数学课堂导学：排列组合的综合问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、要正确合理使用两个计数原理【例1】某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语,若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中有3个队要安排会英语的导游,2个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有_____________种.(用数字作答）解析:可从那名既会英语，也会日语的人（记为甲)出发进行分类，按照甲是否被安排到需要英语的旅游团可分两类：第一类,甲被安排到需要英语的旅游团，则再分两步进行，第1步再从会英语的另外5人中选2人共3人分别安排到3个需要英语翻译的旅游团，共有·种安排方法；第2步从只会日语的3人中选出2人安排到需要日语翻译的旅游团队有种安排方法，故一共有··种安排方法；第二类，甲没有被安排到需英语翻译的旅游团，则可分两步：第1步,从只会英语的5人中选3人安排到需英语翻译的3个旅游团有种安排方法;第2步从会日语的4人（包括甲）中选2人安排到需要日语翻译的旅游团,有种安排方法,故共有·种安排方法.由分类计数原理，一共有+=1080(种）不同的安排方法。温馨提示本题既用了加法原理,也用到了乘法原理,当两个原理同时使用时，要根据问题的特点分清使用的先后顺序.二、解排列组合问题要遵循一定的先后原则【例2】（1）从1、3、5、7、9中任取3个数字，从2、4、6、8中任取2个数字组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个?解析:从1，3，5，7，9中任取3个数字有种取法，从2，4，6，8中任取2个数字共有种取法，再将取出的5个元素作全排列有种，由乘法原理共有··=7200（种）（2）6个人站成一排照相,其中甲、乙二人相邻的排法有多少种？解析：将甲、乙看成一个元素进行全排列有种，相邻的两人又有种排法，因此，共有·=240(种）排法.温馨提示对于排列组合的综合问题,一般原则是先任取元素组合,后排列顺序,即先组合后排列。在(2）中用到了先整体后个别的原则，即整体排好之后，再考虑特殊元素.这在处理“相邻”、“不相邻"、“连排”问题中有所体现。三、“枚举法"和“逆向思考"【例3】有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班级的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法总数是(）A。8B.9C。10解析：设甲、乙、丙、丁四位老师分别执教1班、2班、3班、4班，由表格知,当乙监考1班时的方法数为3种，同理丙与丁监考1班时也都为3种，从而安排监考的方法总数为9种.乙监考1班情况表1班2班3班4班乙甲丁丙乙丙丁甲乙丁甲丙温馨提示人们在解决排列组合问题时,常习惯于用定义或含有排列数、组合数的式子来解决，但有时会遇到障碍，难以突破，如采用枚举的方法会收到意想不到的效果.各个击破【类题演练1】某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张不同花色的A,有5次出牌的机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?解析:出牌的方法可分为以下几类：①5张牌全部分开出，有种方法；②两张2一起出，3张A一起出，有种方法；③2张2一起出，3张A分开出，有种方法；④2张2一起出，3张A分两次出，有种方法；⑤2张2分开出，3张A一起出，有种方法；⑥2张2分开出,3张A分两次出,有种方法，因此共有不同的出牌方法+++++=860种。【变式提升1】有五张卡片，它们的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,可组成多少个不同的三位数?解析：解法一(直接法)从0与1两特殊元素着眼分为三类：①取0不取1，可从四张卡片中选一张作百位，有种方法，0可在后两位有种方法；最后从剩下的三张中任取一张,有种方法；又除含0的那张外，其它两张都有正面与反面两种可能，故不同的三位数有···22（个)。②取1不取0，同上分析可得不同三位数·22·(个)。③0和1都不取,有不同的三位数·23·（个)。综上，共有不同的三位数···22+·22·+·23·=432个。解法二（间接法）任取三张卡片可以组成不同三位数·23·（个）。其中0在百位的有·22·(个)，这些不合题意，故共有三位数·23·-·22·=432个.【类题演练2】6名同学站成一排，其中甲不站在排头，也不站在排尾,共有多少种方法?解法一：(先满足特殊元素)甲站在除排头和排尾以外的四个位置，其余的元素做全排列.故有·=480（种)。解法二：(先满足特殊位置)从除甲以外其余5个元素中任取两个元素排在排头和排尾两个位置,其它元素做全排列，所以有·=480(种).【变式提升2】从6名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有（)A。180种B.240种C.300种D。360种解析：分三种情况：(1)甲、乙都不参加，有=24种;（2）甲、乙仅有1人参加,有2=144种；(3）甲、乙两人都参加，有=72种.由分类计数原理，∴共有24+144+72=240种。答案：B【类题演练3】从集合｛1,2，3,……,10｝中选出5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有（）A。10B.16C.20解析：由于11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，即和为11的有下述五组数：（1，10),（2,9),(3，8），(4,7)，(5,6),现从这五组数中各取一个数，方法数共有25，即正确答案为D.【变式提升3】从六种小麦品种a、b、c、d、e、f中选出四种，在不同土质的四块土地甲、