重难点之最值问题-2023年江苏中考数学复习专练（原卷版+解析）

2023年中考数学【热点•重点・难点】专练（江苏专用）

重难点04最值问题

【命题趋势】

最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力

区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

【满分技巧】

1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范

围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。

近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。

2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）几何图形中在

特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉

及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差

小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函数的最值法解决。

3）几何最值问题中的基本模型举例

图形

P1MN1

轴对称最值原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系

（将军饮马）48为定点，/为定直线，48为定点，/为定直线，

A,8为定点，/为定直线，MN为直线1

特征P为直线/上的一个动P为直线/上的一个动

上的一条动线段，求AM+BN的最小值

点，求AP+8尸的最小值点，求IAP-BPI的最大值

作其中一个定点关于定先平移AM或使N重合，然后作其中一个定点关于定

转化

直线/的对称点作其中一个定点关于定直线/的对称点直线1的对称点

A

图形

折叠最值

BNC

原理两点之间线段最短

特征在△ABC中，M,N两点分别是边AB,上的动点，将沿翻折，2点的对应点

为8',连接AB',求A2'的最小值.

转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

—＞单选题

1.如图，E为正方形2BCD边力D上一点，AE=1,DE=3,P为对角线BD上一个动点，贝!JP4+PE的最小

值为（）

A.5B.4V2C.2V10D.10

2.如图，Rt△力BC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点，过点尸作1于点，

贝IJPB+PD的最小值为（）

A.-B.-C.5D.-

453

3.如图，正方形ABC。的边长为4,点M在DC上，且。M=l,N是AC上一动点，则。N+MN的最小值为

（）

A.4B.4V2C.2V5D.5

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+取+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C（3,0）,

若尸是无轴上一动点，点。的坐标为（0,-1）,连接P。，则/PD+PC的最小值是（）

A.4B,2+2V2C.2V2D.|+|V2

5.如图，四边形2BCD为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段BC上一动点，点M为线段4P上一点.^ADM=

Z.BAP,贝UBM的最小值为（）

AD

B

AA.-5B.yC.V13-|D.V13-2

2

6.如图1,正方形4BCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP=x,PB+PE=y,

当点P从力向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M的坐标是（）

A.（4V2,3V5）B.（2V2,3A/5）C.（3低2/）D.（3^5,4V2）

7.如图，点M是菱形ABC。的边BC的中点，尸为对角线8。上的动点，若AB=2,ZA=120°,则PM+

PC的最小值为（）

A.2B.V3C.V2D.1

8.如图，O。的半径是逐，尸是。。上一动点，A是。。内部一点，且4。=遮，则下列说法正确的是（）

①的最小值为遥-V5；②朋的最大值为n+V3；③当NO4P=90。时，A是等腰直角三角形;④△必。

面积最大为去

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

二、填空题

9.如图，在RtAABC中，^ACB=90°,AC=BC,点C在直线MN上，^BCN=30°,点P为MN上一动点,

10.如图，在周长为12的菱形48CD中，DE=1,DF=2,若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值

11.如图，在AABC中，^BAC=90°,A8=3,AC=4,EF垂直平分BC,点尸为直线EF上任意一点，则

AP+BP的最小值是.

12.如图，抛物线丫=/-4%+3与彳轴分别交于43两点（点力在点B的左侧），与y轴交于点C,在其对称

轴上有一动点M,连接M4M&4C,则△MAC周长的最小值是.

13.如图，在。。中，点A、点B在。。上，乙AOB=90。，。4=6,点C在04上，且。C=22C,点。是。8的中

点，点M是劣弧AB上的动点，贝UCM+2DM的最小值为

14.如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于4和B,点C、。分别为线段AB、0B的中点，P为。4上一动点,

当PC+PD的值最小时，点P的坐标为

15.如图，点P是2。8内任意一点,OP=3cm,点M和点N分别是射线。力和射线0B上的动点，乙40B=30°,

则小PMN周长的最小值是.

