高考数学二轮复习：立体几何综合大题必刷100题

专题20立体几何综合大题必刷100题

任务一:善良模式(基础)「30题

1.在棱长为1的正方体/BCD-4与GR中，E为线段4片的中点，尸为线段N8的中点.

(1)求点3到直线的距离；

(2)求直线户C到平面NEG的距离.

【答案】(1)—;(2)逅

36

【分析】

(1)以2为原点，24,2G，所在直线分别为x轴，了轴，2轴，建立空间直角坐标系，取.=刀,

一AC,

”岛，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点3到直线的距离;

(2)易证尸C//平面/EQ,则点尸到平面/EG的距离为直线尸。到平面/EG的距离，求出平面NEC1的

一个法向量，再求出/尸=(0,；,0),根据点到面的距离公式，可得直线尸C到平面/EG的距离.

【详解】

以，为原点，24,2G，所在直线分别为X轴，了轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则^(1,0,1),5(1,1,1),C(01,1),,1,0),E

__—.1—.1—.1—.1

所以48=(0,1,0),/=(T,1,T),AE=(O,-,-l),EQ=(-l,-,0),FC=(-l,-,0),AF=(0,-,0).

小丹(FT)，则

-2--道

(1)^a=AB=(0,1,0),u~a=La-u=——

AC,3

01/214

所以，点B到直线/C的距离为,_,父=.

(2)因为定=属=[一1,；,()],所以尸C//EG，所以尸C//平面/EG.

所以点尸到平面/EG的距离为直线产C到平面NEG的距离.

n•AE=0

设平面/EQ的法向量为E=(x,y,z),则

n-ECX=0

所以/J

-x-\--y=O

x=z

所以

y=2z

取z=l,贝I]X=1J=2.所以，3=(1,2,1)是平面NEG的一个法向量.

——►1I^F.^I(0,彳,0),(1,2,1)/-

又因为/歹=(0,i,0),所以点尸到平面/EG的距离为了'勺__2__________如.

2阂一庭一6

2.如图，正方形/B44的边长为2,的中点分别为GG，正方形沿着CG折起形成三棱

柱23C-44G，三棱柱/BC-44cl中，AC1BC,AD=AA4.

(1)证明：当时，求证：平面3cD；

02/214

(2)当4=：时，求二面角。-BG-C的余弦值.

【答案】(1)详见解析；(2)巨型

29

【分析】

(1)要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，关键证明。C，£)G，BCLDG；

(2)以点C为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面BCG的法向量，利用法向量公式求

二面角D-8G-C的余弦值.

【详解】

(1)当2时，点。是44的中点，

因为/C=AD=4D=4G=1，所以。C=DC]=0,又CG=2,

所以0c2+DG2=CC：,所以。CLOG，

因为BCL/C,BC1CQ,所以BC,平面/CC[4，£>C|U平面/CCI4

所以BC_LDG，且。CIBC=C,

所以。G，平面BCD；

(2)因为cq,CA,CB两两互相垂直，所以以点。为原点，以B，CB，西作为x,八z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如下图，

C平面8CG，所以向量C4=(l,0,0)是平面8CG的法向量,

03/214

1

5(0,1,0),G=(0,0,2),DC

X2

设平面比"的法向量』=(x),z),

3

-x-\--z=0

,"=°,即<2

所以1,令z=2,x=3,y=4,

n=0

—x+y——z=0

所以平面的一个法向量尢=(3,4,2),

CA-n33标

cos<CA,n>=

V32+42+2229

所以二面角。-Bq-C的余弦值是噜

3.如图，直三棱柱/8C-4耳G的底面为直角三角形，两直角边48和M的长分别为4和2,侧棱的

长为5.

(1)求三棱柱NBC-48c的体积；

(2)设〃是8c中点，求直线4M与平面/比1所成角的正切值.

【答案】(1)20；(2)V5.

【分析】

(1)根据棱柱的体积公式进行求解即可；

(2)根据线面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可.

【详解】

04/214

(i)•.•直三棱柱4G的底面为直角三角形，

两直角边和〃的长分别为4和2,侧棱的长为5.

二.三棱柱/8C-4耳G的体积：V=S^ABCxAAx=^xABxACxAA1

=—x4x2x5=20.

