数学课堂导学：从位移的合成到向量的加法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。向量的加减法运算和运算律【例1】用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等。根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.已知：如右图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O,且AO=OC，DO=OB.求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：根据向量加法的三角形法则,有=+，,又∵=，，∴=。∴=，即AB与DC平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形.友情提示本题的证明方法是用向量表示四边形中的边，然后进行向量加法运算，得出相等向量,再利用向量相等的几何意义说明四边形的性质.各个击破类题演练1如右图,已知平行四边形ABCD,=a,=b，用a、b分别表示向量、。解析：连结AC、DB，由求向量和的平行四边形法则，则=+=a+b.依减法定义得=-=a—b。变式提升1①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必与a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有++=0;③若++=0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a、b均为非零向量，则｜a+b｜与｜a｜+｜b|一定相等。其中正确的个数为（）A。0B。1C.2解析：①错误。当a+b=0时，命题不成立.②正确③错误。当A、B、C三点共线时也可以有++=0.④错误.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为｜a|+｜b|＞｜a+b|.答案：B2。向量加减法的综合应用【例2】已知向量a、b，比较｜a+b|与|a｜+｜b|的大小。思路分析:因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.同时要注意特殊的向量零向量。解:(1)当a、b至少有一个为零向量时，有｜a+b｜=|a|+｜b｜。(2)当a、b为非零向量且a、b不共线时,有｜a+b｜＜|a|+｜b｜.（3）当a、b为非零向量且a、b同向共线时,有|a+b｜=｜a｜+｜b｜.（4）当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有｜a+b｜＜｜a｜+|b|.友情提示解答本题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答，关键是准确、恰当地进行分类。类题演练2若向量a、b满足|a|=8，｜b｜=12，则｜a+b｜的最小值是________，|a—b|的最大值是________。解析:在a与b共线反向时，|a+b｜取最小值.a与b共线反向时，｜a-b|取最大值。答案：420变式提升2若a≠0，且b≠0，且|a｜=|b｜=｜a-b｜，求a与a+b所在直线的夹角.解析：∵｜a|=｜b｜=｜a—b|,∴∠BOA=60°。又∵=a+b，且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA，如右图，∴a与a+b所在直线的夹角为30°。3。向量减法运算【例3】化简(-）—（-)。思路分析:混合运算可以统一成一种运算，即把加、减混合运算统一成加法运算.解：（-）—（-）=+++=（+）+（+）=+=0。友情提示做向量减法运算时，结果的箭头方向容易出错，要记住“在用三角形法则做向量减法时，连结两向量终点,箭头指向被减向量。”类题演练3在四边形ABCD中，-—等于（）A。B.