16.如图所示的平面直角坐标系中,4(0,4),B(4,0),P是第一象限内一动点,OP=2,连接ZP、BP,贝IJBP+|ZP

的最小值是___________

三、解答题

17.如图，在AZBC中，力B=4C/B4C=120。)3边的垂直平分线DE交4B于点。，若ZE=3,

⑴求BC的长；

(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P4+PC的最小值为.

18.在aaBC中，Z-B=90°,。为BC延长线上一点，点E为线段力C,CD的垂直平分线的交点，连接E4,EC,

ED.

(1)如图1,当NB4C=40。时，贝IU4ED=.

(2)当ABAC=60°时,

①如图2,连接4D,判断△4ED的形状，并证明;

②如图3,直线CF与ED交于点尸，满足NCFD=NC4E.P为直线CF上一动点.当PE-PD的值最大时，用

等式表示PE,PD与4B之间的数量关系为,并证明.

19.在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中4(-1,1),8(4,3),C(4,-1)处各有一颗棋子.

(1)如图1,依次连接A,B,C,A,得到一个等腰三角形(2C为底边)，请在图中画出该图形的对称轴.

(2)如图2,现x轴上有两颗棋子P,Q,且PQ=1(尸在0的左边)，依次连接A,P,Q,B,使得2P+PQ+QB

的长度最短，请在图2中标出棋子P,。的位置，并写出P,。的坐标.

20.如图，抛物线y=/与％轴交于4(一1,0),8(3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)观察函数图象，直接写出当尤取何值时，y>0?

(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得AQAC的周长最小？若

存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

21.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1,在RtAABC中，乙4=90。，AB=4C,点。、

E分另I」在边AB、4c上，AD=AE,连接DE、DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN.

(1)观察猜想

线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”.

(2)A4DE绕点4按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD,CE,试判断PM与PN是否为“等垂线段”,

并说明理由.

(3)拓展延伸

把△力DE绕点4在平面内自由旋转，若。E=2,BC=4,请直接写出PM与PN的积的最大值.

22.已知△CDE与AABC有公共顶点C,△CDE为等边三角形，在AaBC中，^BAC=120°.

(E)B

图2

(1)如图1,当点E与点8重合时，连接AD,已知四边形ABDC的面积为2遍，求4B+4C的值;

(2)如图2,AB^AC,A、E、。三点共线，连接ZE、BE,取BE中点M,连接AM,求证：AD=2AM-,

(3)如图3,AB=AC=4,CE=2,将小CDE以C为旋转中心旋转，取DE中点F,当BF+在4F的值最小时,

4

求tan/ABF的值.

23.抛物线y=a/+加+百分别交x轴于点力(1,0),B(-3,0),交y轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相

交于点。，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MN1AC.

V.

图1

(1)求抛物线的表达式;

(2)线段MMNC在数量上有何关系，请写出你的理由;

(3)在N移动的过程中，OW+//C是否有最小值，如果有，请写出理由.

24.如图1,AABC与AdEF都是等边三角形，边长分另！］为4和百，连接为△力BC高，连接CE,N为CE的

图1图2备用图

⑴求证：^ACF=AABE；

(2)将AAEF绕点A旋转，当点E在4。上时，如图2,E尸与4C交于点G,连接NG,求线段NG的长;

(3)连接BN,在AAEF绕点A旋转过程中，求BN的最大值.

25.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、8两点，其中04=

2,S4ABe=12,点C在x轴的正半轴上，且0C=03.

(1)求直线AB的解析式;

(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线乙，直线。与y轴交于点E,与直线C8交于点过点E作

y轴的垂线⑸若点尸为y轴上一个动点，。为直线L上一个动点，求PD+PQ+。。的最小值；

(3)若点M为直线45上的一点，在y轴上是否存在点N,使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边

形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图①，在等腰RtAABC和等腰RtABDE中，ABAC=^BDE=90°,AB=AC,BD=DE,E为BC的

中点，F为CE的中点，连接力F,DF,AD.

(1)若4B=4,求AD的长度;

(2)若将△BDE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明2F=DF,AF1DF；

(3)如图③,在4BDE绕点8旋转的过程中，再将△力CF绕点4逆时针旋转60。到△相，口,连接若4B=4,

请直接写出BF，的最大值.

