高等数学课件：常数项级数的概念与性质

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常数项级数的概念和性质11.1常数项级数的概念

11.2收敛级数的基本性质11.1常数项级数的概念

引例这是一个无穷个数和的形式，即级数.定义11.1.1给定一个数列将各项即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项.依次相加,简记为级数的前

n项和称为级数的部分和.收敛,则称并称S

为级数的和,记作定义11.1.2数列叫做级数的部分和数列.如果数列有极限S，无穷级数如果数列没有极限

，则称无穷级数发散.注显然级数与它的部分和数列有相同的收敛性.例11.1.1讨论等比级数(q

称为公比)的收敛性.

解从而因此级数收敛,部分和其和为(1)若从而级数发散.且(2)若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而∴时,时,则级数成为不存在,因此级数发散.级数收敛;级数发散;例11.1.2

判定级数的收敛性:解所以级数收敛,其和为1.例2

判定级数的收敛性:解所以级数发散.

例11.1.4证明调和级数发散.证明发散.时，11.1.2收敛级数的性质性质1收敛于S,(k为常数)则级数也收敛,证明则这说明收敛,注

级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.其和为kS.令其和为kS.

若级数性质2

设两个级数与均收敛，则级数也收敛,证明则这说明级数也收敛,令其和为注(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或相减.(用反证法可证)性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,级数的敛散性.将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,

(但收敛级数的和可能会发生改变.)极限状况相同,故新旧两级所得新级数证明仅证在级数前面去掉有限项的情形不会改变其和的关系为性质4

仍收敛，且其和不变.证明略.收敛级数任意加括号后所成的级数例4判定级数的收敛性:解发散,从而原级数发散.考虑加括号后的级数如果级数收敛，级数收敛的必要非充分条件

则证明

性质5

注(1)并非级数收敛的充分条件.虽然但此级数发散.例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.若级数的一般项不趋于0,(2)则级数必发散.内容小结1常数项级数的概念

则称级数收敛.2收敛级数的性质性质1性质2性质3性质43级数收敛的必要条件4等比级数的收敛性：时

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