《应用随机过程》教学大纲

《应用随机过程》教学大纲适用范围：202X版本科人才培养方案课程代码：13140021课程性质：专业必修课学分：3.5学分学时：56学时（理论56学时）先修课程：高等数学、高等代数、概率论与数理统计后续课程：金融风险管理、金融时间序列分析、期货与期权适用专业：金融数学开课单位：理学部一、课程说明《应用随机过程》是金融数学专业的一门专业必修课。本课程主要讲授随“时间”演变的随机现象相关的数学理论和方法及其在自然科学、工程技术和经济金融领域的应用。本课程的教学内容主要包括概率论基础和几类具有很强金融背景的随机过程：Markov链、Poisson过程、Gauss过程、Brown运动过程、鞅以及随机分析初步内容等。本课程旨在帮助学生掌握随机过程的基本理论以及在金融中应用随机手段分析金融问题的正确方法和基本理念，培养学生对金融实践进行量化分析并提供解决方案的能力，为进一步学习金融学后续专业课程打下坚实的基础。二、课程目标通过本课程的学习，使学生达到如下目标：课程目标1：了解随机过程的基本概念与统计描述，掌握Poisson过程和Brown运动的概念和统计特性。理解Markov链的无后效性，掌握Markov链的概率分布与转移概率的确定方法，理解Markov链的遍历性。掌握鞅和Brown运动的基本性质，理解随机积分的概念，掌握Itô公式的运用。课程目标2：能够具有抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力，并具备一定的自主学习能力。课程目标3：通过经济、金融、及管理等相关例题的讨论使学生初步掌握利用随机过程理论来分析和解决金融和其它社会问题的能力。课程目标4：能够具有良好的数学素养和团队合作精神，树立、形成辩证唯物主义世界观和方法论。三、课程目标与毕业要求《应用随机过程》课程教学目标对金融数学专业毕业要求的支撑见表1。表1课程教学目标与毕业要求关系毕业要求指标点课程目标支撑强度1.学科专业知识1.1掌握数学、经济学、金融学和统计学等学科专业知识，理解金融领域相关问题的数理本质及其表述方法。课程目标1：了解随机过程的基本概念与统计描述，掌握Poisson过程和Brown运动的概念和统计特性。理解Markov链的无后效性，掌握Markov链的概率分布与转移概率的确定方法，理解Markov链的遍历性。掌握鞅和Brown运动的基本性质，理解随机积分的概念，掌握Itô公式的运用。课程目标2：能够具有抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力，并具备一定的自主学习能力。H1.2能够将学科专业知识方法用于金融领域相关问题的识别、推演、分析。课程目标2：能够具有抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力，并具备一定的自主学习能力。课程目标3：通过经济、金融、及管理等相关例题的讨论使学生初步掌握利用随机过程理论来分析和解决金融和其它社会问题的能力。H2.问题分析2.1能应用相关知识和原理，识别、判断并表达保险业务、银行业务、证券业务、公司财务等金融领域的相关问题。课程目标1：了解随机过程的基本概念与统计描述，掌握Poisson过程和Brown运动的概念和统计特性。理解Markov链的无后效性，掌握Markov链的概率分布与转移概率的确定方法，理解Markov链的遍历性。掌握鞅和Brown运动的基本性质，理解随机积分的概念，掌握Itô公式的运用。课程目标3：通过经济、金融、及管理等相关例题的讨论使学生初步掌握利用随机过程理论来分析和解决金融和其它社会问题的能力。H2.2能根据相关知识和原理，分析金融领域相关问题，获得多种解决方案。课程目标2：能够具有抽象思维能力、逻辑思维能力、辩证思维能力和创新思维能力，并具备一定的自主学习能力。课程目标3：通过经济、金融、及管理等相关例题的讨论使学生初步掌握利用随机过程理论来分析和解决金融和其它社会问题的能力。课程目标4：能够具有良好的数学素养和团队合作精神，树立、形成辩证唯物主义世界观和方法论。H注：表中“H（高）、M（中）”表示课程与相关毕业要求的关联度。四、教学内容、基本要求与学时分配理论部分理论部分的教学内容、基本要求与学时分配见表2。表2教学内容、基本要求与学时分配教学内容教学要求，教学重点难点理论学时对应的课程目标1.