【限时检测】

B卷(模拟提升卷)

一、单选题

1.如图，在放AaBC和RQADE中，^BAC=^DAE=90°,AC=AD=3,AB^AE=5.连接8。，CE,将

△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当ND84最大时，AACE的面积为().

B

D

CE

A.6B.6V2C.9D.9V2

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=1x—3分别与％轴、y轴相交于点A、B,点、E、尸分别是正方形

OACD的边。。、AC上的动点，S.DE=AF,过原点。作。“1EF,垂足为“，连接HA、HB,贝lU/MB面

积的最大值为（）

A.6+5V2B.12C.6+3V2D.

3.正方形A8CD中，AB=4,点E、/分别是C。、8C边上的动点，且始终满足DE=CRDF、AE相交于点

G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角AAZ/G使得NA”G=90。，连接则的最小值为（）

A.2V5-2B.2V5+2C.V10-V2D.V10+V2

4.如图，RtAABC中，AB1BC,AB=8,BC=6,P是△ABC内部的一个动点，^^PAB=^PBC,则

线段“长的最小值为（）

B

A.YB.2C.2V13-6D.2V13-4

5.如图1,在菱形ABC。中，AB=6,/54。=120。，点E是8C边上的一动点，点尸是对角线8。上一动

点，设尸。的长度为x,PE与PC的长度和为》图2是y关于尤的函数图象，其中H(a,b)是图象上的

最低点，则的值为()

图1图2

A.7V3B.6V3+3C.8gD.3V3+6

6.如图，等边△ABC的边长为6,是BC边上的中线，M是上的动点，E是边AC上一点，若AE=2,

则EM+CM的最小值为()

A

7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点8(0,

-3),若P是x轴上一动点，点。(0,1)在y轴上，连接尸D,则V^PO+PC的最小值是()

A.4B.2+2V2C.2V2D-1+I&

8.如图，如图，OM的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是OM上的任意一点，PA1PB,PA,PB与

尤轴分别交于A,2两点，若点A、点B关于原点。对称，贝MB的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

二、填空题

9.AA8C中，A2=AC=5,BC=6,。是BC的中点，E为上一动点，点8关于。£的对称点B'在△ABC

内(不含△ABC的边上)，则BE长的范围为

10.如图，点A,8的坐标分别为2(6,0),B(0,6),C为坐标平面内一点，BC=242,M为线段4C的中

点，连接。M,当。M取最大值时，点M的坐标为.

11.如图，在AABC中，NC4B=90°,ABAC=1,尸是△28C内一点，求PA+PB+PC的最小值为

12.如图，等边AABC中，4B=10,点E为高力D上的一动点，以BE为边作等边△BEF,连接DF,CF,则

Z-BCF=,FB+FD的最小值为.

13.如图，在△ABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,ADIBC,垂足为。，尸为线段AD上的一动点，连接

PB、PC.则PA+2PB的最小值为.

14.如图，。为矩形A8C。对角线AC,8。的交点，AB=S,M,N是直线8C上的动点，且MN=2,则OM+ON

的最小值是____________

15.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩

形的长与宽之比都为鱼：1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形"4BCD中，如图所示,

点Q在DC上，且DQ=4D,若G为BC边上一动点,当AAGQ的周长最小时，则方的值为

16.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,AB=10,。是AC上一点，且C£>=3,E是BC边上一点,将

△OCE沿。E折叠，使点C落在点尸处，连接8尸，则8尸的最小值为.

、解答题

17.教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容.

如图1925,在菱形4BCD中，NBAD=

2NR试求出NB的大小，并说明“3c是等边

三角形.

图③

⑴问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程.

(2)问题探究：在菱形ABC。中，对角线AC、2£)相交于点。，4B=4,ZBAD=2ZABC.过点。作。E//AC

交BC的延长线于点E.如图②，连结0E,则的长为.

(3)如图③，若点P是对角线BZ)上的一个动点，连结PC、PE,则PC+PE的最小值为

18.在放AABC中，AB=BC,在RtzkCEH中，ZCEH=45°,/ECH=90°,连接AE.

