《机器人基础与数字孪生系统》 课件第3章 机器人运动学

第3章机器人运动学【3.1齐次变换】【3.1.1】位置描述——位置矢量●刚体位姿描述：齐次变换（矩阵）、矢量法、四元数●齐次变换法:▲将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来，具有明显的几何特征。▲在操作臂运动/动力学、机器人控制算法、计算机图学、视觉信息处理、手-眼建模标定都有广泛应用。●在坐标系｛A｝中，空间任意一点可表示为列矢量Ap直角坐标系【3.1齐次变换】【3.1.2】方位描述——旋转矩阵●坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的旋转矩阵

是正交矩阵，满足如下关系：●所以旋转矩阵中9个元素只有3个独立变量●还满足：上标T表示转置，det表示行列式符号【3.1齐次变换】【3.1.2】方位描述——旋转矩阵▲绕x轴旋转的旋转矩阵▲绕y轴旋转的旋转矩阵▲绕z轴旋转的旋转矩阵思考？这三个旋转矩阵的结构有什么关系，如果通过记住一个旋转矩阵而得到其它两个？如果绕某一个轴多次旋转，我们会看到什么结果？如果依次绕x、y、z轴旋转，旋转矩阵如何计算？旋转矩阵描述姿态【3.1齐次变换】【3.1.3】坐标系的描述●将刚体B与坐标系｛B｝固接，｛B｝的原点选择刚体质心，相对参考坐标系{A}，坐标系｛B｝的位姿：●思考？如果只表示位置时，坐标系{B}是什么形式？

答：（单位矩阵），如果只表示方位时，坐标系{B}是什么形式？

答：（单位矩阵），【3.1齐次变换】【3.1.4】坐标变换●平移变换方程—｛A，B｝方位相同●平移变换方程—｛A，B｝方位相同●正交矩阵：【3.1齐次变换】【3.1.4】坐标变换●一般变换方程—｛A，B｝方位和原点均不相同●过渡矩阵—公式(3.13)●再由(3.10)得到复合变换【3.1齐次变换】【3.1.4】齐次坐标和齐次变换●笛卡尔坐标—齐次坐标●齐次变换矩阵是4×4的方阵，具有如下形式：●齐次变换：矩阵形式齐次坐标齐次坐标旋转矩阵平移矢量【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.1】关节与连杆●自由度：物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目称为自由度●关节与连杆：工业机器人由若干运动副和杆件连接而成，这些杆件称为连杆，连接相邻两个连杆的运动副称为关节。●关节轴线：对于旋转关节，其转动轴的中心线作为关节轴线。对于平移关节，取移动方向的中心线作为关节轴线。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.1】关节与连杆●连杆参数：物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目称为自由度。▲连杆长度：关节轴线i-1指向关节轴i的公法线长度（恒为正）▲连杆扭转角：从轴线i-1绕公垂线转至轴线i的夹角（可正可负）▲连杆偏移量：两条公法线的距离（带正负号）▲关节角：两条公法线之间的夹角（带正负号）

。

【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.2】连杆坐标系●方法一：对于相邻两个连杆Ci和Ci+1，有3个关节，其关节轴线分别为Ji-1、Ji和Ji+1。在建立连杆坐标系时，首先选定坐标系的原点Oi，然后选择Zi轴和Xi轴，最后根据右手定则确定Yi轴。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.2】连杆坐标系●方法二：对于相邻两个连杆Ci和Ci+1，有3个关节，其关节轴线分别为Ji-1、Ji和Ji+1。与建立连杆坐标系的方法一类似，在建立连杆坐标系时，首先选定坐标系的原点Oi，然后选择Zi轴和Xi轴，最后根据右手定则确定Yi轴。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵●方法一：对于3.2.2节方法一中建立的连杆坐标系，Ci-1连杆的坐标系经过两次旋转和两次平移可以变换到Ci连杆的坐标系。▲第一次：以

轴为转轴，旋转角度，使新的与轴同向。▲第二次：沿轴平移，使新的

移动到关节轴线与的公垂线与的交点。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵▲第三次：沿轴平移，使新的

▲第四次：以轴为转轴，旋转角度，使新的与轴同向。移动到。总变换矩阵【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵●方法二：对于3.2.2节方法二中建立的连杆坐标系，Ci-1连杆的坐标系经过两次旋转和两次平移可以变换到Ci连杆的坐标系。▲第一次：沿

