概率（讲义）（解析版）-2025年中考数学一轮复习

第34讲概率

目录

题型04列举法求概率

一、考情分析题型05画树状图法/列表法求概率

二、知识建构题型06几何概率

考点一概率的相关概念题型07由频率估计概率

题型01事件的分类题型08用频率估计概率的综合应用

题型02判断事件发生可能性的大小题型09放回实验概率计算方法

题型03理解概率的意义题型10不放回实验概率计算方法

题型04判断几个事件概率的大小关系题型11游戏公平性

考点二概率的计算方法题型12概率的应用

题型01根据概率公式计算概率题型13概率与统计综合

题型02根据概率作判断

题型03已知概率求数量

考点要求新课标要求命题预测

概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年

概率的相

>能通过列表、画树状图等方法列出都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预

关概念

简单随机事件所有可能的结果，以计2024年各地中考还将出现.该专题考题的类型也比较

及指定随机事件发生的所有可能结的固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概率

果，了解随机事件的概率.的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问题

概率的计

>知道通过大量重复试验，可以用频结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分析.

算方法

率估计概率.因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时要

多加注意即可.

概率的定义及计算公式题型01事件的分类

概率的相题型02判断事件发生可能性的大小

关概念确定事件后随机事件题型03理解概率的意义

题型04判断几个事件概率的大小关系

概题型01根据概率公式计算概率

题型02根据概率作判断

题型03已知概率求数量

公式法题型04列举法求概率

列举法题型05画树状图法/列表法求概率

题型06几何概率

概率的计画树状图法,题型07由频率估计概率

算方法题型08用频率估计概率的综合应用

列表法题型09放回实验概率计算方法

用频率估计概率的方法.题型10不放回实验概率计算方法

题型11游戏公平性

题型12概率的应用

题型13概率与统计综合

考点一概率的相关概念

一夯基-必备基础知识梳理

1.概率的定义及计算公式

概率的定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率,

记为P（A）.

概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.

随机事件出现的次数

概率公式:P（随机事件）=

所有可能出现的结果数

2.确定事件与随机事件

定义事件发生的概率

确必然在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，P（必然事件）=1

定事件这些事情称为必然事件。

事不可能在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发P（不可能事件）=0

件事件生，这些事情称为不可能事件。

不确定事件在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，Q<P（随机事件）

（随机事件）这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。

提升-必考题型归纳

题型01事件的分类

【例1】（2023.安徽合肥.统考模拟预测）彩民李大叔购买1张彩票，中奖.这个事件是（）

A.必然事件B.确定性事件C.不可能事件D.随机事件

【答案】D

【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论.

【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件.

故选：D.

【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断.

【变式1T】（2023•湖北武汉•统考模拟预测）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

【答案】D

【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可

【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；

B、水涨船高是必然事件，不符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；

D、水中捞月是不可能事件，符合题意；

故选D

【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键.

【变式1-2]（2023•辽宁葫芦岛•统考一模）下列事件是必然事件的是（）

A.三角形内角和是180。B.端午节赛龙舟，红队获得冠军

C.掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上D.打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况

【答案】A

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【详解】解：A、三角形内角和是180。是必然事件，故此选项符合题意；

B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；

C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；

D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.

【变式「3】（2021•贵州贵阳・统考一模）如图，电路图上有4个开关4、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开

关4B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）

A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关C.只闭合3个开关D.闭合4个开关

【答案】B

【分析】观察电路发现，闭合4B或闭合C,0或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案.

【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，

只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；

闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；

只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；

只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意.

故选B.

【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关

键.

【变式1-4]（2024•福建福州•校考一模）下列事件中是随机事件的是（）

A.明天太阳从东方升起

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯

C.平面内不共线的三点确定一个圆

D.任意画一个三角形，其内角和是540。

【答案】B

【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A.明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；

C.平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；

D.任意画一个三角形，其内角和是540。，是不可能事件，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，

一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定

条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.

题型02判断事件发生可能性的大小

【例2】（2022•广东中山・统考一模）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”.比赛

规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1,2,3分别写在3张同样的纸

条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正

确的是（）

A.小星抽到数字1的可能性最小B.小星抽到数字2的可能性最大

C.小星抽到数字3的可能性最大D.小星抽到每个数的可能性相同

【答案】D

【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小.

【详解】解：每个数字抽到的概率都为：/

故小星抽到每个数的可能性相同.

故选：D.

【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键.

【变式2-1］（2021・河北唐山•统考一模）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出

一个球，摸到红球可能性最大的是（）

【答案】D

【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可.

【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性=2；

第二个袋子摸到红球的可能性=i；

第三个袋子摸到红球的可能性磊=

第四个袋子摸到红球的可能性二=

105

故选：D.

【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，

难度适中.

【变式2-2］（2023•安徽芜湖・芜湖市第二十九中学校考一模）袋子里有8个红球，机个白球，3个黑球，每

个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则小的值不可能是（）

A.1B.3C.5D.10

【答案】D

【分析】根据摸到红球的可能性最大可得袋子里红球的个数最多，从而可得0＜小＜8,由此即可得.

