高考数学复习天天练16-30

“16道小题保分练+1道大题增分练”天天练(十六)

小题限时保分练一选自2022•衡阳二模卷(限时45分钟)

一'单项选择题

1.设集合4={x|lgx<l},3={x|xW2},则NU3=()

A.{x|(Kr《2}B.{x|*W2}

C.{x|x<10}D.R

解析：选Clgx<l<=>lgx<lg10<=>0<¥<10,即N={x[0<r<10},所以NU5={x|x<10}.

2.已知复数z=2(l—i)i,贝!Jz的虚部为()

A.-2iB.-2C.2D.2i

解析：选Bz=2(l-i)i=2i-2i2=2+2i,所以%=2~2i,所以2的虚部为一2.

3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个

原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分

相比，不变的数字特征是()

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

解析：选A设9位评委评分按从小到大排列为X1WX2WX3WX4W…/X8WX9.则①原始

中位数为X5,去掉最低分X1,最高分X9后，剩余X2WX3WX4W…WX8,中位数仍为X5,.*.A

正确；②原始平均数X=-(Xl+x2+x3+x4+,,-+xs+x9),后来平均数*'=1(乂2+修+工4

97

+…+招)，平均数受极端值影响较大，...X与X'不一定相同，B不正确；③s2=j(Xi—X)2

+(X2—X尸+…+(X9—X)2],s'2=-[(X2—X')2+(X3—X'>+…+(X8—X')2],由②

7

易知，C不正确；④原极差=X9—Xl,后来极差=X8—X2可能相等可能变小，D不正确.

4.设股，〃是空间中两条不同的直线，«,/?是两个不同的平面，则下列说法正确的是

()

A.若m_La,mVn,则3_1夕

B.若mUa,nU0,a//p,则相〃〃

C.若股〃“，n//p,aA_p,则胆_L〃

D.若mUa,nUj},m//n//a,贝！

解析：选A对于A,设直线股，〃的方向向量分别为u,v,因为n》,则平

面a的一个法向量为u,平面少的一个法向量为v,因为胆_1_〃，则u_Lv,故a_L//,A正确；

对于B,若/wUa,nU°,a//fi,贝寸帆，〃平行或异面，B错误；对于C,若胆〃a,n//fi,

a^-p,贝/w,〃的位置关系不确定，C错误；对于D,若mUa,nU/J,m//p9n//a9则a,

A平行或相交，D错误.

5.某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后活动供学生自愿选择参加，甲、乙、

丙、丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学

所报项目各不相同的概率等于()

.10302n8

A.——B.——C.-D.一

183299

解析：选C设4=甲同学报的项目其他同学不报，5=4位同学所报项目各不相同，由

题得"(N)=4X3X3X3,〃(N3)=4X3X2X1,所以p(3⑶=爱@色初二马

n(A)4X3X3X39

6.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现

了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为，"=2sinl8。，若〃於+〃=%则一核一=

2cos227°

()

A.8B.4C.2D.1

解析：选C因为/w=2sin18°,m*2+n=4,所以〃=4一加=4-4sin2180=4cos?180.所

nr4n2sin18°A/4COS218°4sinl80cosl8°2sin36°2sin36°.

以---------------=----------------------=-----------------=---------=---------=2.

2cos227。-12cos227。一12cos2270-lcos54°sin36°

7.设a,b,c分别是△4BC的内角A,B,C的对边，已知(6+^3c)sin(^l+Q=(«+c)(sin

4-sin。，设0是3C边的中点，且△NBC的面积为1,则二声•(石：+/)=()

A.2B.2#C.-2#D.-2

解析：选B,.,S+3c)sin(N+O=(a+c)(sin/-sinO,二由正弦定理可得(Z>+#c)b

=(a+c)(a—c),整理可得力2+。2—“2=一3加，.•.由余弦定理可得cosN=一止，.,.由NG(0,

2

n),可得4=生，又△48C的面积为1,即与csin生=1,・・"c=4,又AB(DA+DB)=(DB

626

-京）.亦+殖加E-

4444

4ABACAB-AC=—AccosA—2A/3.

