2024-2025学年广东省惠州市惠东县九年级（上）期中数学试卷(含详解)

2024-2025学年广东省惠州市惠东县九年级（上）期中数学试卷一、选择题.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）将抛物线y＝x2的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝x2+3 C．y＝﹣x2﹣3 D．y＝﹣x23．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3 B．﹣ C． D．﹣24．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝x2+2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小系为（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 5．（3分）如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）A． B． C．OE＝BE D．CE＝DE7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，则BE的长为（）A．5 B．4 C．2 8．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k9．（3分）在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有x人参加会议，则可列方程为（）A．x（x+1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C． D．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0二、填空题.（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）11．（3分）若关于x的方程x2﹣x﹣6＝0的其中一个根是x1＝﹣2，则另一个根x2＝．12．（3分）（跨学科与体育融合）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转度．13．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，则2m+n的值是14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，当时，y＜0．15．（3分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是．三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）16．（7分）解一元二次方程：x2+4x﹣1＝0．17．（7分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．（1）求二次函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，3）是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出△ABP的面积；如果不在，试说明理由．18．（7分）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30m的篱笆围成．如图，墙长为16m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x（1）若苗圃园的面积为108m2，求（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分.）19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣6，0），点C的坐标为（﹣1，0），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90度的△A2B2C2（3）请直接写出：以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的所有可能坐标．20．（9分）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点P表示筒车的一个盛水桶，如①图．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米（1）求该圆的半径．（2）若水面下降导致圆被水面截得的弦AB的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？21．（9分）综合与实践根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面【素材2】种植苗木时，每棵苗木高1.76m．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1【解决问题】（1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；（2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即y＞1.76），确定种植点的横坐标x的取值范围；（3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.）22．（13分）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．（1）探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：；（2）拓展延伸：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．（3）尝试应用：在（2）的条件下，若BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．23．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC面积的最大值．

2024-2025学年广东省惠州市惠东县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则A不符合题意；B既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意；D是轴对称图形，但不是中心对称图形，则D不符合题意；故选：B．2．【解答】解：将抛物线y＝x2的图象向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣3．故选：A．3．【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．故选：A．4．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x＝﹣1．∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝x2+2x+1的图象上两点，且﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故选：A．5．【解答】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∴水柱的最大高度是：4．故选：B．6．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，∴弧BD＝弧BC，弧AC＝弧AD，CE＝DE，∴选项A、B、D正确，不符合题意；OE和BE的大小关系不能证明，故选项C符合题意；故选：C．7．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝60°，BA＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝5，故选：A．8．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．9．【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）＝10，故选：D．10．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，故选：C．二、填空题.（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）11．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1x2＝﹣6，∵x1＝﹣2，∴x2＝3．故答案为：3．12．【解答】解：在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度．故答案为：脚跟，逆时针，90．13．【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，∴4+2m+n∴2m+n＝﹣故答案为：﹣4．14．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（0，0），（2，0），∴当0＜x＜2时，y＜0．故答案为：0＜x＜2．15．【解答】解：当y＝0时，0＝x2﹣2x，解得：x1＝0，x2＝2，∴OA＝2，∴OA9＝20，∴A8（18，0），A9（20，0），∴抛物线C10的解析式是y＝﹣（x﹣18）（x﹣20）＝x2+38x﹣360，故答案为：y＝x2+38x﹣360．三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）16．【解答】解：x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝5，（x+2）2＝5，，．17．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣4+4+3＝3，∴点P（﹣2，3）在该二次函数的图象上，∵A（﹣3，0），B（1，0），P（﹣2，3），∴△ABP的面积＝×（1+3）×3＝6．18．【解答】解：（1）根据题意得：x（30﹣2x）＝108，整理得：x2﹣15x+54＝0，解得：x1＝6，x2＝9，当x＝6时，30﹣2x＝30﹣2×6＝18＞16，不符合题意，舍去；当x＝9时，30﹣2x＝30﹣2×9＝12＜16，符合题意．答：x的值为6；（2）苗圃园的面积不能达到120m假设苗圃园的面积能达到120m根据题意得：x（30﹣2x）＝120，整理得：x2﹣15x+60＝0，∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0，∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到120m四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分.）19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1（2）如图，△A2B2C2（3）满足条件的点D如图所示，D1（﹣5，﹣3），D2（3，3），D3（﹣7，3）．20．【解答】解：（1）过点O作OC⊥AB于C，如图所示：依题意得：AB＝8米，CD＝2米，由垂径定理得：AC＝BC＝4米，设该圆的半径为R米，则OC＝（R﹣2）米，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5（米），答：该圆的半径是5米．（2）当AB＝6米时，由垂径定理得：AC＝BC＝3米，由（1）知：OA＝OD＝5米，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC＝＝＝4（米），∴CD＝OD﹣OD＝5﹣4＝1（米），答：水面下盛水桶的最大深度为1米．21．【解答】解：任务1：根据图中的坐标系以及题意可得，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（10，1），∵抛物线的顶点坐标为点A（0，5），∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+5，把点B（10，1）代入可得：100a+5＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的函数关系式为：y＝﹣x2+5；任务2：∵种植苗木时，每棵苗木高1.76m∴当﹣x2+5＝1.76时，解得：x1＝﹣9，x2＝9，∵苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，∴种植点的横坐标的取值范围为：﹣9＜x＜9；任务3：根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔1m∴在距离y轴0.5m的两则开始种植，最前排可种植：9×则最左边一棵苗木种植点的横坐标x＝﹣0.5﹣8＝﹣8.5．答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为﹣8.5．五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.）22．【解答】解：（1）探究发现：将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∠ADG＝∠B＝90°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，∠BAE+∠DAF＝60°，∴G、D、F三点共线，∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝60°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）拓展延伸：结论仍然成立，证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠ADG＝∠B＝90°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，∴G、D、F三点共线，∵∠BAD＝9