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文档简介

极限无穷小与无穷大一、无穷小的概念及其应用二、无穷大的概念三、无穷小与无穷大的关系四、小结一、无穷小的概念及其应用1、无穷小的概念定义1如果函数在（或）时以零为极限，则称函数为当（或）时的无穷小.例1函数

为时的无穷小；函数

为时的无穷小.3、不要把无穷小和很小的数混为一谈，比如，虽然

是很小的数，但如果把它看作常值函数，它的极限不为零，因此它不是无穷小．说明：1、无穷小是一个变量，任何一个不等于零的常量都不是

无穷小．2、常数零是无穷小，而且它是唯一为常数的无穷小．一般地，如果

，并不能说但是我们可利用极限值A和无穷小表示函数定理1在自变量的某一变化过程中，函数

以常数A为极限的充分必要条件是其中是同一过程下的无穷小.性质2

有限个无穷小的和是无穷小.推论1

常数与无穷小的积是无穷小.推论2

有限个无穷小的积是无穷小.性质1

无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小．无穷小的性质：无限个无穷小的和或积还是无穷小吗？

2、无穷小的比较时，都是无穷小，但是

两个无穷小之商的极限的不同情况，反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度.下面给出两个无穷小比较的定义.定义1设

为同一过程下的无穷小，且如果

，则称是比高阶的无穷小，记作如果

，则称是比低阶的无穷小,如果

，则称与是同阶无穷小,如果

，则称与是等价无穷小，记作如果

，则称是关于的阶无穷小.例如：

时，是比低阶的无穷小,与是同阶无穷小,是的阶无穷小,与是等价无穷小.是比高阶的无穷小,定理2

设

，

，且

存在，则

例3求极限解令，当时，则无穷小的等价替换.例4求极限解例5求极限解常见的等价无穷小：（当时）（2）（3）（1）牢记常用的等价无穷小.例6求极限解由于当时，因此例7求极限解由于当时，因此例8

求极限解由于当时，因此例9求极限解由于当时，因此例10求极限解由于当时，因此二、无穷大的概念定义2

设

在

的某去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义），若对于任意给定的，总存在正数（或正数），当（或）时，恒有

成立，则称

为

（或）时的无穷大.

显然无穷大是极限不存在的量，但通常将定义2所给的无穷大表示为

（或）.注:不要把无穷大与无界量混为一谈．例如，数列

是无界量，但不是无穷大.三、无穷小与无穷大的关系定理4在自变量的某一变化过程中，如果

为无穷大，那么为无穷小；反之，如果为无穷小且不等于零，那么为无穷大.四、小结1、无穷小的定义与性质2、无穷小的比较高(低)阶无穷小；

等价无穷小；

无穷小的阶.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有

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