数学课堂导学：向量的正交分解与向量的直角坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量a=的坐标如图，在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。我们把（x，y）叫做向量a的(直角）坐标，记作a=(x，y).（*)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，＊式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a相等的向量的坐标也为(x,y)。特别地,i=(1，0），j=(0,1）,0=（0,0).【例1】在直角坐标系xOy中,向量a、b、c的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a=（a1，a2）,a的方向相对于x轴正向的转角为θ,则有解：设a=（a1，a2)，b=(b1,b2),c=(c1，c2)，则a1=|a｜cos45°=2×=,a2=|a｜sin45°=2×=，b1=|b｜cos120°=3×（—)=，b2=｜b|sin120°=3×，c1=|c｜cos(—30°）=4×,c2=|c|sin(—30°）=4×(-)=—2，因此a=（,）,b=（）,c=（，—2）.各个击破类题演练1已知O是坐标原点，点A在第一象限，｜｜=，∠xOA=60°,求向量的坐标。思路分析：要求向量的坐标，就是要求在x、y轴上的坐标，为此可通过三角函数求解。解:设点A的坐标为（x,y），则x=｜|·cos60°=×，y=||sin60°=×=6,即A（，6）.∴=（,6）.变式提升1如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点,PECF是矩形，用向量证明PA=EF.思路分析：用向量的坐标法证明，只要写出PA与EF的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD，故可以D点为坐标原点,以DC、AD边所在直线分别为x、y轴,建立坐标系.证明：建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,||=λ（λ>0)，则A(0，a),P（λ,λ）,E(a,λ）,F（λ，0）,∴=(λ,a—λ),=（λ-a,λ).∵|｜2=λ2—aλ+a2,||2=λ2—aλ+a2,∴｜|2=｜｜2,故PA=EF。二、向量的直角坐标运算（1)若a=(a1,a2）,b=(b1，b2）,则a+b=(a1+b1,a2+b2)，即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和。（2)若a=（a1，a2),b=（b1,b2）,则a—b=（a1-b1，a2—b2），即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差。（3)若A(x1，y1)，B（x2，y2）,则=（x2—x1，y2—y1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。(4）若a=(a1,a2),λ∈R，则λa=(λa1，λa2），即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】已知点A（-1,2），B(2，8)及=,=-,求点C、D和的坐标.思路分析：根据题意可设C（x1,y1）,D(x2,y2），然后利用=和=—相等关系可得关于x1、y1及x2、y2的方程组，可得C、D点坐标及坐标。解:设C、D的坐标分别为(x1，y1）、（x2，y2)，由题意可得=(x1+1,y1-2)，=(3，6），=(—1—x2，2—y2）,=（—3,—6)，∵=,=—,∴(x1+1,y1-2)=(3，6)，（-1-x2，2—y2)=-（-3,-6),也就是(x1+1,y1-2)=(1，2），(—1-x2，2-y2）=（1,2)。∴∴∴C、D的坐标分别为（0，4）、(-2，0）。因此=(-2,—4)。类题演练2（1)设向量a、b的坐标分别是（-1,2)、（3,-5）,求a+b，a-b,3a,2a+3（2)设向量a、b、c的坐标分别为(1,—3）、(-2，4）、(0,5)，求3a-b+c解:(1）a+b=（-1，2）+（3，—5)=（-1+3，2—5）=(2,-3），a—b=（—1,2）—(3,—5)=(-1—3,2+5）=（—4,7）,3a2a+3b(2）3a-b+c变式提升2用坐标法证明++=0。思路分析：先设出点A、B、C的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标,再运用坐标运算证明等式。证明:设A(a1,a2)、B（b1,b2）、C(c1，c2），则=（b1—a1，b2—a2），=(c1-b1,c2-b2),=（a1—c1，a2—c2)，∴++=（b1—a1，b2—a2）+（c1—b1，c2-b2）+（a1—c1，a2—c2)=（b1-a1+c1—b1+a1-c1，b2-a2+c2—b2+a2—c2)=(0,0).∴++=0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A、B、C是否共线。这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充。因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合，为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】已知A（1，-2)，B（2，1），C（3,2),D（-2,3）,以，为一组基底表示++.思路分析：求解时，首先由点A、B、C、D的坐标求得向量，，，,的坐标。然后根据平面向量基本定理设++=m+n.最后列出关于m,n的方程组求解。解：=(1,3)，=（2，4），=（-3,5），=（-4,2），=（-5，1）.设++=m+n，∴（—12，8)=m（1，3)+n(2，4）,即（-12,8)=（m+2n,3m+4n）.∴++=32—22.温馨提示（1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识。（2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练3已知向量a=(x+3,x—3y-4）与相等，若A（1，2）,B(3,2），求x、y的值。解:=—=(3，2）—（1,2）=（2，0）.∵a=，∴故x=-1,y=.温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）。变式提升3如图,在ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知=c,=d，试用c、d表示和。思路分析