图1图2图3

(1)如图1,若点E在延长线上，连接A8,且AH=6,求AE的长；

(2)如图2,若点E在AC上，F为AE的中点，连接8F、BH,当BH=2BF,/EH8+aNH8P=45。时，求证：

AE=CE；

(3)如图3,若点E在线段AC上运动，取AE的中点R作FHV/BC交AB于H,连接8E并延长到。，使得

BE=DE,连接A。、CD；在线段BC上取一点G,使得CG=AE并连接EG；若点E在线段AC上运动的

过程中，当AC。的周长取得最小值时，AAED的面积为25,请直接写出GE+8H，的值.

19.如图，已知一次函数y=fcv+b的图像经过A(1,4),B(4,1)两点,并且交x轴于点C,交y轴于

点D.

(1)求该一次函数的表达式；

(2)若y轴存在一点P使PA+PB的值最小，求此时点P的坐标及PA+PB的最小值；

(3)在无轴上是否存在一点使AMOA的面积等于△A08的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不

存在请说明理由.

20.已知，在正方形ABC。中，点E,尸分别为A。上的两点，连接BE、CF,并延长交于点G,连接。G,

H为CF上一点,连接卸/、DH,AGBH+/.GED=90°

GGG

图1图2备用图

(1)如图1,若H为CF的中点，且力F=2DF,DH=号,求线段的长；

(2)如图2,若BH=BC,过点8作B/1CH于点/,求证：BI+^DG=CG；

(3)如图2,在(1)的条件下，尸为线段4。(包含端点A、D)上一动点，连接CP,过点B作BQ1CP于点

Q,将ABCQ沿8C翻折得△BCM,N为直线AB上一动点，连接MN,当ABCM面积最大时，直接写出日2N+

MN的最小值.

21.如图，四边形A3C。中，AD//BC,ZB=90°,AB=8,BC=20,A£»=18,点。为BC中点，动点尸

在线段A。边上以每秒2个单位的速度由点A向点。运动，设动点P的运动时间为/秒.

(1)当/为何值时，四边形尸8。。是平行四边形，请说明理由？

(2)在边上是否存在一点R,使得8、°、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出f的值:

若不存在，请说明理由.

(3)在线段上有一点且PM=10,当点尸从点A向右运动秒时，四边形8CMP的周长最小,

其最小值为.

22.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-打一4分别与x,y轴交于点A,B,抛物线y=+人久+°恰

318

好经过这两点.

（1）求此抛物线的解析式；

⑵若点C的坐标是（0,6）,将44co绕着点C逆时针旋转90。得到△ECF,点A的对应点是点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点尸是y轴上的任一点，求（BP+EP取最小值时，点P的坐标.

23.已知抛物线y=a/+。久+c（a,b,c是常数，a＞0）的顶点为P,与无轴相交于点力（一1,0）和点8.

⑴若b——2,c——3,

①求点尸的坐标；

②直线x=m（机是常数，1＜小＜3）与抛物线相交于点与BP相交于点G,当MG取得最大值时，求

点、M,G的坐标；

（2）若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点，尸是y轴的负半轴上的动点，

当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E,尸的坐标.

24.定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”.如：在△ABC,CD1

4B于点D,AB=CD,则AABC为标准三角形.

（1）【概念感知】判断：对的打“守'，错的打“x”.

①等腰直角三角形是标准三角形.（）

②顶角为30。的等腰三角形是标准三角形.（）

（2）【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为

(3)【概念应用】如图，若AABC为标准三角形，CD14B于点D,AB=CD=1,求CA+CB的最小值.

(4)若一个标准三角形的其中一边是另一边的有倍，求最小角的正弦值.

25.已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形04BC,M为线段0C上的动点，将AdOM沿直线AM对

图①图②

(1)如图①，当NOAM=30。时，求点。'的坐标；

(2)如图②，连接CO，，当COIL4M时.

