高等数学（经济类-上册第2版）课件：极限

极限

数列的极限一、引例二、数列的有关概念三、数列极限的定义四、数列极限的性质五、数列极限的四则运算六、小结一、引例

极限的概念是在探求很多具体问题中产生的，例如我国极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.

我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.例1设一单位圆，圆的面积

.用其内接正

边形的面积来逼近(刘徽割圆术)首先作圆内接正三边形，面积记为再作圆内接正六边形，面积记为第三次作圆内接正十二边形，面积记为圆内接正

边形，面积记为易得……解：二、数列的有关概念以正整数集

为定义域的函数

按

排列的一列数，称为数列，通常用

表示，其中，简写成.数列中的每一个数叫做数列的项，称为通项或一般项.例如：若存在数

和，对所有的都满足，则称数列为有界数列，否则称为无界数列数列有界的等价条件是数列既有上界又有下界若存在实数

，对一切都满足，称为下有界是的一个下界是的一个上界若存在实数

，对一切都满足，称为上有界在保持数列

原有顺序情况下，任取其中无穷多项所构成的新数列称为数列

的子数列，简称子列，子数列一般记为,其中

的下标

是子数列的项的序号(即子列的第

项的序号).下面两个特殊的子列分别称为数列

的奇子列和偶子列.三、数列极限的定义观察数列51020501001000100001.201.11.051.021.011.0011.0001当无限增大时，数列

无限接近于1.数列

，存在一个常数，使当无限增大时，与数无限接近，则称数是数列当时的极限.数列

与1无限接近，可用小于某个正数（可任意小）来表示，在逐渐增大的中，确实存在某一时刻（项），从此时刻（项）起，以后的所有项都能使不等式

恒成立.如从第项以后（即）的所有项，都使成立.如取，则，即从第项以后的所有项的所有项都能使恒成立；若取，则，即从第

项以后的所有项的所有项都能使恒成立；若给定任意，要使恒成立，只需满足

即可，取，当时，有恒成立.因此，数列以

为极限使得当时，恒有成立.定义1

设有数列

，若存在常数，对任给的，总存在正整数，使得当时，恒有成立，则称数列以为极限.记为，或数列极限的精确定义.例1

用数列的定义证明数列分析令即要证明,使得当时,恒有证明由于对于,使得当时,恒有要使,只需,取,因此例1

用数列的定义证明数列例2已知

，证明

证明（1）当

时，结论显然成立,（2）当

时，由于，因此对，要使，所以，即，由于，故取，当时,恒有综上，当时，四、数列极限的性质性质2

（有界性）收敛数列必定有界．性质1（唯一性）数列

收敛，那么它的极限必唯一．性质3

若

，且

，则必存在正整数

，当时，恒有推论1

若

，且从某项起有

，那么定理1

数列

收敛

的充分必要条件是它的任何一个子数列也收敛于定理2

数列

收敛

的充分必要条件是它的奇子列和偶子列也都收敛于，即五、数列极限四则运算法则定理3

如果

，，那么（1）（2）（3）若，则极限必须存在.例4求解例5求解例6求解六、小结1、数列基本概念3、收敛数列性质4、数列极限四则运算法则2、数列极限定义极限函数的极限一、函数极限的定义二、极限的性质三、函数极限四则运算法则四、小结一、函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做自变量在这一变化过程中函数的极限.下面主要在两种情形下研究函数

的极限：(2)自变量

时，函数的变化情形；(1)自变量

时，函数的变化情形；1、自变量趋于有限值时函数的极限假定函数在点的某个去心邻域内有定义，若，函数无限接近于一个确定的数A，则称A是函数当时的极限.

自变量

时，函数的变化情形：0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75越接近1，就越接近5，无限接近1时，可任意小.也就是说对于任意给定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述这个任意小.描述了x趋近于1的程度.

例1函数

,考察时函数的变化趋势.例1函数

,考察时函数的变化趋势.0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75解：取值列表如下当x进入x=1的邻域时，恒成立,这时，我们称x趋于1时，函数以5为极限.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06越接近1，就越接近2，无限接近1时，可任意小.也就是说对于任意给定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述这个任意小.描述了x趋近于1的程度.