2

(2)连接ZM

•••直三棱柱/2C-/4G的底面为直角三角形，

两直角边相和〃的长分别为4和2,侧棱/4的长为5,〃是8c中点，

••AAX_L底面ABC,AM=一BC=一Jl6+4=-s/5,

22

是直线A.M与平面所成角，

tan"跖4=史L="=也,

1AM45

•••直线A.M与平面/8C所成角的正切值为V5.

4.如图，在三棱锥尸-N3C中，P/工底面/比；/3/C=90。.点〃E,“分别为棱阳，PC,8C的中点，M

是线段的中点，PA=AC=4,AB=2.

05/214

(1)求证：MN11平面BDE；

(2)求二面角C-瓦0-N的正弦值；

(3)已知点〃在棱上，且直线明与直线龙所成角的余弦值为近，求线段/〃的长.

7

【答案】(1)证明见解析；(2)通；(3)4

21

【分析】

(1)根据三角形中位线定理，结合面面平行的判定定理和性质进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

(3)利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

(1)证明：取力8中点尸，连接版NF,

为”中点，

:.MF//BD,

QBDu平面BDE,MF0平面BDE,

.•."F//平面BDE.

QN为8c中点，

:.NFHAC,

又以£分别为力只此1的中点，

:.DEHAC,则NF"DE.

06/214

DEu平面BDE,NF<z平面BDE,

二.NF//平面BDE.

yiMFC\NF=F,A/Fu平面用W,NFu平面仞叫

，平面AffN//平面初&又〃Nu平面例叫

则肱V//平面BDE-,

(2)底面A5GZBAC=90°.

二以/为原点，分别以48、AC,4尸所在直线为x、八z轴建立空间直角坐标系.

PA=AC=4,AB=2,

A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(l,2,0),E(0,2,2),

则旃=0,2,-1),施=(0,2,1),

设平面侬V的-一个法向量为用=(x,y,z),

,[m-MN=0，口fx+2y-z=0

由4_—,得<、>

m-ME=012y+z=0

取z=2,得〃?=(4,—1,2).

由图可得平面。昭的一个法向量为；=(1,0,0).

/----\m-n44A/21

\1mn\VHxl21-

由图可知二面角C-EN-N的平面角为锐角,

07/214

•••二面角C-EM-N的余弦值为勺旦，则正弦值为运；

2121

(3)设则"(0,0,0,历=(一1,一2,。，丽=(一2,2,2).

•••直线A7/与直线庞所成角的余弦值为立

cos(而，码HNHBE

7M网

_2t-2_V7

J5+S义267'

解得：t=4.

当〃与P重合时直线2与直线龙所成角的余弦值为正，此时线段的长为4.

7

5.已知圆锥的顶点为R底面圆心为。，半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

(2)设PO=4,0A、如是底面半径，且//08=90。，〃为线段46的中点，如图.求异面直线网与面所

成的角的余弦值.

【答案】(1)封坛；(2)—.

36

【分析】

(1)利用圆锥的体积公式进行求解即可;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

(1)・••圆锥的顶点为R底面圆心为。，半径为2,圆锥的母线长为4,

08/214

圆锥的体积V=—x^xr2xh=—'X7rx22xA/42—22

33

_8岳，

一,

3

(2);P0=4,0A,如是底面半径，且乙4。8=90。，

〃为线段48的中点，

；•以。为原点，以为x轴，仍为y轴，。尸为z轴，

建立空间直角坐标系，

尸(0,0,4),42,0,0),5(0,2,0),

0),0(0,0,0),

PM=(1,1,-4),。2=(0,2,0),

设异面直线P航与物所成的角为6,

PMOB\2

则COS0=

PM[\OB\~^18x26

.•・异面直线9与四所成的角的余弦值为变.

6

6.如图所示，已知四棱锥尸-中，四边形28。为正方形，三角形PN8为正三角形，侧面尸/B，底

面/BCD,〃是棱4D的中点.

