数学课堂导学：三角函数的周期性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。周期函数与周期的意义【例1】求下列三角函数的周期。（1）y=sin（x+）；（2）y=3sin(+).思路分析：运用周期函数的定义即可。解：（1)令z=x+,而sin（2π+z）=sinz,即f(2π+z)=f（z）,f［(2π+x）+］=f(x+).∴周期T=2π.（2)令z=+，则f(x）=3sinz=3sin(z+2π）=3sin(++2π)=3sin（)=f(x+4π).∴T=4π。温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f（x+T)=f（x),而非某一个x值.也可用公式T=求周期。2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为π;(2)y=｜sinx｜+｜cosx|的周期为.思路分析：观察特征，运用定义。证明：（1）f（x+π）=cos2(x+π)+sin2(x+π）=cos（2π+2x）+sin（2π+2x）=cos2x+sin2x=f(x）,∴y=cos2x+sin2x的周期是π.(2)f(x+）=|sin(x+）|+|cos（x+）|=|cosx｜+|-sinx|=｜sinx|+｜cosx｜=f（x）,∴y=|sinx|+｜cosx｜的周期是.温馨提示“f(x+T)=f(x）"是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立。可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin｜x|不是周期函数.思路分析:运用定义进行证明。证明：假设y=sin|x｜是周期函数，且周期为T,则sin｜x+T|=sin|x|（x∈R）.(1)当T≥时，令x=,得sin｜+T|=sin|｜sin（+T)=sincosT=1；令x=—，得sin｜-+T|=sin|—｜sin(-+T)=sin-cosT=1cosT=—1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥不可能.（2)当T≤-时，令x=x′—T得，sin|x′—T+T|=sin|x′—T|sin｜x′-T｜=sin｜x′｜,即-T是函数的周期。但—T≥，由(1)知这是不可能的。（3)当—＜T＜时,令x=0得，sin｜T|=sin|0|sinT=0T=0（周期不为零)。由此可知原函数无周期，故y=sin|x｜不是周期函数.温馨提示进一步理解定义，①存在一个常数T≠0；②当x取定义域内每一个值时(而不是某一个）,都有f（x+T）=f（x）恒成立。各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f（x）=3sinx;(2)f(x)=sin2x;(3）f(x)=2sin（)。解:(1）f（x）=3sinx=3sin(x+2π）=f(x+2π)，函数的最小正周期为2π.（2）f（x)=sin2x=sin（2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π），函数的最小正周期为π.（3）f（x）=2sin（）=2sin(+2π）＝2sin[(x+）+］=f（x+4π)，函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R上的函数f（x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,］时,f(x)=sinx,则f(π)的值为（)A.B。C.D。解析：由题意：f（π）=f(—π)=f（—π+2π)=f()=sin=.答案：D类题演练2设f(x）是定义在R上以2为周期的周期函数,且f(x)是偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=—2(x-3)2+4，求x∈［1,2]时，f(x）的解析表达式.解：当x∈［-3，-2］时，—x∈［２，3］。∵f(x)是偶函数，∴f(x）=f(—x)=-2（-x-3)2+4=-2（x+3)2+4.又∵f（x）是以2为周期的周期函数，当x∈［1,2]时，—3≤x—4≤-2,∴f(x）=f(x—4）=—2[(x—4)+3］2+4=—2（x-1）2+4.∴f(x）=—2（x—1）2+4（1≤x≤2)。变式提升2定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称,当x∈（-2,2）时，f（x）=x2+1，则x∈（—6，-2)时,f(x)=__________________。解析:∵偶函数f（x）其图象关于直线x=2对称，∴f（x+4)=f(x)，f(x）是周期函数,且4是它的一个周期。当x∈（—6，—2）,x+4∈（—2，2）。∴f（x)=f(x+4）=（x+4）2+1=x2+8x+17.答案:x2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数。（1）y=x3；（2)y=sinx2.证明：（1)因为y=x3在x∈R上单调，设y取到值a，方程x3=a不可能有两个不同的根，因此y=x3不是周期函数.（2）设函数y=sinx2是周期函数，周期为T，那么对所有的x∈R,sin（x+T)2=sinx2。由x的任意性,T=0，所以函数y不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f（x）=1(x∈R)是周期函数，但没有最小正周期。证明：因为对于任意实数T≠0，都有f（x+T）=f(x）=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在，故此函数没有最小正周期.(2）偶函数f（x）的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立，又当0≤x≤1时,f（x）=—x2+4.①求证f(x）是周期函数，并确定它的周期；②求当1≤x≤2时,f（x）的解析式。①证明：∵f（x）定义域为R且f（x—1）=f（x+1)，∴f（x+2)=f(x+1+1）=f（x+1-1)=f（x）。则f(x）的一个周期为2,且2n(n∈Z,n≠0）