例2函数

，考察时函数的变化趋势.例2函数

，考察时函数的变化趋势.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06解：取值列表如下当x进入x=1

的去心邻域时，恒成立,这时，我们称x趋于1时，函数以2为极限.当

时，函数以A为极限，刻画了与数A

的接近程度，刻画了与的接近程度.

是任意给定的，一般是随而确定的.研究趋于时的极限问题与函数在点处是否有定义是无关的.说明：(1)(2)(3)定义1

设函数

在某个去心邻域内有定义，若存在常数，使得对于任意的，总存在正数，

使得当时，恒有

成立，则称当时，以为极限.记作

否则称时，没有极限.或函数极限的精确定义.几何解释：任给

，作平行直线和的带型区域存在着的去心邻域使得的图形落入带型区域内.例3

证明

，为常数.证明由于，因此对任给的，可取任意的正数，当时，不等式恒成立,所以例4证明

分析对任给的，要证明使得即要找到，只需取即可.证明对任给的，要使使得当时，只需取，恒有所以例4证明

证明对任给的，由于使得当时，只需取，恒有所以例5

证明,是任一实数.类似的，可定义时的左极限或结论：左右极限统称单侧极限.定义2

设函数

在的右邻域内有定义，若存在常数，使得对于任意的，总存在正数，

使得当时，恒有

成立，则称为时的右极限,记作

或例6证明函数

证明，当时极限存在.所以，进而例7证明函数

证明，当时极限不存在.所以，进而不存在.2.自变量趋于无穷大时函数的极限定义3

设函数

当大于某个正数时有定义，若存在常数，使得对于任意的，总存在正数，

使得当时，恒有

成立，则称为时的极限,记作

或函数极限的精确定义.几何解释：任给

，作平行直线和的带型区域存在着正数，使得当或时，函数

的图形落入带型区域内.类似可定义如下极限：使当时，恒有使当时，恒有结论：二、极限的性质性质1

（唯一性）如果的极限存在，则极限是唯一的.性质2

（局部有界性）如果存在，则存在常数

和，使得当时，恒有性质3（保号性）如果，且或（）

则存在常数，使得当时，有

或（）.推论1

如果，且，则存在常数，

使得当时，有

推论2如果，且在的某个去心邻域内有

（），则（）.三、函数极限四则运算法则定理1

如果

，那么

（1）（2）（3）若，则

极限必须存在.例8求极限解例9求极限解例10求极限解四、小结1、函数极限基本概念3、函数极限四则运算法则2、函数极限存在的等价条件：极限极限存在准则两个重要极限一、夹逼准则二、单调有界收敛准则三、连续复利四、小结一、夹逼准则准则1（函数极限的夹逼准则）如果函数

满足（1）当（或）时，（2），则有准则1’（数列极限的夹逼准则）如果数列

满足（1）（2）则有证首先证明如图得即于是从而因为由夹逼准则第一个重要极限再证明从而第一个重要极限证第一个重要的极限中的x可以用趋于0的表达式替换.例1求极限，，则，当时，于是解令例2求极限解例3求极限解例4证明证记对进行放缩变换由夹逼准则，有二、单调有界收敛准则准则2（单调收敛准则）

单调有界数列必有极限.包含以下两种情形：（１）单调递增有上界的数列必存在极限；（２）单调递减有下界的数列必存在极限．利用单调有界收敛准则可证明：第二个重要极限：第二个重要还可以写为或极限中的n或x都可以用表达式替换.需证明数列单调增加，且为有界的.例5求极限解当时，于是例6求极限解例7求极限解例8

求极限解例9

设，证明极限存在，并求之.证与同号，进而与

同号,当时，故数列单调减少.