4

8.已知定义在R上的奇函数於)恒有八Ll)=/a+l),当*引0,1)时，於)=1­,已

2X+1

知AG〔一15'―1J,则函数g(x)=Ax)一任一g在(-1,6)上的零点个数为()

A.4B.5

C.3或4D.4或5

解析：选D因为加-1)=加+1),所以兀r)的周期为2.又因为/(x)为奇函数，/»=一

A-x),令x=l,得/(1)=一八一1),又八-1)=/(1),所以人1)=/(-1)=0,当XG(—1,1)时,

2X—122

f（x）=—-=1一一J由J=V一单调递减得函数兀V）在（一1,1）上单调递增，所以八一

2X+12X+12A+1

i）勺（X）勺（1）,得一g勺作出函数图象如图所示,

2

由图象可知当y=Ax+3过点,k=-[此时在（一1,6）上只有3个零点.当y

112[

=Ax+；经过点（3,0）时，A=-j,此时有5个零点.当一时，有4个零点.当）=丘

+1经过点（5,0）时，k=一^此时有5个零点.~-<k<一^1-时，有4个零点.当y=Ax+l

3159153

经过点（6,0）时，k=一~此时在（一1,6）上只有3个零点.当一Bt,有4个零点.所

181518

以当15’1J时，函数g（x）=/（x）—Ax—；在（一1,6）上有4个或5个零点.

二'多项选择题

9.下列结论正确的是（）

A.在△ABC中，若/>5,贝！]sinN>sin3

B.在AN5c中，若sin2N=sin25,则5c是等腰三角形

C.两个向量a,b共线的充要条件是存在实数人使b=2a

D.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a〃b”的充分不必要条件

解析：选AD对于A,大角对大边，由正弦定理可得该命题正确；对于B,若sin2N

=sin2B,则24=25或24+25=凡即N=5或4+5=匹，即是等腰三角形或直角

2

三角形，所以该命题不正确；对于C,若b#0,a=0,满足向量a,b共线，但不存在实数九

使b=2a,所以该命题不正确；对于D,若“a+b=0”，则“a〃b”；若“a〃b”，则“a

+b=0”不一定成立.所以该命题正确.

10.函数/（x）=4sin®x+颂其中A>0,0>0）的部分图象如图》

所示，将函数作）的图象向左平移£个单位长度，得到y=g（x）

6371

12

的图象，则下列说法正确的是（）

A.函数g(x)为奇函数

Cn27fl

函数双幻在

B.G'UI上单调递减

C.函数尸四=期(乂)为偶函数

函数g(x)的图象的对称轴为直线X=AH+匹(AeZ)

4

解析：选ABC由函数/(x)=/sin3x+9)的图象可知函数於)的周期为:」2

且过点住'3]

肛,函数的最大值为3,所以4=3,由7=—=n解得/=2,又

CD9

2常+q

3sinl=3,所以9=-；+2Ak(«GZ),所以取4=0时，函数兀0的解析式为质)=

3sinH将函数八x)的图象向左平移匹个单位长度得g(x)=3sin1x+-

2l

3j=3sin2x,

6

Cn27flCln47fl

£〔」时，因为

所以g(x)=3sin2x为奇函数，故A正确；当x3'32x£13'3J,y=sinx

C2n47fl

在」上单调递减，所以

13'3g(x)=3sin2x上单调递减，故B正确；F(x)=xg(x)

=3xsin2x,则F(—x)=3(—x)sin(—2x)=3xsin2x=F(x),即F(x)=xg(x)为偶函数，故C正

确；令2%=匹+4加，AGZ,解得*=匹+红，kSZ,故g(x)的对称轴为直线*=匹+皿，kRZ,

24242

故D错误.

11.圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光

线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点

与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知B,此分别是双曲线C：炉一止=1的左、右

2

焦点，点尸为C在第一象限上的点，点M在AP的延长线上，点。的坐标为停'°)

,且

P。为/尸1班'2的平分线，则下列结论正确的是()

A岬=2

\PF2\

B.|函+病|=25

C.点尸到x轴的距离为3

D.NF2PM的角平分线所在直线的倾斜角为150。

解析：选AD先证明结论双曲线C:x2—1=1在其上一点P(xo,jo)的切线的方程为XftX

XOX—^=1,

—胆=1.由已知蝠一面=1,联立］p2可得“2—2x沫+x8=0,即(X—Xo)2=O,

22X2-JL=1

r2

解得x=xo,所以双曲线C:/一；=1在其上一点P(xo,次)的切线的方程为x林一早=1.本

题中，设点尸(XO,W),则直线尸。的方程为工眯一学=1,将点。口'0］代入切线方程可得

x0=y［s,所以N#,2),即点尸到X轴的距离为2,C错误；在双曲线C中，«=1,b=yjl,

22

则c=V=+b2=3,则Fi(~&0),户2(3,0),所以|尸尸1|=1(23)2+22=4,\PF2\=ylo+2

=2,所以比四=2,A正确；Pf\=(-2\/3,-2),肃=(0,—2),所以用'+肃=(-2\5,

1尸尸21

-4),则|羽'+窃|=4(二2^)由二4^=2^,B错误；因为Ng/W的角平分线交x轴于

点N(如图所示)，则N。尸产z+NNPg=；(N万/后+/尸2PA0=90。，所以PN_LP0,因为底@

=—匕=#,则加N=--,故N尸出M的角平分线所在直线的倾斜角为150。，D

—祖kPQ3

正确.

