函数的单调性与最值理课件VIP

函数的单调性与最值函数的单调性是指函数值随着自变量的变化而变化的趋势。最值则是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。引言函数的变化规律函数图像的形状反映了函数的变化趋势，通过观察图像，可以直观地了解函数的单调性、极值等性质。函数的应用函数的单调性、极值等性质在实际问题中有着广泛的应用，例如优化问题、最大最小值问题等。研究目的本节课将学习函数的单调性与最值，以及它们的应用，为后续学习函数的图像分析和应用打下基础。2.函数的单调性函数的单调性函数的单调性描述了函数值随自变量变化趋势。当自变量增大时，函数值也随之增大，则函数为单调递增。反之，当自变量增大时，函数值随之减小，则函数为单调递减。单调性的应用研究函数的单调性可以帮助我们理解函数的增长和减少规律，从而更好地分析函数的性质，比如求函数的最大值和最小值，以及解决相关应用问题。单调性概念及性质单调增函数在定义域内，函数值随自变量的增大而增大。单调减函数在定义域内，函数值随自变量的增大而减小。单调函数性质单调函数图像在定义域内是连续的，没有拐点。单调函数性质单调函数图像在定义域内是单调的，没有极值点。4.单调增函数11.定义若函数在定义域内任意两点x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在定义域内为单调增函数。22.性质单调增函数的图像呈现上升趋势，斜率恒为正或零。33.几何意义若函数f(x)为单调增函数，则其图像上任意两点连线的斜率都大于或等于零。44.例子例如，函数f(x)=x²在(0,+∞)上为单调增函数。5.单调减函数定义对于函数f(x)，如果当x1f(x2)，那么函数f(x)在区间上是单调递减的。图像单调递减函数的图像从左往右下降，图像斜率为负值。斜率单调递减函数的斜率始终小于零，可以用导数来表示。6.函数的单调性判定1定义法通过比较函数值的大小来判断函数的单调性，即对于函数定义域内的任意两个自变量的值，如果满足一定条件，则函数单调递增或单调递减。2导数法利用函数导数的符号来判断函数的单调性，若导数大于零，则函数单调递增；若导数小于零，则函数单调递减。3图像法根据函数图像的形状来判断函数的单调性，例如，若图像从左到右呈上升趋势，则函数单调递增；若图像从左到右呈下降趋势，则函数单调递减。单调性判断例题学习函数的单调性判断方法很重要，这些方法可以帮助我们分析函数的性质，以及在求解函数的极值和最值问题中发挥重要作用。通过解决一系列例题，我们可以加深对函数单调性判断方法的理解，并提高解题能力。通过例题，我们可以学习如何利用函数的导数判断函数的单调性，并进一步掌握单调性判断技巧。8.函数的最值定义函数最值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值，可以理解为函数取值的上下界。应用最值在实际生活中有很多应用，比如寻找最佳生产方案、优化资源分配、设计结构模型等等。求解方法求函数最值一般需要先判断函数的单调性，然后利用极值概念及性质，最终通过比较极值和端点值得出函数的最值。9.极值概念及性质11.定义函数在某点取得的函数值，大于或小于其附近所有点的函数值，则称此值为函数的极值，对应点为极值点。22.分类极值可分为极大值和极小值，分别对应函数值在极值点附近取得的最大值和最小值。33.性质极值点处函数导数为零，或导数不存在，但并非所有导数为零的点都是极值点。44.应用极值概念应用于求函数最大值、最小值，以及优化问题，帮助解决现实世界中的实际问题。10.求函数的极值1确定函数定义域了解函数在哪些区间上存在极值2求导数找到函数的一阶导数3求驻点使导数为零或不存在的点4判断极值利用极值判定定理或一阶导数、二阶导数求函数的极值，需要首先确定函数定义域，然后求导数，找到驻点，最后根据极值判定定理或一阶导数、二阶导数判断极值类型。11.极值的应用优化问题例如，在工程设计中，如何选择最佳参数以最大限度地提高桥梁的承载能力。经济学例如，如何确定最佳生产规模以获得最大利润，或最小化生产成本。自然科学例如，在气象学中，如何预测未来一段时间内的最高气温或最低气温。12.最大最小值问题最大值与最小值函数在某个区间上的最大值指的是函数在这个区间内取得的最大函数值。最小值指的是函数在这个区间内取得的最小函数值。求解方法利用单调性利用导数利用函数图像最值应用例题最值应用例题帮助学生理解函数单调性与最值在实际问题中的应用。这些例题涵盖了各种实际场景，例如求最大利润、最小成本、最优设计等。通过解决这些问题，学生可以加深对理论知识的理解，并锻炼解决实际问题的能力。例题通常会给出具体的问题描述，并要求学生利用函数的单调性、极值等知识找到问题的最优解。学生需要仔细分析题目，建立函数模型，然后利用导数等工具求解最值问题。例题的解答过程不仅要给出结果，还要说明解题思路和方法，使学生能够理解解题过程，并能够举一反三，解决其他类似问题。