高考数学一轮复习：函数【导学案】

第二章I函数

第一节函数的概念及其表示

课程标准

1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示

函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

基础扎牢基础不牢•地动山摇

［由教材回扣基础］

1.函数的基本概念

一般地，设4,3是非空的数集，如果对于集合4中的任意一个数x,按照

概念某种确定的对应关系/,在集合5中都有唯二确定的数y和它对应，那么就

称/：Af5为从集合A到集合3的一个函数

对应关系y=f(x),x^A,x为自变量

三要素定义域工的取值范围

值域与x的值相对应的j的值的集合{f(x)|xGA}

表示函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法.同一个函数可

方法以用不同的方法表示.

2.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函

数通常叫做分段函数.

3.分段函数的相关结论

(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

澄清微点•熟记结论

(1)垂直于x轴的直线与函数的图象至多有1个交点，即在定义域内垂直于x轴的直线与

图象只有1个交点.

⑵解决函数问题时要树立定义域优先的思想.

(3)求函数的定义域时常用的结论

①分式中，分母不为0;

②偶次方根中，被开方数非负；

③对于y=x。，要求xWO,负指数的底数不为0;

④对数函数中，真数大于0,底数大于0且不等于1;

⑤指数函数的底数大于0且不等于1;

7T

⑥对于正切函数)=1211”,要求XWATT+K，kGZ.

(4)复合函数：一般地，对于两个函数y=/(")和〃=g(x),如果通过变量"，y可以表示

成x的函数，那么称这个函数为函数和"=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x)),其中y

=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数，u=g(x)叫做y=_/(g(x))的内层函数.

[练小题巩固基础]

一、准确理解概念(判断正误)

(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.()

(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()

(3)在函数的定义中，集合3是函数的值域.()

答案：(1)X(2)X(3)X

二、练牢教材小题

1.(人教A版必修①P24T2改编)下面函数中，与函数y=x+l是相等函数的是()

A.y=，(x+l)2B.J=A/P+1

x2

C.j=~+lD.y—y[xi+l

答案：B

2.(新人教A版必修①P72T6改编)已知二次函数/U)满足｛0)=0,犬1)=1,八2)=6,

则兀r)=•

答案：2x2—x

3.(人教A版必修①P17例1改编涵数｛+亚二^的定义域是.

答案：(一4,4]

r|x|,X<—1,

4.(人教B版必修①P44Tl改编)已知函数/(x)=v亚=P,一iWxWL则式3)+八一3»

x>l,

(3)的值为.

答案：1+2小

三、练清易错易混

(x+1)2,X<1,

1.(忽视自变量范围)设函数1A%)=，/——则使得大x)21的自变量X的取

4rL1,Qi,

值范围为.

解析：当xvl时，/(x)21=(x+l)22102或x20,所以x/一2或OWxvl.当

时，/(幻》104一[%—1，1,即Jx—123,所以iWxWlO.综上所述，2或OWxWlO,

即X£(-8,-2]U[0,10].

答案:(一8,-2]U[0,10]

2.(忽视新元范围)已知八5)="一1,则犬x)=.

解析：令t=y[jc,则，20,x=t2,所以#£)=F—1«20),即八工)=%2—1(%20).

答案：X2—1(x^0)

考法研透—方向不对，努力白费

命题视角一函数的定义域(自主练通)

1.函数/U)=ln(4x—x2)+S的定义域为()

A.(0,4)B.[0,2)U(2,4]

C.(0,2)U(2,4)D.(一8,0)U(4,+8)

4x—/>0,

解析：选C要使函数有意义，贝加'解得0VxV4且xW2.

｝一2W0,

2.函数y="谓寓。的定义域为()

A.(-1,3]B.(-l,0)U(0,3]

C.[-1,3]D.[-1,0)U(0,3]

f—x2+2x+3^0,

解析：选B要使函数有意义，X需满足卜+1>0,解得一IvxvO或0aW3,

L+iwi,

所以函数的定义域为(一l,0)U(0,3].故选B.

3.已知函数/(x)的定义域是[0,2],则函数8(*)=_/9+3+{—3)的定义域是()

B2

A.2»1(?]

ri3]

r2

T&w|,

13

解析：选c由题意得q.•・不京“43・故选C.

〔亦工v吟45,

乙

4.已知函数丫=履2不获x+3的定义域为R，则实数左的取值范围是

1伍>0,

解析：当左=0时,7=5,满足条件；当#W0时，由《,得0«<3.综上，0Wk3.