09/214

(1)求证：PC工BM；

(2)求二面角8-尸的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

4

【分析】

(1)取48的中点0,连接。尸，并过。点作8c的平行线OE,交CD于E,即可得到OE1.N3,POLAB,

从而得到尸底面/BCD,如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直；

(2)利用空间向量法求出二面角的余弦值，从而求出其正弦值；

【详解】

解：(1)取48的中点。，连接。尸，并过。点作8c的平行线OE,交CD于反则OEL4B

•.•三角形P/3为正三角形

，PO±AB

'：平面PAB1底面ABCD且平面PABn底面ABCD=AB

：.尸O_L底面/BCD

以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令尸5=48=2,

10/214

p

则网1,0,0),F(0,0,V3),A/(-l,l,0),C(l,2,0)

正=(1,2,-两=(-2,1,0)

PC1BM

(2)两=(-1,1,-百)，CM=(-2,-1,0)

设平面R展的一个法向量为加二(x,y,z)

PM•玩=0口］-x+y-V3z=0

则一.即4

BM-m=0-2x+y=0

令％=1,m=

IJJ

设平面PMC的一个法向量为n=(a/,c)

PM=0—a+b—=0

则一即an＜

CM-«=0-2a-b=0

令〃=1,〃=(1,-2,班)

所以cos(冽，几m-ny/6

=丽=彳

㈤2

所以sin(加,=J-cos2(m,n^-

□J~T~

11/214

，二面角B-PM-C的正弦值为巫

4

7.已知点£,尸分别是正方形/BCD的边/D,8c的中点.现将四边形EFCD沿E尸折起，使二面角

C-族-3为直二面角，如图所示.

（1）若点G,“分别是4C,8斤的中点，求证：G8//平面£尸。；

（2）求直线/C与平面N3尸E所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）逅.

6

【分析】

（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行；

（2）根据面面垂直的性质定理，可知C尸，平面/2FE,再结合线面角的定义，可得得到直线/C与平面

48尸E所成角的正弦值.

【详解】

证明：（1）连接/尸,

设点。为/尸的中点，连接GO,OH,

在A/CF中，又因为点G为/C中点，

所以OG〃CF.

同理可证得。8///B,

12/214

又因为E,尸分别为正方形4BCD的边BC的中点，

椒EFHAB,所以OH//EF.

又因为OHcOG=O,所以平面GOH〃平面E/CD.

又因为GHu平面GOH,所以GHH平面EFCD.

(2)因为/BCD为正方形，E,尸分别是ND,5c的中点，

所以四边形ERR为矩形，则C尸，跖.

又因为二面角C-EF-3为直二面角，平面EFCDC1平面=CFu平面EFCD,

所以CF_L平面/AFE,

则4月为直线NC在平面尸E内的射影，

因为/CN尸为直线AC与平面ABFE所成的角.

不妨设正方形边长为则"3胃

在RM4B尸中，AFZABABF。=

因为C〃_L平面N2尸E,4Fu平面NBFE,所以C/J_/尸,

在Rt△/尸C中,AC=y]AF2+CF2=

a

CF3=屈

sinZCAF=—

AC\[6a6'

2

即为直线AC与平面ABFE所成角的正弦值.

8.已知如图1所示，等腰ANBC中，AB=AC=4,比=4\/§,。为8C中点，现将43。沿折痕ND翻折

-TT

至如图2所示位置，使得=E、尸分别为48、/C的中点.

13/214

A

A

图1图2

(1)证明：8C7/平面DE1尸；

(2)求四面体的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)6

【分析】

(1)由线面平行的判断定理即得；

(2)根据题意可得VBCDE=^VD_ABC=^VA_BCD,即求

【详解】

(1)证明：

;E、厂分别为/8、/C的中点，:.EF//BC,

■：E产u平面DEF,3C,平面DEF,

.•.8。//平面。£尸；

(2)在原等腰三角形4BC中，•.•N3=/C=4,比=4>/§,。为中点,

/.ADLDB,ADLDC,且/£»=旧_(20=2,

在折叠后的三棱锥中，AD±DB,ADLDC,

14/214

5LDB[}DC^D,:.ADvnBDC,

JI

DB=DC=273,4BDC=~,

•'­SARD。=—x2V3x2\/3xsin—=6=3/3,

^DC232

=33房2=2后

•*E为AB中点，.二SABCE=]S*BC，

可得，BCDE=/—AABC=]嗫-BCD=V3.