随机过程的概率论基础1.1概率空间1.2随机变量与分布函数1.3数字特征、矩母函数与特征函数1.4收敛性1.5独立性与条件期望教学要求：（1）复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，条件分布，函数的分布求法，常见的离散型与连续型分布，随机变量的几种收敛方式以及多维随机变量的知识；（2）复习随机变量的数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算；（3）掌握条件数学期望的求法，全期望公式的意义与应用；（4）掌握随机变量特征函数的定义、性质与求法以及特征函数与随机变量分布的关系。重点：随机变量数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算。难点：条件数学期望的求法，全期望公式的意义与应用。随机变量的特征函数的定义、性质与求法。81、2、42.随机过程的基本概念和基本类型2.1基本概念2.2有限维分布与Kolmogorov定理2.3随机过程的基本类型教学要求：（1）掌握随机过程的背景、定义及分类；（2）掌握随机过程的一维、二维分布函数、有限维分布函数、均值函数、方差函数与协方差函数等重要的数字特征；（3）了解随机过程按物理架构分类、按概率特性分类及几种常见随机过程，如二阶矩过程，独立增量过程等。重点：随机过程的背景、定义及分类随机过程的一维、二维分布函数、有限维分布函数、均值函数、方差函数与协方差函数等重要的数字特征。难点：随机过程的按物理架构分类、按概率特性分类及几种常见随机过程，如二阶矩过程，独立增量过程等。61、3、43.Poisson过程3.1Poisson过程3.2与Poisson过程相联系的若干分布3.3Poisson过程的推广教学要求：（1）理解Poisson过程的背景与定义，以及Poisson过程的简单性质；（2）掌握Poisson过程的均值函数、方差函数、协方差函数的求法与应用；（3）掌握到达时间间隔的分布函数、概率密度及有关概率的求法；（4）了解复合Poisson过程背景，定义与示例以及复合Poisson过程的简单性质。重点：Poisson过程的均值函数、方差函数、协方差函数的求法与应用。难点：到达时间间隔的分布函数、概率密度及有关概率的求法。复合Poisson过程的简单性质。61、2、3、44.Markov链4.1基本概念4.2状态的分类及性质4.3极限定理及平稳分布4.4Markov链的应用4.5连续时间Markov链教学要求：（1）理解Markov链的背景与定义以及其基本性质；（2）熟悉常见的Markov链；（3）理解齐次Markov链的一步、多步转移概率，转移概率矩阵与C-K方程；（4）掌握平稳分布的证明和计算；（5）了解Markov链在金融学中的应用。重点：Markov链的一步、多步转移概率，转移概率矩阵与C-K方程。难点：平稳分布的证明和计算。101、2、3、45.鞅5.1基本概念5.2鞅的停时定理及其应用5.3一致可积性5.4鞅收敛定理5.5连续鞅教学要求：（1）理解随机游动和鞅的背景与定义；（2）掌握停时定理及其实际运用；（3）了解随机游动与鞅对金融现象的刻画。重点：停时定理及其实际应用。难点：停时定理及其应用,一致可积性。101、2、3、46.Brown运动6.1基本概念和基本性质6.2Gauss过程6.3Brown运动的鞅性质6.4Brown运动的Markov性6.5Brown运动的最大值变量及反正弦律6.6Brown运动的几种变化教学要求：（1）掌握Brown运动定义，会计算Brown运动的数字特征；（2）通过对比有限变差，理解Brown运动二次变差的特性；（3）了解最大值定律和布朗桥。重点：Brown运动定义，会计算Brown运动的数字特征。难点：对比有限变差，理解Brown运动二次变差的特性。101、2、3、47.随机积分7.1基本概念7.2Itô积分和Itô公式7.3随机积分在金融学中的应用教学要求：（1）掌握Itô积分过程；（2）掌握Itô积分公式；（3）了解Itô公式在求解一些简单随机微分方程的应用。重点：Itô积分过程和Itô积分公式。难点：Itô公式在求解一些简单随机微分方程的应用。61、2、3、4合计56五、教学方法及手段本课程以课堂讲授为主，利用超星学习通平台，结合网络优质视频资源，配合多媒体课件，采用启发式、讨论式教学和案例教学等共同完成课堂授课内容，促进学生积极思考，开发学生的潜能，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；课下结合学习通资源和作业等形式，巩固课堂所学知识；采用QQ、微信、钉钉等交流工具，加强和学生之间的交流和沟通。