3［4«2—12左<0,

答案：［0,3)

［一“点”就过］

1.根据具体的函数解析式求定义域的策略

已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据

函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.

2.求抽象函数的定义域的策略

(1)若已知函数式x)的定义域为［a,b］,则复合函数｛g(x))的定义域由不等式aWg(x)WZ>

求出；

(2)若已知函数｛g(x))的定义域为［a,b］,则｛x)的定义域为g(x)在切上的值域.

命题视角二求函数解析式

［典例］(1)已知大X)是二次函数，且式0)=0,/(x+l)=/U)+x+l,求｛x)的解析式.

(2)已知/停+l)=lgx,求/(x)的解析式.

(3)已知函数_/U)满足八一x)+劫M=23求人x)的解析式.

［解］(1)(待定系数法)设於)=ax2+/)x+c(aW0),由胆)=0,知c=0,於尸",+取，

222

又由f(x+l)=f(x)+x+l9得a(x+l)+b(x+l)=ax+bx+x+l,即ax+(2a+b)x+a+b

2a+力=8+1,111

2

=ax+(b+l)x+l9所以J,解得。=)=不•所以｛")=神2+不xER.

a+b=l9///

222

(2)(换元法)令(+1=力<x=~t—i9代入得大。=坨二P又40,所以Q1,故的解

2

析式是大⑹=坨丁石，xG(l,+8).

(3)(解方程组法)由/(一x)+纨x)=2，，①

得兀r)+纨一幻=2一"②

2工+1—2~x2工+1—2~x

①X2—②，得3/U)=2/i—2r.即/U)=--.故人x)的解析式是八x)=^~-----，x

GR.

［方法技巧］求函数解析式的常用方法

待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式

如果给定复合函数的解析式，求外层函数的解析式，通常用换元法将内

换元法

层函数先换元，然后求出外层函数的解析式

配凑法将他⑺)右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出/U)的解析式

如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方

解方程组法

程组求出函数解析式

[针对训练]

1.(换元法)已知大,+1)=X+25，求/W的解析式.

解：法一：设，=5+1(，21),贝■=«—1产，

2222

：.f(t)=(t-l)+2(t~l)=t-2t+l+2t-2=t-lf：.f(x)=x-l(x^l).

法二：Vx+2^/x=(-^/x)2+2^/x+l—l=(^/x+l)2—1,^,f(y[x+1)=(y[x+1)2—1,

=X2—1(x^1).

2.(配凑法)已知二次函数式2%+1)=标2—6%+5,求/⑴的解析式.

解：因为犬2了+1)=4/—6x+5=(2x+l)2—5(2x+l)+9,所以八工)=炉一5工+9(工£1?).

3.(解方程组法)已知/(x)满足2{x)+O=3x,求八x)的解析式.

与(x)+《)=3x,

解：把原式中的X换成;，得2娟+/(x)=*联立|

区)+於)=*

解得f(x)=2x-0).

命题视角三分段函数

考法(一)求分段函数值

COS7TX,居)十/(甘)的值为()

［例1］已知加)="，、/则J

B.—[

A.］

D.1

［解析1/(4-)=/(-i)-卜1=.心)+1=

oo

COS年+1=5，/'(—y)=cos(—•\_2兀_1

)-cosy-万，

［答案］D

考法(二)已知分段函数值，求自变量

［例2］设函数/(x)=_2、:'若/(/5))=2,则〃=________.

x,%>0・

［解析］若。>0,则/(")=—”2<0,.•.4/1))=°4—2层+2,由/1))=2,得2°2+2

=2,解得。=也(0和负解舍去).若aWO,则{”)=层+20+2=(4+1)2+1>0,：.f(f(a))=

一(a2+2a+2)2V0W2.综上，a=小.

［答案］.

考法(三)与分段函数有关的不等式问题

2~xx<0

［例3］(2018•全国I卷)设函数/>)=,'、'则满足於+1)勺3)的x的取值范

1,x>0,

围是()

A.(一8,-1］B.(0,+°°)

C.(-1,0)D.(一8,0)

x+l<0,

［解析］①当〜"即xWT时，於+1)勺⑵:)，即为2-(”1)<2f,即一(x+i)<

.2xW0,

fx+1^0,

-lx,解得X<1.因此不等式的解集为(-8,-1］,②当时，不等式组无解.③

［2x>0

x+l>0,_

当1/即一1<XW0时，/U+1)勺(2x),即为1<2，，解得x<0.因此不等式的解集为(一

2x^0,

x+l>0,

1,0).④当即x>0时，Ax+1)=1,{2x)=1,不合题意.

