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文档简介

无穷级数

任意项级数及其审敛一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛三、小结一、交错级数及其审敛法其形式为定义1

如果级数的各项是正负交错的，那么称该级数为

交错级数.其中或如：那么交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值．如果交错级数满足以下两个条件：（2）.（1）；定理1（莱布尼茨定理）证：所以数列是单调增加的又所以数列是有界的如果交错级数满足以下两个条件：（2）.（1）；定理1（莱布尼茨定理）证：所以级数收敛于和，且余项满足收敛的两个条件,也为交错级数那么交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值．解：因为例1判定交错级数的敛散性．且由莱布尼茨定理可知是收敛的，且其和，如果取前n项的和作为s的近似值，所产生的误差．解：该级数为交错级数，由于一般项极限例2判定级数的敛散性．不存在因此，可知发散．例3判定级数的敛散性．分析：作辅助函数，显然当时，在为单调减函数求解：于是，有下式成立：（1）故在为单调减函数（2）由莱布尼茨定理可知收敛，且其和例3判定级数的敛散性．则注意：1、莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；2、判定的方法（3）相应函数的单调性.（2）思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？（1）二、绝对收敛与条件收敛定义2

正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.任意项级数正项级数任意项级数的各项取绝对值问题:

如何研究任意项级数的敛散性问题？定义3绝对收敛：如果级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；条件收敛：如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛．通过正项级数的敛散性判断任意项级数的敛散性.定理2

如果级数绝对收敛，那么级数必定收敛．证：收敛显然且又令收敛收敛解：（1）由，而收敛，例4判定级数的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．（1）（3）（2）故级数收敛，且为绝对收敛．解：例4判定级数的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．（1）（3）（2）（2）由于而级数发散，故发散.又因为由莱布尼茨定理知级数（2）收敛.综上，级数(2)条件收敛解：例4判定级数的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．（1）（3）（2）（3）由于而发散,因此发散.解：例4判定级数的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．（1）（3）（2）所以有令则故在区间上为单增的函数,从而函数在区间上为单减的正值函数.由莱布尼茨定理可知级数是收敛的且是条件收敛．（3）证：由正项级数比值审敛法可知：定理3

如果任意项级数满足条件（其中

可以为），则当时，级数收敛，且为绝对收敛；当时，级数发散．（1）当时，级数收敛，从而级数收敛且为绝对收敛；（2）当时，为递增数列，从而，故有级数是发散的．解：（1）由于例5判定下列级数的敛散性．（1）（2）因此级数发散．所以此级数收敛，且为绝对收敛．例5判定下列级数的敛散性．（1）（2）解：

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