数学课堂导学案：简单的三角恒等变换（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.熟练掌握三角函数的有关公式，进行简单的三角恒等变换【例1】化简:-sin2θ—cos2θ思路分析：首先将切化弦,然后统一角,将2θ化为θ角的三角函数.解：原式=—sin2θ-cos2θ=-sin2θ—cos2θ=-sin2θ—cos2θ=-sin2θ—cos2θ=cosθ（2sinθ+4cosθ)—sin2θ-cos2θ=sin2θ+4cos2θ-sin2θ-cos2θ=3cos2θ.温馨提示代数式的化简,主要形式有消元、降次、约分等，在三角函数中要通过角变换，名变换，式变换为消元、降次、约分等创造条件,本题就是通过切化弦减少了函数种类，通过角度统一,减少角的个数，为化简铺平道路。2。正确地选择公式,从整体上把握变换过程【例2】已知π＜α＜，化简思路分析:根式化简应升幂去根号，分式化简应化积后约分。解:∵π＜α＜,∴＜＜。利用半角公式得｜cos|=—2cos，｜sin｜=2sin.原式==。温馨提示解决本题的关键是利用1+cosα=2cos2与1—cosα=2sin2升幂,去掉根号,问题获解.3。熟悉三角公式的结构特征、化式成立的条件及挖掘题目中的隐含条件【例3】已知α,β∈(0,π),且tan(α-β）=,tanβ=-,求sin(2α-β)的值。思路分析：∵2α—β=(α-β)+α,可先求α的三角函数。解：tanα=tan[（α—β）+β]=，∴tan2α==,tan(2α-β)==1.∵α，β∈（0,π），∴-π＜2α-β＜2π,由tan(2α-β）=,得cos（2α—β）=sin（2α—β）.又∵sin2（2α-β）+cos2（2α—β）=1，∴2sin2（2α—β）=1,解得sin（2α-β）=±.∵tanα=，α∈(0，π),∴0＜α＜,∴0＜2α＜。又∵tanβ=-，β∈（0,π），∴＜β＜π。∴—π＜2α—β＜0，∴sin(2α—β）=-.温馨提示挖掘本题中的隐含条件，由正切值可以使用的范围缩小,本题易忽略缩小角的范围而出错。各个击破类题演练1化简：解===1。变式提升1证明2sin4x+sin22x+5cos4x—cos4x-cos2x=2(1+cos2x）。证明：左边=2（）2+（1—cos22x）+5（）2-（2cos22x—1)-cos2x=3+cos2x.右边=2（1+）=3+cos2x，∴左边=右边。∴原式成立。类题演练2求证=(tan+1）。证明：左边===(tan+1).∴等式成立。变式提升2求的值；解:原式===类题演练3已知tanα=，tanβ=,并且α、β均为锐角，求α+2β.解：∵tanβ=，∴tan2β=.∴tan（α+2β)==1.∵0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1,α、β均为锐角，∴0＜α＜,0＜β＜，0＜2β＜.∴0＜α+2β＜，又tan(α+2β）=1。∴α+2β=。变式提升3若α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=。证明:根据已知条件有3sin2α=1-2sin2β=cos2β，又3sin2α=2sin2β，有sin2β=sin2α=3sinαcosα。∴cos(α+2β）=cosαco