2x>0,1

综上，不等式yu+l)勺(2x)的解集为(一8,0),

［答案］D

考法(四)与分段函数有关的值域'最值问题

(1—2d)x+3a(x<1),

［例4］已知函数/(%)=的值域为R,则实数a的取值范围是()

Inx(x^l)

r1n

A.(—oo,—l)B.—91

C.-1.y)D,(O.y)

1—2a>0,i

［解析］由题意得八j解得一lWa<5,故选C.

［(1—2a)+3a20.2

［答案］C

［方法技巧］分段函数应用的常见题型及解题策略

求函数值或解

由自变量所属区间，选定相应的解析式求解

不等式

求函数值域分别求每一段的值域，再取并集

求函数最值分别求每一段的最值，然后比较大小，从而求得最值

求参数的值（或

分段处理，分类讨论，综合作答

参数范围）

［针对训练］

2—%+1,xVO,

1.(2022•大同高三开学考试)已知函数兀r)=|''则八2021)=()

|/(x—2),

A.2B.1

C.1D.3

解析：选D当x20时，f(x)=f(x-2),所以x20时，/U)周期为2,所以人2021)=1Al

011X2-l)=/(-l),因为xVO时，/(尤)=2-*+1,所以式2021)=八-1)=2-01)+1=3.

lx—a,x<l,

2.(2021•肇■庆二桃)设函数{》)=、若八"4〃，贝!|a=________.

2X,x^l,

解析：VI<1,.♦./了)=2*1—a=；一”.当；一“<1,即。>一；时，

)(/(4))/(2"=2X(2—〃=i—3〃=4,解得a=-l,与〃>一；矛盾，舍

去；当t—a'l,即aW—；时，/(/(+))=/(彳—j=2?“=4,则;_.=2,即a=_|,

13

满足一不•所以a=一刀.

答案：V

%一］xW2

3.(2022•四川珍断性测试)已知函数1/U)={'、’则勉5))=________,不

,log2(X—1),x>2,

等式/U+2)+/(x)>_A2)的解集为.

解析：..7(5)=10824=2,.•.*(5))=/(2)=1....{X+2)+/^)>式2)=1,

x+2W2,x>2,

则

x+2-l+x-l>lJOg2(X+1)+lOg2(X—1)>1

x+2>2,

或，xW2,解得x>2或1VXW2,则原不等式的解集为{x|x>l}.

Jog2(X+l)+x_1>1,

答案：1{X|X>1}

♦思维激活灵活不足•难得高分

数学建模.练抽象思维—函数模型的建构与应用

1.(参悟数学文化)中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以

这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量

随着另一个量的变化而变化.下列选项中，两个函数相同的一组是()

A.1Ax)="P与g(x)=|x|

B./(x)=21g尤与g(x)=lgx2

C.八工)=22*与g(f)=4，

工2—1

D.7(x)=x-1与g(x)=£pj

解析：选C对于A,f(x)=y[xi=x,定义域为R,g(x)=|x|,定义域为R,但两个函数

的对应关系不同，不是相同函数；对于B,/U)=21gA：,定义域为(0,+°°),g(x)=lgx2,定

义域为(-8,0)U(0,+°°),两个函数的定义域不同，不是相同函数；对于C,以上)=22*=

41,定义域为R,g(f)=",定义域为R,两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同

-1

函数；对于D,f(x)=x—l,定义域为R,g(x)=x+]=*—1,定义域为(一8,—1)U(—1,

+°°),两个函数的定义域不同，不是相同函数.故选C.

2.(衔接高等数学)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”

的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xGR,用田表示不超过x的最大整数，则j

2*+3_

=2称为高斯函数.例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数人幻=百有，则函数y=[/(x)]

的值域为()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}

C.(1,2,3}D.{1,2}

2叶32X+1+2?1

解析：选D於)=^[=-2叶]=1+FR，,•'2X>0,/.1+2->1,.-.0<^pj-<l,则

22

0<^+7<2,.，.1<1+^H-<3,即1JX)<3.当1<八©<2时，成诩=1;当2<八©<3时，双创

=2.综上，函数y=[/(x)]的值域为{1,2}.故选D.

