数学课堂导学：两角和与差的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】若sinα=,sinβ=且α、β是锐角，求α+β的值。思路分析：可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解：∵α、β是锐角，∴cosα=，cosβ=。∴sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=.又∵sinα=〈,sinβ=〈,∴0°<α<30°，0°〈β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°。各个击破类题演练1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析：原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin（33°+27°）=sin60°=，或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°—27°)=cos30°=。变式提升1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°—17°）·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin（270°+43°）=—sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos(17°+43°）=cos60°=。答案:2。两角差的余弦公式的运用【例2】已知cos（α+β)=,cos(α-β)=，求tanαtanβ的值。思路分析：题目中要求的是单角α与β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解。解：由①+②得cosαcosβ=,②-①得sinαsinβ=，∴tanαtanβ==。友情提示在利用两角和差公式的同时,运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点。类题演练2设a∈（0，)，若sinα=,则cos（α+)等于（）A.B.C.D。-解析：∵α∈(0，)，sinα=,∴cosα=，又cos（α+）=（cosα·cos—sinα·sin）=cosα—sinα=。答案:B变式提升2已知α、β为锐角，且cosα=，cos(α+β)=，求β的值.解析：∵α是锐角，cosα=,∴sinα=。∵α、β均为锐角，∴0〈α+β<π。又cos(α+β）=,∴sin(α+β)=。∴cosβ=cos[(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β）sinα=(）·+=。又∵β为锐角，∴β=。3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】已知α，β∈(—，），tanα,tanβ是一元二次方程x2+x+4=0的两根，求α+β。思路分析：由根与系数关系可得tanα+tanβ、tanαtanβ，因此可先求tan（α+β）.解：由题意知tanα+tanβ=—3,tanαtanβ=4,①∴tan（α+β）=.又∵α，β∈（—,)且由①知α∈(-，0）,β∈(—，0），∴α+β∈(-π，0).∴α+β=.类题演练3计算tan10°+tan50°+tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°）（1-tan10°tan50°）+tan10°tan50°=(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°=.变式提升3求值：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10