9.在三棱柱/BCT/C中，AB=2,BOBB『4,AC=AB,=2>/5,且/8隔=60°.

（1）求证：平面/园，平面区%;区：

（2）设二面角廿47「5的大小为0,求sin。的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）sin8=Y6.

4

【分析】

（1）勾股定理证明48,3c.结合证明.即可证明；（2）建立空间坐标系求解

【详解】

解：（1）在AN5C中，AB2+BC2=20=AC2,所以NABC=90°,即/3_LBC.

三

因为BC=BB1,AC-ABVAB=AB,所以AABCAABB1.

所以/ABB、=/ABC=90°,gpABI.BBV

又BCCBB、=B,所以N3,平面8CG4.

15/214

又ABI平面ABC,,所以平面ABC,1平面BCCtBt.

（2）由题意知，四边形3CGA为菱形，且NBCG=60。，贝UA&CG为正三角形，取CG的中点。，连接8。，

则助_Lcq.

以3为原点，以丽，砾，互5的方向分别为x,%z轴的正方向，建立空间直角坐标系3-中z,则

8（0,0,0）山（0,4,0）,/（0,0,2）,C（2省,-2,0）,C］（2百,2,0）

设乎面ACCXA1的法向量为l=（x,%z），且就=（2石,-2,-2）,西=（0,4,0）.

AC-n=0,

由—得取』。,到

CCi-n=0,

由四边形8CC蜴为菱形，得5G，耳C；

又平面8CG4,所以

又AB\BC、=B,所以4C，平面NBC一

所以平面的法向量为麻=（2G,-6,0）

n-B^C2731

所以cos,，AC）

口瓯|一4岳2一4，

故sing=

4

10.如图，四棱锥尸-/BCD中，底面48co是直角梯形，AD//BC,/为氏90°,已知PA=PC=3B

AD=2,AB=yf3,BC=3.

16/214

(1)证明：AC1PD；

(2)若二面角尸-/C-3的余弦值为:，求四棱锥尸-43。的体积.

20

【答案】(1)证明见解析；(2)y.

【分析】

(1)过。作DEL8C交于点£,求得CO=2,取/C中点为尸点，连接PF,FD,

证得证得/C,平面PED,即可证得4CCD.

(2)由(1)知，得到cos/PFO=g,求得点P到平面/BCD的距离为〃，和梯形48co的面积，结合体

积公式，即可求解.

【详解】

(1)过。作DE_L2C交3C于点E,则。£==百,EC=8C-=1,

在直角AOCE中，则CD=JM+EC?=2,

取/C中点为尸点，连接尸£ED,

因为AD=CD=2,P/=PC=3G，所以2。_1_止,/。_1_依，

又因为PFcBD=F,且平面尸阳，所以/CJ.平面巴叫，

又由PDu平面PFD,所以4C_LPD.

17/214

(2)由题意知，二面角尸-4C-D的余弦值为:，

由(1)知，二面角尸一/。一。的平面角为NP尸D,故cos/PFD=；,

在RtZ\48C中，可得AC=JAB2+BC?=2拒，所以/F=；/C=6,

所以尸尸=y]PA2-AF2=2A/6，

设点尸到平面ABCD的距离为h,贝0=PFsin/PFD=2&x马2=—,

33

故四棱锥尸-4BCD的体积％=k至x更=型.

3233

11.如图，四棱柱A5O48C4中，底面48(第和侧面比都是矩形，£是切的中点，D.ELCD,AB=2BC

=2.

(1)求证：平面底面/次以

18/214

(2)若平面6a区与平面啊所成的锐二面角的大小为grr,求线段初的长度.

【答案】(1)证明见解析；(2)EDX=\.

【分析】

(1)利用线面垂直的判定定理证明平面CDD、C\,可得AD工仄E,又CDLD.E,即可证明，平面ABCD,

再由面面垂直的判定定理证明即可；

(2)〃£=a,建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求

出平面的法向量，由向量的夹角公式列出关于a的方程求解即可.

