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微分方程微分方程在经济中的应用例1（新产品推广模型）设有某种新产品要推向市场，它的销售量x(t)是时间t的可导函数.因为产品的性能良好，每售出一个产品就相当于发布一个宣传品，所以可假定t时刻产品的销售增长速率dx/dt与x(t)成正比.另外，由于产品销售存在一定的市场饱和容量N（也称为饱和水平），所以可假定dx/dt与潜在客户的产品需求量N-x(t)也成正比.若当t=0时，x=N/5，求(1)销售量x(t)的函数表达式；(2)销售量函数x(t)增长最快的时刻T.解：(1)由题意知，销售增率dx/dt与x(t)(N-x(t))成正比.设比例系数为k(k>0)，则有这是一个可分离变量的微分方程.分离变量，并两边积分，得即于是得到销售量x(t)的函数表达式(2)销售增长速率为为寻找增长最快的时刻T，先计算解：由可得，易知，当时，当时，这说明时，x(t)增长最快，所以有

(i)本例中的微分方程也被称为逻辑斯谛（logistic）方程，其通解表达式也被称为逻辑斯谛曲线.作为马尔萨斯（Malthus,ThomasRobert）人口模型的推广，逻辑斯谛方程是由比利时数学生物学家韦吕勒（Verhulst,Pierre-Francois）提出的著名人口增长模型，从其问世以来，它的应用从人口模型拓展到包括生物学、医学、经济管理学等在内的众多领域.(ii)可以验证，当时，即当销售量达到饱和水平N的一半时，产品最为畅销；当销售量未达到N/2时，产品会越来越畅销；当销售量超过N/2时，产品销售增速逐渐减小.说明：例2（公司资产函数）某公司在第t年的净资产为X(t)（百万元），假定公司的资产本身以每年5%的速度连续增长，同时，公司每年以300百万元的数额连续支付职工工资.(3)讨论当X0分别为5000,6000,7000时，公司净资产X(t)的变化特点.(1)给出描述公司的净资产X(t)（百万元）的微分方程；(2)若公司的初始净资产为X0（百万元），求X(t)；解：(1)由“净资产增长速度=资产本身增长速度-职工工资支付速度”，得到所求的净资产X(t)满足的方程可得利息与支出达到平衡时的解（平衡解）(2)将X(t)满足的方程分离变量两边积分，整理得得X(t)的表达式为(3)此时公司的净资产额随时间t递减，且当t=35.8时，X(t)=0，即公司将在第36年破产；是平衡解，即公司将会保持收支平衡，净资产保持再6000百万元不变；此时公司的净资产额随时间t按指数级增长.解：例3供给函数为设某商品的需求函数为初始条件分别为每一时刻的供需平衡（Qd=Qs），求价格函数P(t).若假定市场在解由题意，市场供需平衡时有Qd=Qs

，即这是一个常系数二阶非齐次线性微分方程.先求它对应的齐次线性方程的通解.特征方程为易求得所以其对应的齐次线性微分方程的通解为接下来求非齐次方程的特解.根据右端函数-48,可设其特解形式为将其代入原方程，得A=4.因此，方程的通解为再结合初始条件所以

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