①求点M的坐标；

②连接0B,求△20'M与AAOB重叠部分的面积；

(3)当点M在线段0C(不包括端点)上运动时，请直接写出线段O'C的取值范围.

26.［问题提出］

初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问

题

［简单运用］

(1)如图1,在AABC中，AB=6,NA=60。，NB=45。，在BC上取一点。，则的长的最小值是.

［综合运用］

(2)如图1,在AABC中，AB=6,/A=60。，/B=45。，在8C、AB、AC.上分别取点。、E、F,使得ADEF

的周长最小.画出图形确定。、E、尸的位置，并直接写出的周长的最小值.

［拓展延伸］

(3)图2是由线段43、线段AC、BC组成的图形，其中NA=60。，AB=6,AC=3,BC为60。，分别在BC、

线段AB和线段AC.上取点。、E、F,使得AOEF的周长最小，画出图形确定。、E、尸的位置，并直接写

出△£(•的周长的最小值.

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

重难点04最值问题

【命题趋势】

最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也

恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉

及。

【满分技巧】

1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求

自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函

数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见

到。

2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）

几何图形中在特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据是：①两点之间，

线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角

形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；③借助于圆的知识；④二次函

数的最值法解决。

3）几何最值问题中的基本模型举例

图形

P1MN1

轴对称最值原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系

（将军饮马）A,8为定点，/为定直线，4B为定点，/为定直线，

A,B为定点，/为定直线，为直线/

特征P为直线/上的一个动P为直线1上的一个动

上的一条动线段，求AM+BN的最小值

点，求AP+BP的最小值点,求IAP-3PI的最大值

作其中一个定点关于定先平移AM或8N使N重合，然后作其中一个定点关于定

转化

直线/的对称点作其中一个定点关于定直线1的对称点直线/的对称点

A

图形

折叠最值

BNC

原理两点之间线段最短

在△ABC中，M,N两点分别是边AB,上的动点，将沿翻折，B点的对应点

特征

为B',连接A3',求的最小值.

转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

一、单选题

1.如图，E为正方形2BCD边4。上一点，AE=1,DE=3,P为对角线BD上一个动点，则

P4+PE的最小值为（）

A.5B.4V2C.2V10D.10

【答案】A

【分析】连接EC交BD于P点，根据“两点之间线段最短”，可知24+PE的最小值即为线段EC

的长，求出EC的长即可.

【详解】连接EC,交于P点

•••四边形4BCD为正方形

点和C点关于BD对称

•••PA=PC

PA+PE=PC+PE=EC

根据“两点之间线段最短”，可知P4+PE的最小值即为线段EC的长.

"：AE=1,DE=3

AO=4

•••DC=4

•••CE=JDE2+CD2=J32+42=5

••.P4+PE的最小值为5

故选：A

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练

掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.

2.如图，RtAABC中，NC=90。，AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点，过点尸作PD1

4B于点。，贝UPB+PD的最小值为（）

A.—B.—C.5D.—

453

【答案】B

【分析】作点8关于力C的对称点夕，过点夕作夕D14B于点。，交力C于点尸，点尸即为所

求作的点，此时PB+PC有最小值，连接力根据对称性的性质，可知：BP=B'P,△ABC=

A4B'C,根据SAABB，=SA/BC+SA4B，C=2SAABC，即可求出PB+P£）的最小值.

【详解】解：如下图，作点2关于4c的对称点次，过点夕作夕。，4B于点。，交AC于点P,

连接4次，点尸即为所求作的点，止匕时PB+PD有最小值，

在RtAABC中，^ACB=90,AC=4,BC=3,

AB=y/AC2+BC2=5,

根据对称性的性质，可知：△ABC2ABC

SAABB'=SA.C+S^AB'C_2SAABC，

-1-1

BP-xAB-B'D=2x-BC-AC,

22

5B'O=24,

B'D=g,

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质.

3.如图，正方形A8CD的边长为4,点M在。C上，且。M=l,N是AC上一动点，则DN+MN

的最小值为（）

A.4B.4V2C.2V5D.5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点2与。关于直线AC对称，连接交AC于N唧为

所求在RtABCM中利用勾股定理即可求出的长即可.