由，可得例9

设，证明极限存在，并求之.证由单调有界数列收敛准则，，可知存在.设，则由有，解得所以三、连续复利

复利是指将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成新的的本金，作为下一段计算利息的本金基数，就得出整个借贷期内的本金和利息总和．连续复利是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率．则第一年末的本利和第二年末的本利和第

年末的本利和设一笔贷款(称本金)，年利率为，若每年计息一次，如果一年分

期计息，年利率仍为，则每期利率为前一期的本利和为后一期的本金，于是第一年末的本利和第年末共计复利

次，其本利和为上式称为

年末本利和的离散复利公式.如果计息期数

，即利息随时计入本金（称为连续复利），则第年末的本利和为上式称为

年末本利和的连续复利公式.下面在下列参数下给出三种计息方式下第3年末的本息和比较.n=6n=9n=12n=15n=36n=365125.9712126.9235126.9902127.0237127.0439127.0911127.1216127.1249

通过上表比较容易看出每年单次计息下第3年末本息和最低，连续复利下第3年末本息和最高.四、小结1、两种极限存在的判别准则：2、两个重要的极限夹逼准则和单调有界数列收敛准则.极限无穷小与无穷大一、无穷小的概念及其应用二、无穷大的概念三、无穷小与无穷大的关系四、小结一、无穷小的概念及其应用1、无穷小的概念定义1如果函数在（或）时以零为极限，则称函数为当（或）时的无穷小.例1函数

为时的无穷小；函数

为时的无穷小.3、不要把无穷小和很小的数混为一谈，比如，虽然

是很小的数，但如果把它看作常值函数，它的极限不为零，因此它不是无穷小．说明：1、无穷小是一个变量，任何一个不等于零的常量都不是

无穷小．2、常数零是无穷小，而且它是唯一为常数的无穷小．一般地，如果

，并不能说但是我们可利用极限值A和无穷小表示函数定理1在自变量的某一变化过程中，函数

以常数A为极限的充分必要条件是其中是同一过程下的无穷小.性质2

有限个无穷小的和是无穷小.推论1

常数与无穷小的积是无穷小.推论2

有限个无穷小的积是无穷小.性质1

无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小．无穷小的性质：无限个无穷小的和或积还是无穷小吗？

2、无穷小的比较时，都是无穷小，但是

两个无穷小之商的极限的不同情况，反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度.下面给出两个无穷小比较的定义.定义1设

为同一过程下的无穷小，且如果

，则称是比高阶的无穷小，记作如果

，则称是比低阶的无穷小,如果

，则称与是同阶无穷小,如果

，则称与是等价无穷小，记作如果

，则称是关于的阶无穷小.例如：

时，是比低阶的无穷小,与是同阶无穷小,是的阶无穷小,与是等价无穷小.是比高阶的无穷小,定理2

设

，

，且

存在，则

例3求极限解令，当时，则无穷小的等价替换.例4求极限解例5求极限解常见的等价无穷小：（当时）（2）（3）（1）牢记常用的等价无穷小.例6求极限解由于当时，因此例7求极限解由于当时，因此例8

求极限解由于当时，因此例9求极限解由于当时，因此例10求极限解由于当时，因此二、无穷大的概念定义2

设

在

的某去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义），若对于任意给定的，总存在正数（或正数），当（或）时，恒有

成立，则称

为

（或）时的无穷大.

显然无穷大是极限不存在的量，但通常将定义2所给的无穷大表示为

（或）.注:不要把无穷大与无界量混为一谈．例如，数列

是无界量，但不是无穷大.三、无穷小与无穷大的关系定理4在自变量的某一变化过程中，如果

为无穷大，那么为无穷小；反之，如果为无穷小且不等于零，那么为无穷大.四、小结1、无穷小的定义与性质2、无穷小的比较高(低)阶无穷小；

等价无穷小；

无穷小的阶.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.3、常见等价无穷小：（当）（1）（2）（3）4、等价无穷小代换求极限的一种方法,但需要注意适用条件.四、小结极限极限运算方法1、利用极限的四则运算法则