【详解】

(1)证明：因为底面A?5和侧面8的4都是矩形，

所以AD1DD、,

又CDCDD、=D,CD,2?平面WC，

所以平面CDDG，又〃皮平面CDDG，

所以mLL〃£,又劈_!_〃£,且=CD,AO?平面力阅9,

故〃反1平面ABCD,又〃皮平面CCRD,

则平面平面ABCD-,

(2)解:取48得中点凡连结EF,则四边形即％为正方形，

所以第_LW,故以£为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设.D、E=a,则£(0,0,0),尸(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C}(0,2,a),

所以前=(-1,0,0),cq=(0,1,a),Jr=(-1,1,o),

设平面ACG厅的法向量为k=(x,y,z),

，一\n-BC=0J-x=0

[n-CC1=0[y+az=0

令z=l,贝l]“=(0,-a,l),

因为此工庞，又FCLD\E,BECD、E=E,BE,〃皮平面庞乐

19/214

所以尸UL平面BED,,

故定=(-1,1,0)为平面5〃£的一个法向量,

a

V2,[CT+1

TT

因为平面BCCB与平面皿所成的锐二面角的大小为§,

aTI1

———]=cos—=—解得a=1,

V2-Va2+132

所以〃£=1.

12.如图，四棱锥尸-48CZ)的底面4BCD是边长为2的正方形，平面尸4DJ_平面4BCD,△尸40是斜边

P4的长为2啦的等腰直角三角形，E,尸分别是棱尸区,PC的中点，M是棱8c上一点.

(1)求证：平面。EM_L平面尸48；

(2)若直线〃尸与平面4BCO所成角的正切值为受，求锐二面角E-DW-尸的余弦值.

2

20/214

【答案】（1）证明见解析；（2）

6

【分析】

（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）根据（1）,结合线面角的定义得出"点是8c的中点，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公

式进行求解即可.

【详解】

解：（1）依题意可得：PD_LDA,DP=DA=DC=2.

平面PAD_L平面ABCD,平面PADQ平面ABCD=DA,ABLDA,ABI平面ABCD,

平面尸AD,u平面PADAS_LDE.

在RtVP4D中，DP=DA,E是棱产区的中点，所以

又上4口48=/,PA,481平面二Z）E_L平面尸48.

又DEu平面DEM,平面平面尸4g.

（2）如图，取C。的中点N,连接MN,NF,

则NF"PD,NF=-PD=\

2

由（1）知尸D_L平面/BCD,NF15F®ABCD

：.NFMN是直线MF与平面ABCD所成角

21/214

V2

二tanZFMN=—

MN2

:.MN=4i，MC=^MN2-NC2=1

是棱5c的中点,

以。为坐标原点，DA,DC,0P分别为x轴，＞轴，z轴建立空间直角坐标系,

则有：D（0,0,0）,£（1,0,1）,尸（0,1,1）,M（l,2,0）

An£=（1,0,1）,丽=（0,1,1）,由=（1,2,0）

设平面瓦加的法向量为证=(a,6,c),平面。河尸的法向量为♦=(无J,z)

0=DE-m=a+c

则1.一令a=—2,则加二(一2,1,2)

0=DM-m=a+2b

0=DF-n=y+z.、

有《一一，令x=—2,则〃=（z—2,1,—1）

0=DM-n=x+2y

Lf\m-n3V6

cos{m-n）=1—I=---------1==

、/加.〃3x5/66

.♦.锐二面角E-DM-F的余弦值为逅.

6

13.如图所示，四棱锥£-48。的底面/BCD是边长为2的正方形，侧面E4B，底面48CD,EA=EB,

厂在侧棱CE上，且此，平面/CE.

(1)求证：4E_L平面3CE；

(2)求点〃到平面NCE的距离.

22/214

【答案】(1)证明见解析；(2)3.

3

【分析】

(1)证得8尸，NE和CSL/E,结合线面垂直的判定定理即可证得结论；

(2)等体积法即可求出结果.

【详解】

证明：(1):侧面£4B_L底面48C。，EABn/gffiABCD-AB,且C8_L/B,C8u底面/BCD,

。8_1平面/8£,二。8_1/£,；2尸_1平面/。£,/Eu平面NCE,故AF_L/E,BFC\CB=B,故/E_L

平面BCE；

(2)过点后作EO_L48,垂足为。，则EO_L平面/BCD,在MAE4B中，EA=EB,AB=2,可求得OE=1,

设〃到平面ACE的距禺为h,由—D-ACE=^E-ACD，

所以S“CE/=1S“COZO,人冲.叽孚

JMACEJ

即点。到平面/CE的距离为毡.