3.（走向生产生活）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距T

离是2km,从尸点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人2前"一

驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度为5km/h,时间，（单比’

位:h）表示他从小岛到城镇的时间,x（单位:km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设

u=^x2+4+x,v=ylx2+4—x,则下列说法正确的是（）

A.函数。=/（〃）为增函数

B.15，—40=32

C.当x=L5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少

D.当x=4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h

222

解析：选CVw=^/x+4+x,v=yJx+4—x9.\y/x+4=-^—,x=2，uv=49易

知。=：在（O,+8）上是减函数，A错误；Q率+噂=中+呈一号，整理

W1J0U0_1-U

得15f="+4o+36,B错误；由A、B得15f=〃+以+36221/"・也+36=44,当且仅

当〃=4，即〃=4时取等号，由，丫2+4+*=4,解得X=L5,C正确；x=4时，

8.2^/57^500-^441

十二，t—3=^—^=----运---->0,t>3,D错沃.

4.（创新学科情境）有以下三个条件：①定义域不是R；②值域为R；③奇函数.写出一

个同时满足以上三个条件的函数：f（x）=.

x+1,x<0,

解析：同时满足题中三个条件的函数为y=tanx或等.

X—1,x>0

x+1,x<0,

答案一（答案不唯一）

x—1,x>0

5.（创新学科情境）定义新运算“★”：当机，胃时，机★〃=机；当机V”时，机★〃=〃2.

设函数式x）=（2*x）x—（4★x）,xe[l,4],则函数式幻的值域为.

2x—43£[12]

解析：由题意知，人x)=3J=八'当XG[1,2]时，y(x)G[—2,0];当xG(2,4]

[x3—4,x£(2,4],

时，/(x)e(4,60],故当x£[l,4]时,/(x)G[-2,0]U(4,60].

答案：[-2,0]U(4,60]

[课时跟踪检测]

1.下列函数中，与y=x相同的函数是（）

A.y=ylxiB.j=lg10x

c.D.y=(ylx—l)2+l

解析：选B选项A,y=dP=|x|与y=x的对应关系和值域不同，不是相同函数；选项

B,j=lg10x=x,是相同函数；选项C,7=q_=”(工#0)与y=x的定义域不同；选项D,函

数的定义域不同，不是相同函数.故选B.

e*i,1,

2,若函数/(x)=[''则/(/(2))=()

5x,x>l,

A.1B.4

C.0D.5-e2

解析：选A由题意知，f(2)=5—4=l,f(l)=e0=l,所以心2))=1.

3.函数y=普忠的定义域为()

A.(—8,1]

B.[-1,1]

c(-L4MTi)

D[T，_{)O_

2—1<X<1,

l-x>0,即《1

解析：选c要使函数有意义,所以函数y

2x2—3x—2WO,x#2且xW-不,

Ig(lT)

的定义域为

2xx—3x-2

4.(2022•重庆六校模拟)已知函数｛x+1)的定义域为(-2,0),则大2x—1)的定义域为()

A.(-1,0)B.(-2,0)

C.(0,1)D.(一；,0)

解析：选C•.•函数1Ax+1)的定义域为(一2,0),即一2Vxe0,.-.-Kx+Kl,则八x)的

定义域为(-1,1).由一1<2》一1<1,得0<x<l,.\A2x—l)的定义域为(0,1).故选C.

X2~lf

5.设函数/(x)=,八，若/(桃)=3,则实数帆的值为()

.log2X，0vxv2,

A.-2B.8

C.1D.2

解析：选D当相，2时，由m2—1=3,得加2=4,解得m=2;当0<m<2时，由log2m

=3,解得m=23=8(舍去).综上所述，m=2,故选D.

6.若函数大好满足f(3x+2)=%+8,则八X)的解析式是()

A.f(x)=9x+8

B.f(x)=3x+2

C.f(x)=-3x—4

D.1Ax)=3x+2或八x)=-3x-4

f—2t—2

解析：选B令f=3x+2,贝4x=丁，所以/(f)=9X亍+8=3f+2.所以/>)=3尤+2,

故选B.

