2024-2025学年广东省广州市荔湾区广雅中学八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州市荔湾区广雅中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短3．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．3x•5x＝15 B．x2•x4＝x8 C．（x3）2＝x6 D．x2+x6＝x84．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．（3分）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B． C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A﹣∠B＝90°6．（3分）把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE（）A．165° B．155° C．145° D．135°7．（3分）如图，AB∥CD，AD＝CD，则∠1的度数是（）A．80° B．75° C．70° D．65°8．（3分）根据下列各组所给条件，不能唯一确定△ABC的形状和大小的是（）A．AB＝6cm，BC＝7.4cm，∠B＝45° B．∠B＝45°，BC＝7.4cm，∠C＝75° C．∠B＝45°，AB＝6cm，∠C＝75° D．BC＝5.4cm，AB＝6cm，∠A＝60°9．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，则下列结论正确的是（）A．S1＝S2 B．S1＝2 C．S2＝0.5 D．S1﹣S2＝110．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（）①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若点A（a，4）与点B（3，b）关于y轴对称．12．（3分）已知三角形的三边长分别是2、7、x，且x为奇数，则x＝．13．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为度．14．（3分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，则△ODQ的面积是．15．（3分）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为．16．（3分）如图，∠AOB＝25°，点M，OB上的定点，点P，OA上的动点，记∠MPQ＝α，当MP+PQ+QN的值最小时，β﹣α的大小＝（度）．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算：a4•3a2+（﹣2a2）3+5a6．18．已知：AB＝AC，∠B＝∠C求证：AD＝AE．19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE20．如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，求△ABC的面积．21．如图，已知△ABC．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；（点A、B、C的对称点分别为A′、B′、C′）；（2）△A′B′C′的面积为；（3）已知P为y轴上一点，若△A′CP的面积为4，则点P的坐标为．22．在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上23．如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G；（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．24．△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），得到△A′BD．（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝；（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．①连接AP，试探究AP，BP，猜想并说明理由．②若BP＝8，CP＝t，连接CA′（用含t的式子表示）25．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a（a﹣b）2+|b+8|＝0，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，连接OC、OD．（1）A点的坐标为，∠OAB的度数为；（2）如图1，若点C在第一象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系；（3）如图2，若点C的坐标为（3，﹣2），连接CD，BD与OC交于点F．①求D点的坐标；②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由．

2024-2025学年广东省广州市荔湾区广雅中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；故选：A．2．（3分）在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【解答】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，故选：A．3．（3分）下列计算中，结果正确的是（）A．3x•5x＝15 B．x2•x4＝x8 C．（x3）2＝x6 D．x2+x6＝x8【解答】解：A、3x•5x＝15x8，原式错误，故此选项不符合题意；B、x2•x4＝x5，原式错误，故此选项不符合题意；C、（x3）2＝x3，正确，故此选项符合题意；D、x2与x6不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；故选：C．4．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据非负性得，a﹣b＝0，解得：a＝b，b＝c，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．5．