【详解】解：因为从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大，

所以袋子里红球的个数最多，

所以0＜小＜8,

所以在四个选项中，血的值不可能是10,

故选：D.

【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小,根据事件发生的可能性的大小求出山的取值范围是解题关键.

【变式2-3］（2023・贵州贵阳•校考一模）将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1〜4四个数

字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（）

A.数字大于2的卡片B.数字小于2的卡片

C.数字大于3的卡片D.数字小于4的卡片

【答案】D

【分析】根据事件发生的可能性进行分析即可.

【详解】将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1〜4四个数字，随机抽出一张，共有4种情

况，且出现数字为1,2,3,4的可能性相等

其中抽出数字大于2的卡片有2种情况；抽出数字小于2的卡片有1种情况；抽出数字大于3的卡片有1

种情况；抽出数字小于4的卡片有3种情况，D选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性的大小.熟练掌握判断事件发生的可能性的大小是解题的关键.

方法技巧

判断事件发生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大为100%,不可能事件的可

能性最小为0,随机事件的可能性有大有小，其发生可能性介于0—100%.在随机事件中，要想判断随

机事件发生的概率就要列举出随机事件中可能出现的各种结果，其中包含的结果数多的事件发生的可能

性大.所以平时要多加练习如何列举全随机事件中包含的各种结果，如果少列举一种都会造成错误结果.

题型03理解概率的意义

【例3】（2022・广东深圳•校考一模）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为尸，则（）

A.尸=0B.0cp＜1C.P=1D.P＞1

【答案】C

【分析】根据不可能事件的概率为0,随机事件的概率大于0而小于1，必然事件的概率为1,即可判断.

【详解】解：：一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，

都和前12人中的一个人同一个月过生日

...“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件，

即这一事件发生的概率为P=1.

故选：C.

【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键.

【变式3-1］（2022.安徽芜湖.统考一模）县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%,下列理解

正确的是（）

A.明天千岛湖镇下雨的可能性较大

B.明天千岛湖镇有90%的地方会下雨

C.明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨

D.明天千岛湖镇一定会下雨

【答案】A

【分析】概率是表示事件发生可能性大小的量，据此解得此题即可.

【详解】解：千岛湖镇明天下雨概率是90%,表示千岛湖镇明天下雨的可能性很大，但不是将有90%的地

方下雨，不是90%的时间下雨，也不是明天肯定下雨，

故选：A.

【点睛】此题考查概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键.

【变式3-2］（2022•河北石家庄•校联考一模）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5.则下列

判断正确的是（）

A.连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次

B.连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次

C.连续掷2n次时，正面朝上一定会出现几次

D.当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5

【答案】D

【分析】根据概率的意义即可得出答案.

【详解】解：A.连续掷2次时，正面朝上有可能出现，还有可能不出现，故选项A判断不正确；

B.连续掷100次时，正面朝上不一定会出现50次，故选项B判断不正确；

C.连续掷2n次时，正面朝上不一定会出现n次，故选项C判断不正确；

D.当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5,正确，故选项D符合题意，

故选：D

【点睛】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键.

【变式3-3］（2023•山西晋城・统考一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，

但下列物品不能做替代物的是（）

A.一枚均匀的普通六面体骰子B.两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃）

C.两个只有颜色不同的小球D.一枚图钉

【答案】D

【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为点若用其它物体代替只要此物

体只能出现这两种情况且概率为押可.

【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为条能作替代物，故不符合题

思；

B、两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃），两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为5

与抛硬币一样，故不符合题意；

C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意；

D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考.

题型04判断几个事件概率的大小关系

【例4】（2021•福建福州・福州三牧中学校考二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外

没有任何其他区别.其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀.若从袋中随机取出1个球，取出红球的

可能性大，则红球的个数是（）

A.4个B.5个C.不足4个D.6个或6个以上

【答案】D

【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案.

【详解】解：；袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，

红球的个数比白球个数多，

红球个数满足6个或6个以上，

故选D.

【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可.

【变式4-1］（2023•广东云浮・统考二模）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事

件是（）

A.朝上一面的点数大于2B.朝上一面的点数为3

C.朝上一面的点数是2的倍数D.朝上一面的点数是3的倍数

【答案】A

【分析】分别利用概率公式计算每个选项的概率后比较即可得出答案

【详解】解：选项A的概率

63

选项B的概率;

选项C的概率：=I

62

选项D的概率；=1

63

由2＞三＞工〉工

3236

故选：A

【点睛】本题考查概率公式的应用，解题的关键是能准确找出所求情况数与总情况数

【变式4-2］（2020•内蒙古鄂尔多斯•统考一模）桌子上有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯

75%的酒精，3杯双氧水，从6个杯子中随机取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列：（填

序号即可）①取到75%的酒精；②取到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84消毒液.

【答案】③②①④

【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可.求比例时，应注意记清各自的数目.