V

7.函数式期=在2xe(-oo,0)U(0,+8),则下列等式成立的是()

B--%)=/(3

A.f(x)=f

C嵩=/®

D.f(~x)=-f(x)

解析：选D根据题意得兀》:)=讦9，所以/於)J(3

：点；/(_》)=]+(1x)2=_^=_/(幻，一/a)司'©).

log2(x+l),"21,

8.已知函数/(x)=",则满足/(2x+l)</(3x-2)的实数x的取值范围是()

.1,xvl,

A.(一8,0]B.(3,+00)

C.[1,3)D.(0,1)

解析：选B由题知，当x<l时，八幻=1,当时，函数八x)在[1,+8)上单调递

2x+l<3x_2,

增，且m)=log22=L要使得｛2x+l)勺(3x-2),则,一解得X>3.

3x—2>1,

9.已知函数ZU),g(x)分别由表给出，则g(/l3))=.

X123

f(x)213

g(x)321

答案：1

当0WxW2时，f(x)=—^x,

x+1,-lWx<0,

所以y(x)={i

一牙,00W2.

x+1,—lWx<0,

答案：於)={1

-2X,0WxW2

11.已知函数f(x)满足/(2-?+2/(2+f)=3x,则八-2)=.

X2-9+2X2+9=3X>

解析:由题意可得1

X2+9+2X24)=-3^

令2+：=—2可得：x=-I，

则/(_2)=3X(_£)=_*

答案：一：

12.若函数/(x)=lg(">一心+()的定义域为比则实数★的取值范围是.

解析：函数八x)=lg(3Tl/)的定义域为R,所以关于x的不等式2M一履+5

>0恒成立.当左=0时，不等式为d>0恒成立；当RW0时，左V0显然不成立；当k>0时，

O

3

应同时满足/=好一4X2AXdV0,解得0VAV3.综上，实数女的取值范围是[0,3).

O

答案：[0,3)

\2x+a—l<x<0,

13.设/(x)是定义在R上的函数，且/(x+2)=&/(x),/(*)=[8fc-「其中a,

.be",OWxWl,

6为正实数，e为自然对数的底数，若/(3)=/(!■),贝哈的取值范围为.

解析：因为/(x+2)=也/(X),所以/(1)=/(4+'1)=(历二/(J)=2加J(R=

2X2Xa

/(-1+)=M-7)=^[(-1)+]='/2(a-l)(因为/(£)=/信),所以也

(a—l)=2eb,所以”=也助+1,因为b为正实数，所以彳=二^^=<^+：£(]ie,+°°),

故，的取值范围为h/ie,+°°).

答案：(、/5e,+°°)

ax-\-b,x<0,

14.设函数/>)=

2Sx20,

且八-2)=3,八一1)=八1).

⑴求/(x)的解析式；

⑵画出人口的图象.

A-2)=3,

解：⑴由<

八-1)=©,

—2。+)=3,

得.

—a+b=2f

-x+1,x<0,

解得所以｛x)=

2X,Q0.

(2)成工)的图象如图所示.

第二节函数的性质

课程标准

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用

和实际意义.

2.了解函数奇偶性的概念和几何意义.

3.了解函数周期性的概念和几何意义.

第1课时系统知识牢基础——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

知识点一函数的单调性

［由教材回扣基础］

1.增函数与减函数

2.单调区间的定义

若函数y=/(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=/(x)在这一区间上具有(严格

的)单调性，区间。叫做函数y=/(x)的单调区间.

提醒：(1)函数单调性定义中的XI,X2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数

Xl,X2^D","任意"两字决不能丢；二是有大小，即或X1>X2)；三是同属一个单调

区间.三者缺一不可.

(2)若函数在区间。上单调递增(或递减)，则对。内任意的两个不等自变量X1,必的值,

都收Z3>0型口应<0)

Xi-X2IXJ—X2)

(3)函数式x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个

定义域上有此性质.

3.谨记常用结论

⑴函数/(X)与/(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.

(2)«>0时，函数兀r)与协力单调性相同；左<0时，函数兀r)与切;x)单调性相反.

(3)若/(外恒为正值或恒为负值，则/(©与心具有相反的单调性.

(4)若/(x),g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，式x)・g(x)是增(减)函数；当两者

都恒小于零时，山)艺(上)是减(增)函数.

(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减.

(6)复合函数y=/(g(x))的单调性判断方法：“同增异减”.

［练小题巩固基础］

1.判断正误

(1)若定义在R上的函数八x),有八一1)〈人3),则函数1A©在R上为增函数.()

(2)函数y=/U)在［1,+8)上是增函数，则函数/(x)的递增区间是口，+8).()

(3)函数的递减区间是(一8,o)u(O,+°°).()

答案：⑴X(2)X⑶X

2.(人数B版必修①P45例2改编)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递减的是()

A.产;—xB.y=x2-x

C.产x+/D.y=ex

答案：A

3.(人教A版必修①P39T1改编)函数八x)=/—2x的单调递增区间是.