（3分）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B． C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A﹣∠B＝90°【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不合题意；B、∵∠B＝∠C＝，∴设∠B＝∠C＝x，则∠A＝2x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+x+2x＝180°，解得x＝45°，∴∠A＝6x＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不合题意；C、∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B＞90°，∴此三角形是钝角三角形，故本选项符合题意；故选：D．6．（3分）把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE（）A．165° B．155° C．145° D．135°【解答】解：∵FE⊥CE，∴∠FEC＝90°＝∠F，∴∠FEC+∠F＝180°，∴DF∥EC，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，∴∠ADF＝120°，∵∠FDE＝45°，∴∠ADE＝∠ADF+∠FDE＝165°，故选：A．7．（3分）如图，AB∥CD，AD＝CD，则∠1的度数是（）A．80° B．75° C．70° D．65°【解答】解：∵AD＝CD，∠2＝40°，∴∠ACD＝＝70°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠8＝70°．故选：C．8．（3分）根据下列各组所给条件，不能唯一确定△ABC的形状和大小的是（）A．AB＝6cm，BC＝7.4cm，∠B＝45° B．∠B＝45°，BC＝7.4cm，∠C＝75° C．∠B＝45°，AB＝6cm，∠C＝75° D．BC＝5.4cm，AB＝6cm，∠A＝60°【解答】解：A、三角形的两边及其夹角确定，所以能唯一画出△ABC；B、已知两个角及其公共边，所以能唯一画出△ABC；C、已知两个角及其中一角的对边，所以能唯一画出△ABC；D、两边及其中一边的对角相等的两个三角形不能判定全等，符合题意．故选：D．9．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，，则下列结论正确的是（）A．S1＝S2 B．S1＝2 C．S2＝0.5 D．S1﹣S2＝1【解答】解：设AD与BE相交于点O，连接OC，∵点D是边BC的中点，△ABC的面积是4，∴△BOD的面积＝△COD的面积，△ABD的面积＝△ACD的面积＝，∴S1＝△ABO的面积≠2；∵，∴△BEC的面积＝△ABC的面积＝1，∵△BOD的面积≠四边形ODCE的面积，∴S2＝四边形ODCE的面积≠△BEC的面积≠0.7；∵S1＝△ABO的面积＝△ABD的面积﹣△BOD的面积＝2﹣△BOD的面积，S5＝四边形ODCE的面积＝△BEC的面积﹣△BOD的面积＝1﹣△BOD的面积，∴S1≠S7；S1﹣S2＝5﹣△BOD的面积﹣（1﹣△BOD的面积）＝1；故A，B，C都不符合题意；故选：D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（）①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①在△ABC中，∠ABC＝60°，∴∠ACB+∠CAB＝120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠FCA＝，∠FAC＝，∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°；②当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，而AD平分∠BAC，故②错误；③如图，延长CE至G，连接BG，∵AB＝2AE，∴AE＝BE，∵∠AEC＝∠BEG，∴△ACE≌△BGE（SAS），∴∠ACE＝∠G，CE＝GE，∵CE为角平分线，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠G，∴BC＝BG，∵CE＝GE，∴BE⊥CE，故③正确；④如图，作∠AFC的平分线交AC于点G'，由①得∠AFC＝120°，∴∠AFG'＝∠CFG'＝60°，∴∠AFE＝60°，∴∠AFG'＝∠CFG'＝∠AFE＝60°，∵∠EAF＝∠G'AF，∠DCF＝∠G'CF，∴△AEF≌△AG'F（ASA），△CDF≌△CG'F（ASA），∴AE＝AG'，CD＝CG'，∴CD+AE＝CG'+AG'＝AC，故④正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若点A（a，4）与点B（3，b）关于y轴对称1．【解答】解：因为点A（a，4）与点B（3，所以a＝﹣4，b＝4，所以a+b＝﹣3+8＝1．故答案为：1．12．（3分）已知三角形的三边长分别是2、7、x，且x为奇数，则x＝7．【解答】解：∵三角形的三边长分别是2、7、x，∴8﹣2＜x＜7+6，∴5＜x＜9，∵x为奇数，∴x＝5．故答案为：7．13．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为720度．【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，∴它的边数为：360°÷60°＝6，∴它的内角和：180°×（6﹣3）＝720°，故答案为：720．14．（3分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，则△ODQ的面积是10．【解答】解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝，故答案为：10．15．（3分）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为35．【解答】解：设3m＝5，3n＝7，依题意（3，3）＝m，7）＝n，∴（3，7）+（3．∴（3，x）＝m+n，∴x＝7m+n＝3m×3n＝5×7＝35．故答案为：35．16．（3分）如图，∠AOB＝25°，点M，OB上的定点，点P，OA上的动点，记∠MPQ＝α，当MP+PQ+QN的值最小时，β﹣α的大小＝50（度）．