯托克斯公式的特例.注:格林公式例10.6.5

计算曲线积分其中为平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向．解:由斯托克斯公式得例10.6.6

计算曲线积分其中

为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整解1:则个边界,方向如图所示.取上侧,记三角形域为

,解2:记三角形域为

,取上侧,法向量内容小结高

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