数学课堂导学：6平面向量数量积的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标【例1】已知:a=(cosα，sinα),b=(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π）求证：a+b与a—b互相垂直.思路分析：要证（a+b）⊥（a-b），只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识证法一:由已知a=(cosα，sinα),b=(cosβ，sinβ)，有a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ),a-b=（cosα-cosβ，sinα—sinβ)，又(a+b)·（a—b)=（cosα+cosβ)(cosα—cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α—sin2β=0,所以(a+b）⊥(a—b).证法二：∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ,sinβ),∴（a+b）·（a—b）=a2—b2=｜a|2—|b｜2=（cos2α+sin2α)-（cos2β+sin2β）=1-1=0。∴（a+b）⊥(a—b）.友情提示两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。各个击破类题演练1已知A(1，2），B（2，3），C（—2，5）,求证:△ABC是直角三角形证明:∵=（2-1，3-2)=（1，1),=（—2—1，5—2)=（—3，3），∴·=1×(—3）+1×3=0，∴⊥即AB⊥AC∴△ABC是直角三角形.变式提升1已知a=(4,2）,求与a垂直的单位向量的坐标。解析：设b=(x,y）为所求单位向量则x2+y2=1①又∵a⊥b∴a·b=(4，2)·(x，y)=4x+2y=0∴4x+2y=0②由①②得∴b=(）或b=（）.2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足｜a｜=｜b|=｜a—b｜，求a与a+b的夹角。思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a·(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义,构造平行四边形求解。解法一：根据|a|=｜b｜，有｜a｜2=|b|2，又由|b｜=｜a-b｜，得|b｜2=｜a|2—2a·b+|b｜2,∴a·b=｜a｜2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+｜b｜2=3|a|2∴|a+b|=|a|。设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a|=｜b｜，即|｜=||，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a—b。而｜a|=|b|=|a-b|,即｜|=|｜=||。∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°,即a与a+b的夹角为30°.友情提示本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会类题演练2已知直角三角形的两直角边长分别为4和6,试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.解析：建立如右图所示的坐标系.则A（4，0），B（0，6），E（2，0)，F（0,3）.=(—4，3），=（2，—6）,｜|=5，|｜=,cos∠AO′B=。∴两中线所成钝角的余弦值为。变式提升2设a=(4,-3），b=（2,1）,若a+tb与b的夹角为45°，求实数t的值。解析:a+tb=（4，-3)+t（2，1)=（4+2t，t—3），(a+tb)·b=(4+2t，t—3)·（2，1）=5t+5，|a+tb｜=.由（a+tb）·b=｜a+tb｜｜b|cos45°，得5t+5=,即t2+2t—3=0，∴t=-3或t=1.经检验知t=—3不合题意，舍去。∴t=1.3.向量垂直的等价条件的应用【例3】如右图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（1,0）、（5，3），则点C的坐标是（）A。（2，7）B。（，）C。(3,6）D。（，）思路分析：欲求点C的坐标,可设点C为（x，y)，然后利用条件建立x、y的方程组.注意到四边形ABCD为正方形，所以⊥，且||=｜|，可用它们建立x、y的方程组.解：设C点坐标为(x，y），则=（4，3)，=（x—5,y—3）。∵四边形ABCD为正方形,∴⊥，｜|=||。∴解得又∵C点在第一象限，∴舍去。答案:A友情提示求点的坐标,设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作BM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，易得△ABM≌△DAN，可得D点坐标为(—2，4），然后利用=+，易得C点坐标.类题演练3如右图，已知△ABC中,A（2，-1）,B（3，2），C（-3，—1)，AD是BC边上的高，求及点D的坐标。解析:设D的坐标为(x,y)∵AD⊥BC,∴⊥，与共线.又∵=（x—2，y+1),=(-6,-3）,=(x+3,y+1）.∴∴D点坐标为（1，1），∴=(—1，2）.变式提升3以原点O和A（4，2）为2个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°,求B的坐标和AB的长。解析:如右图，设B的坐标为(x,y），则=(x，y),=(x-4,y-2)。∵∠B=90°,∴⊥，∴x（x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2=4x+2y.①设的中点为C