12.已知正方体NBCD-NliGA的棱长为1,M,N分别为33”AB

的中点.下列说法正确的是()

A.点M到平面力\孙的距离为止

2

B.正方体N5CD-451GD1外接球的体积为圆

2

C.平面ANDi截正方体ABCD-AiBiCiDi外接球所得圆的面积为现

4

D.以顶点N为球心，?为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线

的长为立国

6

11

解析：选BCD由题意，得4Di=啦，S^AND.=1义出X1=45A^M=X-X=-,

12242228

设点Af到平面ANDi的距离为"，由VM-AND1=VDVAMN9得gXdXS^ANDX=；XD\A\XS^ANM,

解得〃=也，故A错误；正方体外接球的半径为止上出汗二近，外接球

422

的体积为:义3=?

故B正确；易得平面经过正方体

"CM向G必外接球的球心，故其截外接球所得圆的半径为外接球的半径于其圆的面积

为登，故C正确；如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点

4

N所在的三个面上，即平面4455、平面4BCD和平面441必。上；另一类在不过顶点N

的三个面上，即平面AB1GC、平面CG必。和平面431Goi上.在平面443山上，交线

y=虫，则N//E=匹，同理N5/F

为弧EF且在过球心N的大圆上，因为NiE=

36

=四，所以NEN尸=生，故弧EF的长为逋乂匹=&,而这样的弧共有三条.在平面ABiGC

66369

上，交线为弧尸G且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B,

半径为AF=4E=*，所以弧尸G的长为*X匹=®,这样的弧也有三条.于是，所得的

3326

曲线长3Xa+3义典=与诙，故D正确.

966

三、填空题

13.二项式卜一T9的展开式中常数项是

解析：由题可知展开式Tr+i=C5(表)9-［一J=C5(-2＞土"，令9二圭=0,解得r=3,

22

故常数项为«(-2)3=-672.

答案：一672

14.函数/(x)=xhi(—2x),则曲线y=/(x)在*=一：处的切线方程为.

解析：由题可知，(x)=ln(-2x)+l,所以/,故切线方程

即4x-2j+e=0.

答案：4x—2j+e=0

15.意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即尸(1)=尸(2)=1,爪(〃)=尸(〃-1)+产(〃一2)(〃。3,〃GN*),此

数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以3的

余数构成一个新数列｛为｝,则数列｛%｝的前2022项的和为.

解析：由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以3的余数，可得｛«„)为

1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,•••,所以｛%｝是周期为8的周期数列，一个周期中的8项和为9,

因为2022=252X8+6,所以数列｛斯｝的前2022项的和为252X9+8=2276.

答案:2276

16.已知椭圆G：5+三=151＞仇＞0）与双曲线C2：^-^=1（«2＞0,岳＞0）有相同的焦点

Fi，Fi,椭圆G的离心率为ei,双曲线C2的离心率为e2,点尸为椭圆G与双曲线C2在第

一象限的交点，且/产1P尸2=匹，则¥的取值范围是.

解析：设1PBi=%，\PF2\=n9

由椭圆的定义得股+〃=2〃i①，

由双曲线的定义得制一川=2欧②，

①2+②2得/+/=2（山+应），

①②

2—2得mn=a\—（A9

由余弦定理可得（2c）2=加+〃2—2/W〃COSNBPB,

所以曷+3龙=4c?③，

设〃i=2ccos3,〃2="^csin，，

—=2cos0>1,

c

则S_2卡.解得。£

0<-=^^sin0<1

c39

好“«1+°2_1a_1_01_1_〃2_勺口_4#.〃+外

所以-----=--1--=—I—=2cos，-1--------sin0=------sink3J,

eie2eieicc33

当，=匹时，的最大值为殳B,，=匹时，的值为2,所以①的取值范围是

6«1。233cl«2«1+«2

答案：了，3

大题规范增分练一今日题型：立体几何

17.如图，在四棱锥E-N5CD中，AB//DC,AD^DC^BC^~AB,

2

E在以N3为直径的半圆上，平面4BEJ_平面4BCD,M,N分别为

DE,5c的中点.