3

14.在三棱锥6一/=中，平面/切上平面力切，若棱长且/胡。=30°,求点。到平

面/比1的距离.

【答案】叵.

13

【分析】

建立空间直角坐标系，求出平面应为■的一个法向量，利用空间距离的公式即可求出结果.

【详解】

解如图所示，以4?的中点。为原点，以勿，布所在直线为x轴、y轴，过。作码平面交四于〃,

以直线如为z轴建立空间直角坐标系，

DX

23/214

则/(-g,0,0),。(0等,0)，拈,0,0)，

AC=(p^y-,0),/8=(W，0,；)，DC=(-p^y-,0),

设3=(x,y,z)为平面/8C的一个法向量,

心存=必无+

—z=0

22/?_

则f所以P=——x,z——6x,可取〃=(-1,3),

一二1V33

n,TiC=—x+/二。

2

代入，=出口，得公等+5=我

卬13

即点〃到平面相。的距离是叵.

13

15.如图，在长方体22。。一42£。|中，AB=BC=1,BB、=2,E为棱/4的中点.

(1)证明：庞，平面功C1；

(2)求二面角EC-G的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)120°.

【分析】

(1)根据4G，侧平面44BN得出5EL5C，再利用勾股定理即可证明2©,从而证明庞，平面

EBJ

24/214

(2)以点D为坐标原点，以方4方己西分别为天，》z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可解

决.

【详解】

(1)证明：因为ABCD-4与G3是长方体，所以用G，侧平面4B1BA,

而BEU平面4片氏4,所以4G，

在ABEB\中，BE=42,B1E=6BB1=2,

所以BE?+BE=BB；,所以耳£,

又BgcB'E=B1,Bg,B]Eu平面EB[C[,因此庞'J_平面鹤6.

(2)如图所示，以点。为坐标原点，以万Z就，西分别为M%z轴，建立空间直角坐标系，

则5(1,1,O),C(O,LO)，G(O，1，2),£(1,0,1),

EC=(-1,1,-1),cq=(0,0,2),BE=(0,-1,1),

设比=(X]，wzj是平面BEC的法向量,

m,BE=0,-M+Z|=0,=玩=(”1,1),

则

m'EC=0一再+%一Z]=0

设为=(>2，y2,Z2)是平面ECG的法向量,

河3=0,2Z=0,_

则2=>万=(1,1,0),

ri'EC=0-%2+%—Z2=0

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所以湍因为二面角'一£C-G为钝角'所以二面角EC-G的大小为120。，

16.如下图，在四棱锥S-43c。中，底面48co是正方形，平面WD_L平面48c。，SA=SD=2,AB=3.

(1)求S4与BC所成角的余弦值；

(2)求证：ABLSD.

3

【答案】(1)4；(2)证明见解析.

4

【分析】

(1)由题意可得即为SA与BC所成的角，根据余弦定理计算即可；

(2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明.

【详解】

【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质

【解】(1)因为/D//8C,因此即为S4与BC所成的角，在A"。中，SA=SD=2,

又在正方形ABCD中4D=48=3,因此cosASAD=犷+心一步=2?+3?-2?=之，

1SA-AD2x2x34

3

因此S4与BC所成角的余弦值是:.

4

(2)因为平面平面48。，平面必De平面，在正方形48CD中，A31AD,

因此48_1_平面S/。，又因为1sDu平面SAD,因此

17.如图，四棱锥尸-4BCD的底面是矩形，尸。，底面48cD,〃为BC的中点，且

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(1)证明：平面PW_L平面尸BD;

⑵若PD=DC=1,求四棱锥尸-48co的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)旦.

3

【分析】

(1)由尸。，底面/BCD可得,又PBLAM,由线面垂直的判定定理可得NM_L平面尸3。，再

根据面面垂直的判定定理即可证出平面P/Af，平面PBD；

(2)由(1)可知，AMLBD,由平面知识可知，&DAB〜AABM,由相似比可求出/D,再根据四棱锥

尸-/BCD的体积公式即可求出.