【详解】•••四边形ABC。是正方形，

二点、B与D关于直线AC对称，

：.DN=BN,

连接8D交AC于M,连接OW,

.•.当2、N、M共线时，ON+MN有最小值，则的长即为DN+MN的最小值，

：.AC是线段BD的垂直平分线，

又\。=4,DM=\

：.CM=CD-DM=4-1=3,

在RtABCM中，BM^CM2+BC2=<32+42=5

故DN+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线AC的对

称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+法+3的图像与x轴交于A、C两点，

与x轴交于点C(3,0),若P是x轴上一动点，点。的坐标为(0,-1),连接PD,则aPD+PC

的最小值是()

A.4B.2+2V2C.2V2D.-+-V2

23

【答案】A

【分析】过点P作PJ±BC于J,过点。作DHLBC于H,根据迎PD+PC=<2(PD+

~PC)=V2(PD+PJ),求出DP+P/的最小值即可解决问题.

【详解】解：连接2C,过点尸作PJLBC于J,过点。作。于8.

・・,二次函数y=-x2+b%+3的图像与x轴交于点C(3,0),

:・b=2,

・，・二次函数的解析式为y=-/+2%+3,令y=0,-/+2%+3=0,

解得力=-1或3,

AA(-1,0),

令x=0,y=3,

：.B(0,3),

JOB=OC=3,

9：ZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

VZ)(0,-1),

AOD=\,30=4,

VZ)H±BC,

/DHB=90。,

设DH=%,贝=x,

9：DH2+BH2=BD2,

：.x2+x2=42,

**.x=2A/2,

:・DH=25

•:PJLCB,

乙PJC=90。,

：.PJ=^PCf

：.V2PD+PC=V2(PD+^PC)=V2(PP+PJ),

•；DP+PJ>DH,

：.DP+PJ>2V2,

；・DP+PJ的最小值为2/，

.PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，得到NO2C=/OCB=45。，P/=fpC是解题的关键.

5.如图，四边形4BCD为矩形，AB=3,BC=4.点P是线段BC上一动点，点M为线段4P

上一点.4ADM=ZBAP,贝l|8M的最小值为（）

A.-B.—C.V13--D.V13-2

252

【答案】D

【分析】证明乙4MD=90°,得出点M在O点为圆心，以A。为半径的圆上，从而计算出答

案.

【详解】设AD的中点为。，以。点为圆心，A。为半径画圆

V四边形力BCD为矩形

."B4P+NM/W=90°

'.'Z-ADM=^BAP

：.^MAD+^ADM=90°

.*.Z4MD=9O°

.•.点M在。点为圆心，以A。为半径的圆上

连接。8交圆。与点N

7点2为圆。外一点

，当直线过圆心。时，BM最短

'：B02=AB2+A02,A0=-AD=2

2

：.B02=9+4=13

:.BO=V13

\'BN=BO-AO=y/13-2

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知

识.

6.如图1,正方形2BCD中，点E是BC的中点，点P是对角线4C上的一个动点，设力P=x,

PB+PE=y,当点P从力向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象

的最低点，则点M的坐标是（）

A.（4a,3V5）B.（2&,3遮）C.（3低2&）D.（3低4。

【答案】A

【分析】根据图像，当尸与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9,从而确定正方形的边长为6,

根据将军饮马河原理，连接。E交AC于点G,当点P与点G重合时，PE+PB最小,且为

OE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标.

【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9,

:点£是2C的中点，

：.BC=6,

连接OE交AC于点G,当点尸与点G重合时，尸E+PB最小，且为AE的长即点M的纵坐标,

:四边形ABC。是正方形，AB=6,

:.CE〃AD,AC=V62+62=6A/2,D£=V62+32=3V5,

：.ACGE^/\AGD,

,CG_CE_1

**4G-40・2，

・AC3

••—―f

AG2

；.AG=4>②

故点M的坐标为(4V2,3V5),故A正确.

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军

饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解

题的关键.