答案：口，+8)

4.(新人教B版必修①P103Tl改编涵数y=兀r)是定义在［-2,2］上的减函数，且八。+1)

<f(2a),则实数。的取值范围是.

2Wa+lW2,

解析：由条件知，一242aW2,解得一l^aVL

_a+l>2a,

答案：［-1,1)

5.(易忽略两个区间不能用“或”连接)设定义在［—1,7］上的函数)=/)的图象如图所

示，则函数y=/(x)的增区间为.

'67%

答案：［5,7］

6.(忽略单调区间与定义域的关系)函数八x)=lg(9—4的定义域为；其单调递

增区间为.

解析：对于函数/(x)=lg(9-x2),令/=9-x2>0,解得一3VxV3,可得函数的定义域

为(一3,3).令g(x)=9一始，则函数八*)=坨&(*)),又函数g(x)在定义域内的增区间为(一3,0］,

所以函数人幻=坨(9一好)在定义域内的单调递增区间为(一3,0］.

答案：(一3,3)(—3,0］

知识点二函数的最值

［由教材回扣基础］

1.函数的最值

前提设函数/(x)的定义域为1,如果存在实数M满足

对于任意xG/,都有f(x)WM；对于任意xd/,都有

条件

存在xOe/,使得，xo)=M存在xOG/,使得危脸=M

结论M为最大值M为最小值

2.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在

端点处取到.

⑵开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

澄清微点•熟记结论

(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；

(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；

(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方

法.注意以下关系：

恒成立旬1(x)min》a；1AX)Wa恒成立校/(x)maxWa.解题时，要务必注意"="的取

舍.

［练小题巩固基础］

1.判断正误

(1)所有的单调函数都有最值.()

(2)若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.()

(3)函数在开区间内无最值.()

(4)分段函数的最值不止一个.()

答案：(1)X(2)V(3)X(4)X

2

2.(人教A版必修①P31例4改编)函数7=言•在区间［2,3］上的最大值是.

答案：2

3.(人教B版必修①P63T5改编)如果函数加:)=/+2%—3,x£［0,2］,那么函数八x)的

值域为.

答案：［-3,5］

4.若函数/(x)=—2+伙”>0)在［3，2上的值域为2,则a=,b=.

=1,f(x)max=f(2)=2.

答案：1|

-1

5.(易忽视*2的范围导致值域变大)函数y=9五的值域为

*2—1工2—]—2—2—2

解析：由尸示百=.+]=1+再不令，=必+1,贝"f2l,/.—£[—2,0),：.y

=l+_^_e［—1,1),，所求函数的值域为［—1,1).

答案：［-1,1)

知识点三函数的奇偶性

［由教材回扣基础］

1.函数奇偶性的定义及图象特征

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有以二

奇函数关于原点对称

x)=~f(x),那么函数_/U)就叫做奇函数

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/•(一

偶函数关于V轴对称

x)=f(x),那么函数式X)就叫做偶函数

2.函数奇偶性的几个重要结论

(1)如果一个奇函数/(x)在原点处有定义，即/(0)有意义，那么一定有『(0)=0.

(2)如果函数/(x)是偶函数，那么/(x)=/(|x|).

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即｛x)=0,x^D,其中定义域。是关

于原点对称的非空数集.

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反

的单调性.

3.有关对称性的结论

(1)若函数y=_/U+a)为偶函数，则函数y=_/U)的图象关于直线x=a对称.

若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=t/U)的图象关于点3,0)对称.

(2)若/(x)=/(2a—x),则函数/(x)的图象关于直线x=a对称；若/(x)+/(2a—x)=2Z>,则

函数/U)的图象关于点3，份对称.

(3)若函数/(x)满足/(a+x)=/S-%),则y=/(x)的图象关于直线x=—］一对称.

［练小题巩固基础］

1.在函数y=xcosx,j=ex+x2,j=lg\/x2—2,y=xsinx中，偶函数的个数是()

A.1B.2C.3D.4

解析：选By=xcosx是奇函数，丁=1队/*2—2和口=心［11。是偶函数,y=e"+x2是非奇

非偶函数，所以偶函数的个数是2・

2.(不会构造奇、偶函数)已知函数f(x)=ex—©—*+“