⑴求证：2W7V〃平面N3E；

（2）当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值.

解：（1）证明：如图所示，过。作于连接EW,过加

作〃于Q,过N作NP±AB于P,连接PQ.

易知NP=MQ=1DH,NP//DH,MQ//DH,所以四边形跖VPQ

2

为平行四边形,

所协MN〃PQ.

又平面4BE,PQU平面4BE,所以MV〃平面4BE.

(2)如图所示，过E作EO_L4B交45于O.

因为平面ABEL平面4BCD,-f-®ABEA-f®ABCD=AB,EO

u平面4BE,

所以后白工平面/台。)，故EO为四棱锥E-48co的高，

要使四棱锥E-4BCD体积最大，则E为弧4E3的中点，此时。为N3的中点.

在此情况下，取CD的中点G,连接0G,因为4B〃CD,AD=DC=BC=-AB,所以

2

OGA-AB.

因为EOJL平面4BCZ),所以EO_L4B,EOA.OG,所以EO,AB,OG两两垂直，以。

为原点，分别以直线OE为*轴，直线4B为y轴，直线0G为z轴建立空间直角坐标系，

如图.设4。=0。=3。=?3=矶《＞0),

2

可得0(0,0,0),N(0,-«,o),£(«,0,0),M0,广4

C7也］

则4卢=5,a,0),A&=〔'4“'4J.

设平面4E7V的法向量为n=(x,y,z),

ax+ay=0,

AEn=0,

则_»可得.7i^3

-ay-\-----az=0,

^7Vn=0,144

1,一1,

令x=l,则平面4E7V的一个法向量为n=

易得平面ABE的一个法向量为m=(0,0,l),

则|cos<m,n)\=\nt'n\

川

由图可知二面角N-AE-B的平面角为锐角，所以二面角N-AE-B的余弦值为黄£

“16道小题保分练+1道大题增分练”天天练(十七)

小题限时保分练一选自2022•黄冈二模卷(限时45分钟)

一、单项选择题

1.已知复数w满足(-3i)z=4—5i,则n的共粗复数的虚部为()

3

—电

c.--D.

33

解析：选C•.・(7以=4Ti,...“=£1=2^=平三+；i,的共机复数的

虚部为一土

3

2.设集合4={x|(x-l)(x-4)vO},^={x|2x+a<0},且408=31«<2},贝！|〃=()

A.4B.2

C.-2D.-4

解析：选D集合力=3*—1)任一4)<0}=31«<4},B={x\2x+a<0}=

^n5={x|l<x<2},A-|=2,解得〃=一4.

1

已知〃=28=log2；,c=logI，

3.x则()

3

2

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

i

解析：选CV0<a=2<2°=1,b=Iog2-<log21=0,C=log11=Iog23>log22=1,:.

3]3

c>a>b.

4.已知4,B,C是表面积为167r的球O的球面上的三个点，S.AC=AB=1,ZABC

=30°,则三棱锥O-4BC的体积为()

A.—B.

12

解析：选C设球的半径为R,△4BC外接圆的半径为r,在△4BC中，由4C=N3=

AC

1,N4BC=30°,贝INA4c=120。,得2r=-------------=2,所以r=l,因为球。的表面积为

sinZABC

167t,贝I4兀/?2=16兀，解得尺=2,所以球心。到△4BC的距离d=7^二｝=@,即三棱锥

的高为市,I

0-4BCSAABC=-ABACsinZBAC=^,所以三棱锥O-ABC的体积VO-ABC=

24

“7

5.已知函数/(x)=xhi(e2x+l)一—+],大〃)=2,则大一〃)的值为()

A.1B.0C.-1D.-2

解析：选B构造函数g(x)=xln(e2x+l)—*2,则g(-x)+g(x)=—xln(e-2x+l)-x2+

e2*+1

2222故函数为奇函数，又/(〃)=〃

xlnCe^d-1)-x=xln-2x_|_^~^x=xlne^-2x=0,g(x)g()+l

=2,：.g(d)=l,/./(—a)=^(—«)+l=—g(a)+l=O.

6.若sina+cosa=g0<«<7r>贝！Jsin2a+cos2a=()

gc尹D.