例如，一个常见的应用场景是求利润最大化问题。题目会给出生产成本、销售价格等信息，要求学生找到生产多少产品才能获得最大利润。学生需要建立利润函数，然后求出利润函数的最大值，并分析最大利润对应的生产量。这些问题不仅考察了学生对函数单调性、极值的掌握，也考察了学生的逻辑推理能力和分析问题的能力。14.函数的相对极值峰顶函数在某个邻域内取得的最大值或最小值，被称为函数的相对极值。山谷函数在某个邻域内取得的最大值或最小值，被称为函数的相对极值。15.利用导数求极值导数是函数变化率的量度。当导数为零时，函数的变化率为零，这意味着函数可能在其处达到最大值或最小值。1求一阶导数找到函数的导数2求二阶导数找到导数的导数3极值判定使用二阶导数测试来确定极值通过求导数并使用二阶导数测试，我们可以确定函数的极值点。16.极值的性质极值点极值点是指函数取到极值时的自变量值，它对应着函数图像上的最高点或最低点。极值点极值点并不一定存在，当函数在某个区间内单调时，该区间内没有极值点。极值点极值点是函数图像上的一个关键点，它可以帮助我们理解函数的变化趋势。极值判定定理最大值判定定理当函数在定义域的某个区间上是单调递增的，且在该区间的端点处取得最大值，则该点为函数的最大值点。最小值判定定理当函数在定义域的某个区间上是单调递减的，且在该区间的端点处取得最小值，则该点为函数的最小值点。19.利用一阶导数判断极值一阶导数为零当函数的一阶导数等于零时，函数可能在该点取得极值，但也不一定。一阶导数不存在当函数的一阶导数不存在时，函数也可能在该点取得极值，但也不一定。极值判定定理如果函数在某一点的左、右两侧的一阶导数符号相反，则该点为函数的极值点。19.利用二阶导数判断极值1二阶导数为负该点为极大值点2二阶导数为正该点为极小值点3二阶导数为零无法判定利用二阶导数判断极值的方法较为便捷，它可以通过判断函数二阶导数在临界点的符号来确定极值类型。当二阶导数为负时，函数在该点为极大值点，反之则为极小值点。当二阶导数为零时，无法通过此方法判断极值类型。20.极值判断例题通过一系列例题，巩固函数极值的判断方法。涵盖函数图像、一阶导数、二阶导数等不同方法。这些例题逐步深入，从简单到复杂，帮助学生掌握判断函数极值的技巧。21.函数图像与单调性、极值的关系函数图像的单调性与极值密切相关。函数图像的单调性反映了函数值的变化趋势。当函数单调递增时，图像向上倾斜；当函数单调递减时，图像向下倾斜。函数图像的极值对应着函数的局部最大值或局部最小值。极值点是函数图像的拐点，表示函数值从递增转为递减或从递减转为递增。22.曲线凹凸性与拐点11.凹凸性函数图像上某点的切线在该点附近的所有点都在切线的同一侧，则称该点是函数图像的凹点或凸点。22.拐点函数图像凹凸性改变的点称为拐点，在拐点处切线可能存在也可能不存在。33.凹凸性与拐点凹凸性与拐点是函数图像的重要特征，可以帮助我们更好地理解函数的性质。23.曲线凹凸性判断1二阶导数判断凹凸性2大于零向上凹3小于零向下凹4等于零可能拐点利用二阶导数符号判断函数图像凹凸性。如果二阶导数大于零，函数图像向上凹。如果二阶导数小于零，函数图像向下凹。如果二阶导数等于零，则该点可能为拐点，需要进一步验证。24.曲线凹凸性应用函数图像分析凹凸性分析可以帮助我们更深入地理解函数图像的形状。通过判断函数图像的凹凸性，我们可以更好地理解函数的增长趋势、拐点以及极值等重要信息。例如，当函数图像向上凹时，函数在该区间内是加速增长的，而当函数图像向下凹时，函数在该区间内是减速增长的。优化问题在许多实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，而凹凸性分析可以帮助我们判断极值点的类型，从而更容易地找到函数的最大值或最小值。物理模型凹凸性分析在物理模型中也有广泛的应用。例如，在力学中，我们常常需要分析物体的运动轨迹，而凹凸性可以帮助我们判断物体运动的加速度方向。函数图像分析函数图像分析是研究函数性质的重要方法。通过分析函数图像，我们可以直观地了解函数的单调性、极值、凹凸性等性质。例如，函数图像的上升趋势对应着函数的单调增区间，而下降趋势对应着函数的单调减区间。极值点在图像上表现为峰值或谷值，而拐点则对应着图像的曲率变化。26.极值综合应用问题求解综合运用单调性、极值等概念解决实际问题，例如优化问题方法技巧结合函数的性质和图像寻找函数的最值，解决最优化问题27.习题演练通过练习巩固所学知识。精心挑选习题，涵盖本节课的重点内容。从基础到进阶，循序渐进地提高解题能力。鼓励学生独立思考，并与同学交流解题思路。28.总结回顾函数单调性函数单调性是函数性质的重要体现。它描述了函数值随自变量的变化趋势。利用导数判断单调性是常用的方法，可以帮助我们快速确定函数的单调区间。函数最值函数的最值是函数在某个区间内取到的最大值或最小值。通过求导判断函数的极值，进而找出函数在指定区间内的最大值或最小