【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，连接M′N′交OA于Q，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝25°+，∴180°﹣α＝50°+（180°﹣β），∴β﹣α＝50°，故答案为：50．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算：a4•3a2+（﹣2a2）3+5a6．【解答】解：原式＝3a6﹣6a6+5a7＝0．18．已知：AB＝AC，∠B＝∠C求证：AD＝AE．【解答】证明：在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB（ASA），∴AD＝AE．19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝．∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣∠B）＝，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故∠ADE为15°．20．如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，求△ABC的面积．【解答】解：延长AB，作CD⊥AB的延长线于点D，∵∠A＝∠C＝15°，AB＝5，∴BC＝AB＝5，∠DBC＝∠A+∠BCA＝30°，∴，∴△ABC的面积为：．21．如图，已知△ABC．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；（点A、B、C的对称点分别为A′、B′、C′）；（2）△A′B′C′的面积为3；（3）已知P为y轴上一点，若△A′CP的面积为4，则点P的坐标为（0，0）或P（0，﹣4）．【解答】解：（1）△A′B′C′为所求．如图所示，此时，A′（0，C′（4，B′（5；（2），故答案为：3；（3）设点P（0，m），∵C点横坐标为2，，∴，∴PA′＝2，∴|m+3|＝2，∴m＝0或m＝﹣4，∴P（0，0）或P（2．22．在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上【解答】解：如图，根据题意得：CD∥BE，∴∠1＝∠EBC＝40°，∴∠BCA＝∠1+∠ACD＝40°+20°＝60°，又∵∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，∴∠BCA＝∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝40×4.5＝20（海里），答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是20海里．23．如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G；（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．【解答】解：（1）线段BC的中垂线EG如图所示；（2）结论：∠BAC+∠BGC＝180°．理由：在AB上截取AD＝AC，连接DG．∵AM平分∠BAC，∴∠DAG＝∠CAG，在△DAG和△CAG中∵∴△DAG≌△CAG（SAS），∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，∵G在BC的垂直平分线上，∴BG＝CG，∴BG＝DG，∴∠ABG＝∠BDG，∵∠BDG+∠ADG＝180°，∴∠ABG+∠ACG＝180°，∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，∴∠BAC+∠BGC＝180°．24．△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），得到△A′BD．（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝30°；（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．①连接AP，试探究AP，BP，猜想并说明理由．②若BP＝8，CP＝t，连接CA′（用含t的式子表示）【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠CBD＝α（0°＜α＜30°），∴∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，∴∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣6α，∵α＝15°，∴∠CBA'＝60°﹣2×15°＝30°，故答案为：30°；（2）①AP，BP；证明：连接CP，在BP上取一点P′，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝AC，∵∠DAP＝∠DBC＝α，在△BP′C和△APC中，，∴△BP′C≌△APC（SAS），∴CP′＝CP，∠BCP′＝∠ACP，∴∠PCP′＝∠ACP+∠ACP′＝∠BCP′+∠ACP′＝∠ACB＝60°，∵CP'＝CP，∴△CPP′是等边三角形，∴∠CPB＝60°，PP′＝CP，∴BP＝BP′+PP′＝AP+CP，即BP＝AP+CP；②如图2.8，连接AC′，由①知，∠BPC＝60°，∴∠BCP＝180°﹣∠BPC﹣∠PBC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，由（1）知，∠CBA′＝60°﹣2α，由折叠的性质得：BA＝BA′，∵BA＝BC，∴BA′＝BC，∴，∴∠BCP+∠BCA′＝120°﹣α+60°+α＝180°，∴点A′、C、P在同一直线上，即PA'＝PC+CA'，由折叠可知，BA＝BA′，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，∴∠ADP＝∠A′DP，∵DP＝DP，∴△ADP≌△A′DP（SAS），∴A′P＝AP，由①知，BP＝AP+CP，∵BP＝8，CP＝t，∴AP＝BP﹣CP＝8﹣t，∴A′P＝AP＝4﹣t，∴CA′＝A′P﹣CP＝8﹣t﹣t＝8﹣7t．25．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a（