数学课堂导学：已知三角函数值求角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、已知正弦值求角已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数,反正弦是选在最基本的单调区间［—，］上定义的，其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间[-,］上，用反正弦表示出来。【例1】已知sinx=，（1)当x∈［—，］时,求x的取值集合；（2)当x∈［0，2π］时,求x的取值集合;(3)当x∈R时，求x的取值集合.思路分析：在函数y=sinx的非单调区间上,对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，在单调区间上只有一个值与之对应。解:（1)∵y=sinx在［-,］上是增函数，且知sin=,∴满足条件的角只有x=.∴x的取值集合为{}.（2)∵sinx=〉0，∴x为第一或第二象限角,且sin=sin(π—）=.∴在［0，2π]上符合条件的角x=或。∴x的取值集合为｛，｝。（3）当x∈R时，x的取值集合为{x|x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z｝.温馨提示(1)对于本题，由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用。（2)对第(3）题的结论可写为｛x|x=nπ+（—1）n·，n∈Z}.一般地,对于sinx=a(x∈R），|a|≤1，这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina或x=2kπ+π—arcsina,k∈Z,从而方程的解集为｛x｜x=kπ+(-1）karcsina，k∈Z｝.各个击破类题演练1已知sinA=0.5018，求角A.（利用计算器）解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30。11915867，所以∠A=30.12°(若精确到1°,则结果为30°)。温馨提示任意给定一个角,只要该角的函数值存在,总可以求出这个三角函数值.反过来,已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.变式提升1已知sin,且α是第二象限的角，求角α.思路分析：先求出，进而求出α。解：首先确定所在象限。∵α是第二象限的角,∴是第一或第三象限的角。又∵sin=〈0,∴是第三象限的角。然后在［0，2π)内找到满足条件的.∵sin=,∴在［0，2π）内满足条件的角是π+=。再找到所有满足条件的角.∴=2kπ+(k∈Z)。最后求出所有满足条件的角α，∴α=4kπ+，k∈Z。温馨提示本例中将看作一个整体，求出的所有角后,再求出α.二、已知角的余弦值求角已知余弦值求角,可利用y=cosx的图象找出在［0，π]内满足条件的角，然后根据y=cosx的周期性用反余弦（或特殊角）表示所给范围内的角。【例2】已知cosx=—0。287,（1）当x∈[0,π]时，求x；（2)当x∈R时,求x的取值集合。思路分析：由于cosx=—0.287,x不是特殊角，因此应用反余弦表示x，而［0，π］正是反余弦的主值区间,故当x∈［0,π］时，x=arccos(-0。287)=π-arccos0。287。当x∈R时,可利用诱导公式先求出［0，2π］内的所有解,再利用周期性即可求出x∈R的所有解。解：（1)因为cosx=-0.287,且x∈［0,π],所以x=arccos（—0.287）=π-arccos0。287.（2)当x∈R时，先求出x∈［0,2π]上的解。因为cosx=-0。287.故x是第二或第三象限角,由（1）知x1=π—arccos0.287是第二象限角。因为cos（π+arccos0。287）=-cos(arccos0。287）=—0。287,且π+arccos0。287∈（π,)，所以x2=π+arccos0。287.由余弦函数的周期性，可知当x=2kπ+x1或x=2kπ+x2,k∈Z时,cosx=—0。287，即所求的x值的集合是｛x|x=2kπ+π—arccos0。287或x=2kπ+π+arccos0.287,k∈Z｝=｛x｜x=2kπ±arccos(-0。287),k∈Z｝.温馨提示方程cosx=a,｜a｜≤1的解集可写成{x｜x=2kπ±arccosa,k∈Z}。类题演练2已知cos（x+)=，求角x的集合.思路分析:把“x+”视为一个整体，首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上.解:∵cos（x+）=〈0，∴角x+是第二或第三象限角。令cos(x+)=,得锐角+=.在区间［0，2π］上，符合条件的角是π—或π+,即或，所以在x∈R上,有+=+2kπ，k∈Z或+=+2kπ，k∈Z。化简得x=π+4kπ或x=+4kπ，k∈Z.故角x的集合是｛x|x=π+4kπ或x=+4kπ，k∈Z}.变式提升2已知cosx=，x∈(—π，-），则x等于…（）A.arccos（）B。π—arccosC.-arccos()D.-arccos解析：∵arccos()∈(,π)，∴—arccos（）∈（-π，-）。故选C.答案:C三、已知正切值求角已知正切值求角，可利用y=tanx的图象找出(—，)内满足条件的角，然后根据y=tanx的周期性用反正切（或特殊角)表示所给范围内的角.【例3】已知tanα=-2，若（1)α∈（-，)；（2)α∈［0，2π］；（3）α∈R,求角α.思路分析:由正切函数的单调性，可知在开区间(-，）内,符合条件tanα=-2的角只有一个，而在α∈[0,2π］内，符合条件tanα=—2的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可知第（3)题中符合条件的角α就有无穷多个了.解：(1）由正切函数在开区间(-,）上是增函数可知符合条件tanα=—2的角只有一个,即α=arctan（—2）.（2）∵tanα=—2<0,∴α是第二或第四象限角。又∵α∈［0，2π］，由正切函数在区间(，π],(，2π］上是增函数知符合tanα=-2的角有两个,即α=π-arctan2，α=2π-arctan2.(3)α∈R时角α有无穷多个,则α=（2k+1)π-arctan2或α=2（k+1)π-arctan2(k∈Z）。温馨提示对于反三角函数,我们要特别注意主值区间，即—≤arcsinx≤,0≤arccosx≤π，-〈arctanx<。类题演练3（1）已知sinx=,x∈(π,）,求角x；（2）已知tanx=3，x∈（3π,）,求角x.解法一:（1）令sinx1=，得x1=arcsin。∵x∈（π，),∴符合条件的角x=π+x1=π+arcsin.（2)令tanx1=3，得锐角x1=arctan3.∵x∈（3π，)，∴符合条件的角x=3π+x1=3π+arctan3。解法二：（1)∵π〈x<,∴-<π—x〈0.又由sinx=，得sin（π-x)=.∴π-x=arcsin(）=-arcsin.∴x=π+arcsin.（2）∵3π〈x〈,∴0〈x-3π<。由tanx=3，得tan（x-3π）=3。∴x—3π=arctan3.∴x=3π+arctan3