六、课程资源1.推荐教材：张波,商豪,邓军.应用随机过程(第5版)[M].北京:中国人民大学出版社,2020.2.参考书：（1）SheldonM.Ross著,龚光鲁译.随机过程(原书第2版)[M].北京:机械工业出版社,2013.（2）SheldonM.Ross著,龚光鲁译.应用随机过程:概率模型导论(第11版)[M].北京:人民邮电出版社,2020.（3）汤珂.随机过程与金融衍生品[M].北京:中国人民大学出版社,2014.（4）钟开莱.概率论教程(英文版·第3版)[M].北京:机械工业出版社,2010.（5）EdwardP.C.Kao.随机过程导论(英文版)[M].北京:机械工业出版社,2003.3.期刊：（1）MarkBroadie,DevJoneja.AnapplicationofMarkovchainanalysistothegameofsquash[J].Decisionsciences,1993,24(5):1023-1035.（2）PeterA.W.Lewis,GeraldS.Shedler.SimulationofnonhomogeneousPoissonprocessesbythinning[J].Navalresearchlogistics,1979,26(3):403-413.（3）TheodoreJ.Sheskin.AMarkovchainpartitioningalgorithmforcomputingsteadystateprobabilities[J].OperationsResearch,1985,33(1):228-235.（4）RonaldW.Wolff.Poissonarrivalsseetimeaverages[J].Operationsresearch,1982,30(2):223-231.（5）JiaanYan.Aremarkonconditionalexpectations[J].Chinesesciencebulletin,1990,35(9):719-722.4.网络资源：（1）郭军义.随机过程:南开大学[Z/OL].杭州:网易公开课,2021[2022]./newview/movie/free?pid=HHJOR7ND8&mid=QHJOR81C1.（2）张波,商豪.应用随机过程:肇庆学院[Z/OL].上海:哔哩哔哩,2021[2022].https://www./video/BV1Py4y1t7Qe?p=2&vd_source=1baf39be11cc82e27060d898fb979f67.（3）刘玉婷.应用随机过程:北京交通大学[Z/OL].上海:哔哩哔哩,2021[2022].https://www./video/BV1cL411876U?p=46&spm_id_from=pageDriver&vd_source=1baf39be11cc82e27060d898fb979f67.七、课程考核对课程目标的支撑课程成绩由过程性考核成绩和期末考核成绩两部分构成，具体考核/评价细则及对课程目标的支撑关系见表3。表3课程考核对课程目标的支撑考核环节占比考核/评价细则课程目标1234过程性考核课堂表现10（1）根据课堂出勤情况和课堂回答问题情况等进行考核，满分100分。（2）以平时考核成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√√4222作业10（1）主要考核学生对各章节知识点的复习、理解和掌握程度，满分100分。（2）每次作业单独评分，取各次成绩的平均值作为此环节的最终成绩。（3）以作业成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√442阶段测验20（1）根据每次阶段测验情况单独评分，满分100分；（2）每次阶段测验单独评分，取各次测验成绩的平均值作为此环节的最终成绩。（3）以阶段测验成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。√√√884期末考核60（1）卷面成绩100分，以卷面成绩乘以其在总评成绩中所占的比例计入课程总评成绩。（2）主要考核概率论的全期望公式、随机过程的分类及其数字特征、Brown布朗运动的性质、Poisson过程的性质、鞅的性质、Markov链的平稳分布、极限分布和状态分类、Itô公式等内容。（3）考试题型为：填空题、选择题、计算题和综合题等。√√√301515合