7.如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，尸为对角线8。上的动点，若A8=2,ZA=

120。，则PM+PC的最小值为()

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【分析】连接AM、AC,AM交BD于P,此时PM+PC最小，连接CP,由菱形的性质可知

C和A关于BD对称,AP=CP,由条件易证△ABC是等边三角形,根据三线合一可知AMIBC,

再根据勾股定理可求AM的值，即可求解.

【详解】解：连接AM、AC,AM交8。于P,

此时PM+PC最小，连接CP,

•.•四边形ABCO是菱形,

/.OA=OC,AC±BD,

，C和A关于BD对称，

：.AP=PC,

•/ZA=120°,

ZABC=60°,

...△ABC是等边三角形,

：.AC=AB=2,

是BC的中点，

J.AMLBC,

：.ZBAM=30°,

：.AM=y/AB2-BM2=V3,

：.PM+PC=AM=y/3.

故选B.

【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与

性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置.

8.如图，。。的半径是连，P是。。上一动点，A是。。内部一点，且4。=百，则下列说

法正确的是()

①力的最小值为乃②用的最大值为遍+遮；③当N04P=90。时，△外。是等腰直

角三角形；④△N9面积最大为|.

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】分析知当A在线段尸。上时，取最小值，A在尸。延长线上时，B4取最大值，可

以判断①②是否正确；当N。4P=90。时，根据勾股定理求出AP的长度，可以判断③是否正

确；作出A点的轨迹圆，知当04，尸。时，三角形外。面积取最大值，通过计算判断④是

否正确即可.

【详解】解：由题意知，当A在线段P。上时，B4取最小值，A在尸。延长线上时，B4取最

大值，

...BA的最小值为连-百，B4的最大值为e+,，

故①②正确；

当4P=90。时，根据勾股定理得：AP=J(V6)2-(V3)2=V3,

即AP=OA,三角形以。为等腰直角三角形，

故③正确；

作出A点轨迹圆如下：

p

知当。4，尸。时，三角形RLO面积取最大值，最大值为：|xV3xV6-^,

故④错误,

综上所述，正确的序号为：①②③,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的

最值是解决本题的关键.

二、填空题

9.如图，在RtAABC中，AACB=90°,4C=BC,点C在直线MN上，4BCN=30°,点、P为

MN上一动点，连接AP,BP.当4P+8P的值最小时，NC8P的度数为度.

【答案】15

【分析】如图，作8关于MN的对称点D,连接力D,BD,CD,4P+BP的值最小，则MN交4D

于P,由轴对称易证NCBP=ACDP,结合乙BCN=30。证得△BCD是等边三角形，可得4c=

CD,结合己知根据等腰三角形性质可求出NCDP,即可解决问题.

【详解】如图，作8关于MN的对称点。，连接

•MP+BP的值最小，

则MN交4。于尸，由轴对称可知：

CB=CD,PB=PD,

•••Z-CBD=Z.CDB,Z.PBD=乙PDB,

•••Z.CBP=Z.CDP,

•・•乙BCN=30°,

•••(BCD=2Z,BCN=60°,

・•.△BCD是等边二角形，

•・,AC=BC,

•••AC=CD,

:.Z.CAD=Z-CDA,

•・•^LACB=90°,乙BCD=60°,

•••/LCAD=MDA=1(180°-Z.ACB-/.BCD)=15°,

•••ACBP=乙CDP=15°,

故答案为：15.

【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性

质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键.

10.如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1,DF=2,若P为对角线2C上一动点，贝|

EP+FP的最小值为.

【答案】3

【分析】作F点关于8。的对称点P,连接交BD于点P,贝UPF=PF1由两点之间线段最

短可知当E、P、9在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF，的长度即可.

【详解】解：作F点关于8。的对称点口，贝UPF=PF，，连接EF'交BD于点P.

EP+FP=EP+F'P.

由两点之间线段最短可知：当E、P、F'在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=

EP+F'P=EF'.

••・四边形ABC。为菱形，周长为12,

AB=8C=CO==3,AB\\CD,

•••AF=2,AE=1,

•••DF=AE=1,

••・四边形AEF'D是