自动控制原理第二章1-数学模型

§2控制系统的数学模型2.1引言数学模型:

描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式

建模方法：

解析法，实验法2.2时域数学模型——微分方程线性元部件、线性系统微分方程的建立非线性系统微分方程的线性化时域模型—微分方程复域模型—传递函数§2控制系统的数学模型

§2控制系统的数学模型数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式

建模方法

解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程

实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性§2.2控制系统的数学模型—微分方程线性定常系统微分方程的一般形式1、根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出量；2、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；3、消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程；4、将微分方程标准化。即：将与输入有关的各项放在等号的右侧，与输出有关的各项放在等号的左侧，并按降幂排列。最好将系数归化为具有一定物理意义的形式。用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤§2.2控制系统的数学模型—微分方程§2.2.1

线性元部件及系统的微分方程例1R-L-C串连电路§2.2.1线性元部件及系统的微分方程例2弹簧—阻尼器系统§2.2.1线性元部件及系统的微分方程反馈口：放大器：电动机：减速器：绳轮：电桥：消去中间变量可得：例3X-Y记录仪线性系统的基本特性

用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性系统或线性元件

线性系统满足叠加定理，具有叠加性和均匀性。

即：当两个外作用同时加于线性系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；当外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大通用的倍数。

线性定常微分方程求解

经典法

拉氏变化法

计算机求解

线性定常微分方程求解例5R-C电路计算非线性微分方程的线性化

严格来说，实际物理系统或元件都具有不同程度的非线性，所以输出变量与输入变量之间的函数关系应当用非线性动态方程描述。但非线性方程的性质一般比线性方程复杂得多，因此工程上常常在一定条件下将非线性方程近似转化为线性方程。这称为非线性方程的线性化。

常用方案：用泰勒级数的展开式取出非线性方程的主要部分（展开注意应当选在工作点附近）。§2.2.2非线性系统微分方程的线性化（举例）解.在处泰勒展开，取一次近似

代入原方程可得在平衡点处系统满足

上两式相减可得线性化方程

例6

某容器的液位高度h与液体流入量Qr

满足方程式中S为液位容器的横截面积。若h与Qr

在其工作点附近做微量变化，试导出h关于Q的线性化方程。运动的模态

线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分方程的解之和。其中齐次微分方程的解代表对象的自由运动，由微分方程的特征根决定。

如果n阶微分方程的特征根是，且无重根，则把函数称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。模态只取决于齐次微分方程，与系统的输入变量无关。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次微分方程的解则是它们的线性组合，即式中系数是由初始条件决定的一组常数。

运动的模态

如果特征根中有重根，则模态会具有形如的函数；如果特征根中有共轭复数，则共轭复模态可写成实函数模态与的形式，它们是一对共轭复模态的线性组合。

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。

了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响--分析

可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合传递函数的基本概念§2.3传递函数

§2.3控制系统的复域模型—传递函数§2.3.1传递函数的定义

在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。§2.3.2传递函数的标准形式微分方程一般形式：拉氏变换：传递函数：当传递函数和输入已知时C(s)=G(s)R(s)。通过反变换可求出时域表达式c(t)。[关于传递函数的几点说明]传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。传递函数的基本概念

§2.3控制系统的复域模型—传递函数§2.3.3传递函数的性质

(1)G(s)是复函数；

(2)G(s)只与系统自身的结构参数有关；

(3)G(s)与系统微分方程直接关联；

(4)G(s)=L[k(t)]；

(5)G(s)与s平面上的零极点图相对应。

例7已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：试求：（1）系统的传递函数；（2）系统的特征根及相应的模态；（3）画出对应的零极点图；（4）求系统的单位脉冲响应；（5）求系统微分方程；

解.（1）

§2.3.3传递函数的性质(1)§2.3.3传递函数的性质(2)

(3)

如图所示(2)

(4)

(5)

传递函数的基本概念例2[例2]求下图的传递函数：

传递函数的基本概念例2[例2]求下图的传递函数：复阻抗法

传递函数的表现形式[传递函数的几种表达形式]表示为有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。传递函数的零点;传递函数的极点;传递系数(根轨迹增益)

⑴首1标准型：

传递函数的表现形式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。⑵

尾1标准型：

传递函数的零点;传递函数的极点;传递系数(增益)

比例环节§2.3.4典型环节及其传递函数典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：时域方程：传递函数：

积分环节有一个0值极点。在图中极点用“”表示，零点用“”表示。K表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：时域方程：传递函数：0S平面j0

积分环节实例积分环节实例RC

（三）惯性环节时域方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。1yt00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面惯性环节

求单位阶跃输入的输出响应：

可见，y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的单位阶跃响应

①R2C-+R1而R②C两个实例惯性环节实例

振荡环节（四）振荡环节：时域方程：传递函数：上述传递函数有两种情况：当时，可分为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：

振荡环节分析y(t)t0单位阶跃响应曲线极点分布图[分析]：y(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当时，曲线单调升，无振荡。当时，曲线衰减振荡。越小，振荡越厉害。若，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：设输入为：则

微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：①②③相应的传递函数为：①②③分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。

式中：y(t)x(t)R1R2C[实例]微分环节实例

延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或x(t)ty(t)t

（七）其他环节：还有一些环节如等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。其他环节（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；（2）适合于描述单输入/单输出系统；（3）只能用于表示线性定常系统。§2.3.5传递函数的局限性§2.3.5传递函数的局限性

掌握要点传递函数的基本概念；传递函数的列写（