【详解】

(1)因为尸D_L底面/BCD,/Mu平面/BCD,

所以尸,

又PB1AM,PBCPD=P,

所以4W_L平面尸8。，

而u平面PAM,

所以平面PAM±平面PBD.

(2)由(1)可知，/可_1_平面网。，所以/M_LAD,

从而ADAB〜AABM,设BM=x,AD=2x,

则空■=空，即2/=1,解得尤=1，所以4D=0-

ABAD2

27/214

因为尸D_L底面/BCD,

故四棱锥尸-N3C。的体积为旷=；x(lx行)xl=\.

18.如图，在四棱锥尸-48co中，底面48c。是平行四边形，ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=y/15,M,

“分别为BC,尸。的中点，PDLDC,PMLMD.

(1)证明：ABLPM-,

(2)求直线4V与平面PQAf所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

6

【分析】

(1)要证可证DC_LPM,由题意可得，PDLDC,易证。MLDC,从而DCJ_平面尸DM,

即有DC_LPM,从而得证；

(2)取/。中点E,根据题意可知，尸M两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐

标系，再分别求出向量京和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

【详解】

(1)在△DCAf中，DC=1,CM=2,ZDCM=60°,由余弦定理可得。M=百，

由题意。CJ.PD且PDcD"=D,二。。，平面尸DW,而RWu平

面产DX,所以。C_LW,5LABUDC,所以4B_LPA/.

(2)由尸M_LMO,4B_LPA/,而N8与DM相交,所以尸MJ_平面ABCD,因为AM=近，所以PM=26，

取/。中点E,连接腔，则两两垂直，以点初为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标

系，

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则A(一52,0),尸(0,0,272),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(V3,-l,0)

又N为尸C中点，所以N告,一gm,AN=,-p.

\/\/

由(1)得C0_L平面PDVf,所以平面尸。Af的一个法向量为=(0,1,0)

5

.nMN•同2_叵

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sin0=:而

।j12725。~~r'

——+——+2

44

19.如图，是圆。的直径，尸4垂直圆。所在的平面，C是圆。上的点.

(I)求证3C_L平面尸/C；

(II)设。为P4的中点，G为A4OC的重心，求证：QG〃平面VC.

【答案】见解析

【详解】

(I)由是圆的直径可得4C_L8C,由PNJ_平面NBC,BCu平面/8C,^PA±BC

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又尸/门/。=4"<=平面尸/。,/。<=平面PAC,所以3C_L平面尸4c

(II)连。G并延长交4。于M,连接加,QG

由G为A40C的重心，得河为ZC的中点，

由。为P4的中点，得加||PC,由。为48的中点，得(W||5C,

因为WcMO=M,QMu平面Q0O

〃0<=平面01/0,BCcPC=C,

BC<z平面尸BC,PCu平面心C,所以平面QMO||平面PSC,因为QGu平面QMO

所以QG||平面PSC

20.如图，在四棱锥尸一48CD中，尸/，底面48CD,点E在线段40上，S.CE//AB.

(I)求证：CE_L平面尸ND；

(II)若尸N=48=l,4D=3,CD=g，NCD/=45。，求四棱锥尸-/BCD的体积.

【答案】(I)证明见解析(II)j

6

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【分析】

(I)由已知可得CEYAD,即可证明结论；

(II)尸4,底面/BCD,VP_ABCD=^SABCD-PA,根据已知条件求出梯形/BCD面积，即可求解.

【详解】

(I)证明：因为底面/BCD,CEu平面/BCD,

所以R1_LCE.因为4B_L/D,CE//AB,

所以C£_L/O.又尸Zc4D=N,

所以CE_L平面P4D.

(II)解：由(I)可知CEL4D,

在RtA£。中，CE=CD・sin45°=l,

DE=CD-cos45°=l,

又因为/B=l,则/8=C£.

又CE//AB,AB1AD,

所以四边形为矩形，四边形N8CD为梯形.

因为“。=3,所以==一。£=2,

SABCD=^(BC+AD).AB=^2+^x1=^,

VP-ABCD=~SABCD•尸二=X1=J,

3326

于是四棱锥尸-/BCD的体积为"

6

21.如图，直三棱柱A8C-/'8'C',ABAC=90°,4B=4C=彳/H,点