轴平移，将移动到▲第二次：以轴为转轴，旋转角度，使新的轴与同向。【3.2DH约定和MDH约定】【3.2.3】连杆变换矩阵▲第三次：沿轴平移，使移动到▲第四次：以轴为转轴，旋转角度，使新的与轴同向。总变换矩阵【3.3正向运动学递归】●关节矢量（关节坐标）：可以描述n个自由度的工业机器人所有连杆的位置和姿态的一组关节变量●关节空间：由关节矢量描述的空间关节坐标末端位姿正向运动学映射若各个连杆的D-H矩阵分别为

，则机器人末端的位置和姿态为：【3.3正向运动学递归】●下面以PUMA560机器人为例，说明正向运动学研究过程。【3.3正向运动学递归】●下面以PUMA560机器人为例，说明正向运动学研究过程。▲计算各连杆变换矩阵【3.3正向运动学递归】●下面以PUMA560机器人为例，说明正向运动学研究过程。▲PUMA560“手臂变换矩阵”▲运动学方程的求解顺序【3.4逆向运动学递归】●虽然对于机器人的任何一组关节坐标，都具有确定的机器人末端的位姿与之对应，但对于不同的两组关节坐标，可能对应相同的末端位姿关节空间末端笛卡尔空间单射复射关节位置与末端位姿

关节空间与末端笛卡儿空间映射关系●机器人的逆向运动学，用于机器人的末端在笛卡儿空间的位姿控制。由于机器人的末端笛卡儿空间到关节空间的映射是复射，所以根据机器人的末端位姿求解得到的关节坐标有多组解，即逆向运动学有多解。【3.4逆向运动学递归】●下面以PUMA机器人为例，说明逆向运动学研究过程。【3.4逆向运动学递归】●下面以PUMA机器人为例，说明逆向运动学研究过程。所谓逆向运动学求解，就是针对下式给定的末端位姿，求解机器人个关节的关节角

【3.4逆向运动学递归】●下面以PUMA机器人为例，说明逆向运动学研究过程。

PUMA机器人的逆向运动学共有8组解，其解如下图所示。由于机械约束，这8组解中部分解处于机器人的不可达空间。在实际应用中，根据机器人的实际可达空间以及机器人当前的运动情况，确定所需要的逆向运动学的解。【3.5路径规划】●机器人的运动规划着重研究如何控制机器人的运动轨迹，使机器人沿规定的路径运动。●工业机器人的运动，根据其运动轨迹可以分为点到点运动和路径跟踪运动。点到点运动只关心特定的位置点，而路径跟踪运动则关心整个运动路径。点到点运动路径示意图轨迹跟踪运动路径示意图【3.5路径规划】【3.5.1】关节空间●关节空间运动规划

关节运动规划的内容，主要包括关节运动轨迹的选择和关节运动位置的插值。所谓关节位置的插值，是指对于给定关节空间的起始位置和目标位置，通过插值计算中间时刻的关节位置。如果机器人按照轨迹1和轨迹2运动，则机器人运动过程中会有波动，这是不希望发生的。如果机器人按照轨迹3运动，则机器人能够平稳地由初始位置运动到目标位置。因此，通常选择类似轨迹3的轨迹，经过插值后控制机器人的运动。【3.5路径规划】【3.5.1】关节空间●3次多项式插值边界条件：关节位置：关节速度：求导代入求解期望关节位置：期望关节速度：【3.5路径规划】【3.5.1】关节空间●过路径点的3次多项式插值边界条件：关节位置：关节速度：求导代入求解期望关节位置：期望关节速度：【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间●机器人笛卡儿空间的路径规划，就是计算机器人在给定路径上各点处的位置与姿态。●位置规划用于求取机器人在给定路径上各点处的位置。下面分别介绍直线运动和圆弧运动的位置规划。直线运动对于直线运动，假设起点位置为，目标位置为。则第i步的位置可以表示为假设从起点位置到目标位置的直线运动规划为n步，则步长为【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间2.圆弧运动假设圆弧由、和点构成,其位置记为

平面的方程为【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间

平面的方程为

平面的方程为【3.5路径规划】【3.5.2】笛卡尔空间