A-25B-

252525

因为两边同时平方可得，所以

解析：选Dsina+cosa=l,1+sin2a=L,sin2a=

525

24jr49

------<0,因为t0<a<7r,贝”一vaV7t,所以sina>0,cosa<0,故(sina-cosa)2=l—sin2a=,

25225

fT\

7JI-----17

所以sina—cosa=~,故cos2a—sin2a=(cosa+sina)(cosa—sina)=—Xl5j=------,即cos

5525

724731

2a=------,所以sin2a+cosla-------------=------,

25252525

7.直线x=2与双曲线止一俨=1的渐近线交于43两点，设尸为双曲线上任一点，若

4

~OP=aOA+b~OB（«,6GR,。为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）

A.a2+62^lB.\ab\^l

C.|a+b]2lD.\a-b\^2

解析：选C双曲线止一/=1的渐近线为把x=2代入上述方程可得j=±l.不妨

取4(2,1),B(2,-1).~OP=aOA+b~OB=(2a+2b,a-b).代入双曲线方程可得因土型

4

—(a—Z»)2=l,解得曲=1,2J2,所以|a+例21.

44

8.若函数y=/（x）的图象上存在两个不同的点Z,B,使得曲线了=%）在这两点处的切

线重合，则称函数歹=/a）为“共切”函数，下列函数是“共切”函数的为（）

A.y=\nx+xB.y=Gx+x

C.了=/+1D.j=x—cosx

解析：选D由“共切”函数的定义可知，导函数中自变量存在两个值，它们的函数值

相等，才可能是“共切”函数，因此导函数不会为单调函数.对于A,y'=-+1,即导函

X

数在（0,+8）上单调递减，且自变量与函数值是一一对应的关系，故y=lnx+x不会是“共

切”函数；对于B,y'=^+1,即导函数在R上单调递增，故y=ex+x必不是“共切”函

数；对于C,y'=3x2,存在（/w,z/P+i）与（一帆，—ZW3+1）（/WT^0）,两点处的切线斜率均为

223

3/w,分别写出切线方程为了=3加X-2加+1,y=3mx+2m+lf显然两直线不重合，故

f

了=3+1不是“共切”函数；对于D,y=X+sinxG[0/2],即导函数为7=2九的周期函数，

=

且20恒成立，故cosx在R上递增，不妨取x/=0,XB2TI9则，=1,切点分

别为N(0,—1),5(如，2k—1),此时切线方程分别为j=x—1,_y=x—ITT+ITT—1=x_1,

两切线重合，可知至少存在4,5两点处的切线重合，故该函数为“共切”函数.

二'多项选择题

A

9.已知由样本数据(招，J,)(I=1,2,3,10)组成的一个样本，得到经验回归方程为y=

2x-0.4,且x=2,去除两个样本点(-2,1)和(2,—1)后，得到新的经验回归直线的斜率为

3.则下列说法正确的是()

A.相关变量x,y具有正相关关系

B.去除两个样本点后的经验回归方程为£=1一3

C.去除两个样本点后，随X值增加相关变量y值增加速度变小

D.去除两个样本点后，样本(4,8.9)的残差为0.1

解析：选AB对于A,去除两个样本点(一2,1)和Q,—1)后，得到新的经验回归直线的

A

斜率为3,3>0,则相关变量x,y具有正相关关系，故A正确；对于B,将*=2代入j=2x

一0.4得y=3.6,则去除两个样本点(一2,1)和Q,—1)后，得到新的样本点的中心点为lb

a=|-3X|=-3,故去除样本点后的经验回归方程为J=3A~3,故B正确；对于C,由于

斜率为3>1,故相关变量x,y具有正相关关系且去除样本点后，随x值增加相关变量y值增

A

加速度变大，故C错误；当x=4时，y=3X4—3=9,则样本(4,8.9)的残差为8.9—9=一0.1,

故D错误.

10.已知点A,3是椭圆止+产=1上的动点，当灰，•京取下列哪些值时，

4

可以使Ml'•南=0()

A.3B.6C.9D.12

解析：选ABC设4(xo,次)，且山,•獭=0.C•京=•(笳+

=MA2-\-MA=~HT2=(xo~I)2+yi①，

2

将N点坐标代入椭圆，可得过+冠=1,则同=1一就代入①可得，MA"~BA=(X0-1)

44

+1—城=+°-J+2(-2WXOW2),MA'-aT)min=-,(•亦)max=9,对照选项，

4433

下:可以取A、B、C.