利用数列极限的四则运算法则与函数极限的四则运算法则计算极限.例1解例2设证，证明例3

解例4

解因此2、倒数法利用无穷小和无穷大的关系可以将无穷大转化为无穷小，进而达到求解极限的目的．例5解因此从而3、消零因子法这类极限有可能存在，也有可能不存在，因此这类极限成为未定式，可考虑利用消零因子法求解极限.在求解两个函数商式极限时，若分子和分母中函数极限均为零，因此不能直接用函数极限四则运算法则，这两个非零无穷小的比的极限，通常称为“”.例6

解当时，可将分子与分母分别分解因式后，消去相同因子后再求极限：4、无穷小分出法例7

解先用去除分子和分母，然后求极限，得例8解先用去除分子和分母，然后求极限，得例9解由上例可知，是时的无穷小，由无穷小与无穷大之间的关系，因此结论：例10解5、通分法两个无穷大之差的极限也是未定式，通常记为“”计算此类极限可通过恒等变形将其化为“”或“”型未定式后再进行极限求解.例11解6、无理根式有理化例12解例13解例14解7、无穷小代换当8、基本初等函数极限运算法则定理１

若

是基本初等函数，对于定义域

内任一点

都有例15求解9、复合函数极限运算法则定理2设有函数

在的某去心邻域内有定义若

，以及，且在的某去心邻域内

，则有例16求解做变量代换例17求解做变量代换例18求解小结极限运算方法1、极限四则运算2、倒数法3、消零因子法4、无穷小分出法5、通分法6、无理根式有理化8、基本初等函数极限运算法则9、复合函数极限运算法则7、无穷小代换极限函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、小结一、函数的连续性

自然界中有很多现象都是连续不断变化的，例如河流流动、车辆行驶、物体自由落体运动和植物生等．这些现象表现在函数关系上称为函数的连续性．函数的连续性表现在图像上是一条连绵不断的曲线．假定函数在点的某个邻域内有定义，当自变量从

变到时，函数从变到，因此如果当

时，即或则称

在点处连续.定义1设函数

在点的某一邻域内有定义，如果则称

在点处连续.定义2设函数

在点的某一邻域内有定义，如果则称

在点处连续.例1证明

在其定义区间内处处连续.证明在函数的定义区间内任取一点，而

，从而所以

在点处连续.由点的任意性可知函数在定义区间

内处处连续.则单侧连续若

，则称在点右连续；若

，则称在点左连续.

在点处连续的充分必要条件是

在点处既左连续又右连续.若函数

在内每一点处都连续，则称在

内连续.若函数

在内连续，并且

在点处在点处则称

在上连续.例2设函数

证明，但在点处不连续.证明例2设函数

证明，但在点处不连续证明所以因此但是，则所以函数在点处不连续.二、函数的间断点

如果函数

在点的一个去心邻域内有定义，并且在

点处不连续，则称在点处间断，称为的间断点.（1）函数

在点处没有定义；（2）函数

在点处的极限不存在；（3）函数

在点处的极限只要满足以下一条，在点处间断.又因为，如果补充定义，当时，例3函数

在点处无定义，故是间断点因此称

是函数的可去间断点.则使新构造的函数在点连续.例4函数

在点有定义，我们称这样的间断点为可去间断点.发现故是间断点.例5函数

，在点有我们称这样的间断点为跳跃间断点.但是故是间断点.我们称这样的间断点为无穷间断点.例6函数

，在处有故是间断点.例7函数

，在处没有定义,我们称这样的间断点为振荡间断点.因此是的间断点.我们发现时，的函数值总是在和之间无限多次变动,间断点的分类：第一类间断点：是的间断点.在点的左右极限都存在.可去间断点:左极限＝右极限.跳跃间断点：左极限≠右极限.第二类间断点：在点的左右极限中至少有一个不存在.振荡间断点：如在点处.无穷间断点：左右极限中有一个趋于∞.三、初等函数的连续性1、连续函数四则运算性质定理1若函数

在点处都连续，则函数

在点处也连续.例8由于函数

在内是连续的，

所以

在其定义域内都是连续的.2、反函数的连续性定理2若函数

在区间上单调增（或单调减）且

连续，则其反函数在对应的区间上也单调增（或单调减）且连续.例9函数

在上单调增且连续，则其反函