11.设函数/(x)=sin2x—2sinx,贝心)

cosx

n\

A.y(x)在「5'引上有且仅有i个零点

B.Ax)的最小正周期为加

_nn|

_[_r引上单调递减

Gr37fl

D.正)在12'2」上单调递减

・・〃、sin2x_2sinx

解析：选ACD由二倍角公式可得，sin2x=2sinxcosx,•Ax)=-------------

cosx

s

2I"Me。'"~~—=0,.入也x=0或cosx=l,.•・>¥=而或X=2ATT,A£Z,Vx^l2’2),/.

cosx

fnn\

当且仅当左=0,即x=0时，满足於)=0,工作)在I2921上有且仅有一个零点，满足题

意，则A正确；f(x)=2sinx—2tanx,,累也x的最小正周期为2兀，tanx的最小正周期为加，

/.fix)的最小正周期为2九，贝寸B错误；fix)=2sinx—2tanx,则f'(x)=2cosx一

晒史”1n立2=驷誓一1),...cos3x_iW0,.../(x)W0,.../)单调递减，则C、

(cosx)2COS2X

D正确.

12.在数列｛a.｝中，对于任意的"GN*都有a“>0,且成+1-”“+1=%,则下列结论正确的

是()

A.对于任意的〃22,都有a„>l

B.对于任意的的>0,数列｛斯｝不可能为常数列

C.若0<的<2,则数列｛%｝为递增数列

D.若可>2,则当〃》2时，2〈斯<幻

解析：选ACD由a“+i=®+l,对VMGN*都有斯>0,得斯+1=4+1>1,即任意

%+1

都有aw>l,故A正确；由〃〃+—1)=%,若｛%｝为常数列且%>0,则an=2满足ai>0,

故B错误；又巫=%+1—1且“GN*,当l<a“+i<2时，0<从<1,此时。|="2仅2—1)6(0,2)

〃〃+1%+1

且数列｛%｝递增；当斯+1>2时，‘仁>1,此时〃1=〃2(〃2—1)>〃2>2,数列｛〃“｝递减.所

〃〃+1

以0<的<2时数列｛a“｝为递增数列，故C正确；由C分析知，ai>2时许+i>2且数列｛斯｝递减，

即n>2时，2<a”<ai,故D正确.

三、填空题

13.函数於)的图象如图所示，记N=/(xi),5=/,(㈤，C=/(招)，y

则4B,C最大的是./A

解析：根据导数的几何意义，/'(Xl),/'(X2),/(X3)分别为巧，X2,/511L/4

X3处的切线斜率，又XI与X3处的切线单调递增，X2处的切线单调递减，且XI处的切线比X3

处的切线更陡峭，：.f(X2)<0<f'(X3)<f(XI),故最大为,(XI).

答案：A

14.已知(1+x)"的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1+x)"的系数和为.

解析：由题意，0cz且OC3所以”=6,所以令x=l,(l+x)6的系数和为26=

64.

答案：64

15.与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆.已知

正△N3C的中心为O,48=1,点尸为与3c边相切的旁切圆上的动点,则OA-OP的取值

范围为.

解析：如图所示，△N8C的旁切圆为圆0,设其半径为/?,因为

正△4BC的边长为1,所以|4£|=寸，易知。为△4BC的重心，贝“04

=重，|OE|=*.易知/O'=2DO',即NE+A=2A,：.R=AE,解得

36

R=£由平面向量数量积的几何意义可知市表示

2

加在方才上的投影与|方才|=三的乘积，由图可知，当点尸位于点E时OP0A最大,

r

最大值为亲一1,当点尸位于点F时,万河市最小，最小值为也XLX2

63

_7_r

7------------

故04•OP的取值范围是[6’6_.

6

_7_1

答案：_66_

16.已知尸为正方体NBCD-N/iGOi表面上的一动点，且满足|以|=

\[2\PB\,AB=2,则动点尸运动轨迹的周长为.

解析：由|E4|=@|P3|,N3=2可知，正方体表面上到点/距离最远的

点为G,所以P点只可能在面48514,面4BCD,面ABiGC上运动，

当产在面4BC。上运动时，如图所示，建立平面直角坐标系，贝”N(0,0),

3(2,0),设尸(x,j),由|以|=3|尸功得：x2+/=2[(z-2)2+y],即(x-4)2+y2=8,即尸点

在平面N5CZ)内的轨迹是以E(4,0)为圆心，以23为半径的一段圆弧，因为EC=2也,BE

=2,故NBEC=匹,所以尸点在面48。内的轨迹的长即为匹X2/=岳.

442

同理，P点在面ABB14内情况亦为匹X2"=也匹;尸点在面6BGC上时，