【详解】•・•有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯双氧水，

二①取到75%的酒精的概率是；=|；

63

②取到双氧水的概率是23

oZ

③没有取到75%的酒精的概率是:=

63

④取到84消毒液3

...按事件发生的可能性从大到小排列：③②①④；

故答案为：③②①④.

【点睛】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情

况数之比.

考点二概率的计算方法

夯基-必备基础知识梳理

公式法P（A）=其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.

在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列

举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.

【注意事项】

列举法

1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.

2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个②每个结果出现的可能性相等.

3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.

当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图

法.

画树状图法求概率的步骤：

画树状图法

1）明确试验由几个步骤组成；

2）画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；

3）根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.

当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，

这种方法叫列表法.

列表法列表法求概率的步骤：

1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；

2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；

3）利用概率公式P（A）=々，计算出事件的概率.

通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示

用频率估计出一定的稳定性.因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.

概率的方法适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等

时，一般通过统计频率来估计概率.

易混易错

1.当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地

列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法.当试验包含三步或三步以上时，不能

用列表法，用画树状图法比较方便.

2.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确.

.提升-必考题型幽

题型01根据概率公式计算概率

【例1】（2023•广西•模拟预测）书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为（）

「11B.-1C.-2D.-

4323

【答案】B

【分析】根据概率公式直接求概率即可;

【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果,

选中的书是物理书的结果有1种，

.•.从中任取1本书是物理书的概率三.

故选：B.

【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数?总的结果数是解题关键.

【变式1T】（2023•湖北武汉・统考模拟预测）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜

色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（）

3111

A.-B.-C.-D.-

4234

【答案】A

【分析】根据概率公式计算，即可求解.

【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球为红球的概率是2

故选：A

【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可

能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键.

【变式1-2］（2023•广西•模拟预测）老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中

甲同学的概率是（）

1113

A.-B.-C.-D.-

5434

【答案】B

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找到全部情况的总数以及符合条件的情况，两者的比值就是其发

生的概率的大小.

【详解】解：根据题意可得：从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，总数是4个人，

符合情况的只有甲一个人，所以概率是尸=；,

4

故选：B.

【点睛】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有a种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A

出现，”种结果，那么事件A的概率尸（A）=：

【变式1-3］（2023•辽宁抚顺・统考一模）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自

由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的

概率是.

【答案】I

【分析】由题意知，一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，标有奇数的三角形

有3个，用奇数的个数除以数字的总数即为这个数是一个奇数的概率.

【详解】解：一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，上面分别标有奇数的三角

形有3个，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数，这个数是一个奇数的概率是：3+5=，

故答案为：|.

【点睛】本题考查概率的求法与运用.一般方法：如果一个事件有几种可能，而且这些事件的可能性相同，

其中事件2出现6种结果，那么事件4的概率PQ4）=?.

题型02根据概率作判断

【例2】（2020•北京•一模）一个不透明的袋中装有8个黄球，ni个红球，几个白球，每个球除颜色外都相同.任

意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列相与n的关系一定正确的是（）

A.771=71=8B.7l—7n=8C.771+71=8D.771—72=8

【答案】c

【分析】先根据概率公式得出：任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率（用含加、〃的代数式表

示），然后由这两个概率相同可得相与〃的关系.

【详解】解：：一个不透明的袋中装有8个黄球，“个红球，"个白球，

.••任意摸出一个球，是黄球的概率为：丁匚，不是黄球的概率为：言匕，

8+m+n8+m+n

V是黄球的概率与不是黄球的概率相同，

,8_m+n

••f

8+m+n8+m+n

8.

故选：c.

【点睛】此题考查了概率公式的应用，属于基础题型，解题时注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比.

【变式2-1］（2015•河北石家庄•统考一模）己知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5,

则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路4B之间，电流能够正常通过的概率是.

【答案】

74

【分析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5,可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25,

进而由概率的意义可得一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率.

【详解】解：根据题意，某一个电子元件正常工作的概率为0.5,即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5,

则两个元件同时不正常工作的概率为0.25（正常正常，正常不正常，不正常正常，不正常不正常）

故一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率=1-0.25=0.75

故答案为：0.75.

【点睛】本题考查了等可能事件的概率，于基础题，到的知识点为：电流正常通过的概率=1-电流不能正常

通过的概率.

【变式2-2］（2023・福建厦门•统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其

他差别.从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为豹勺事件：.

【答案】摸出红球

【分析】根据概率公式确定答案即可.

【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是1.

故答案为：摸出红球.

【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键.

题型03已知概率求数量

【例3】（2023•广东・统考二模）一个不透明的口袋中装有〃个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两

个红球，它们除颜色外其它完全相同.通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则〃

的值为（）

A.18B.20C.22D.24

【答案】A

【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为由此根据概率计算公式

建立方程求解即可.

【详解】解：由题意得，告=0.1，

n+2

解得n=18,

经检验，n=18是原方程的解，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率

值是解题的关键.

【变式3-1］（2023•山东临沂・统考一模）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差

别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为:，则这个箱子中黄球的个数为个.

4

【答案】15

【分析】设黄球的个数为x个，根据概率计算公式列出方程，解出x即可.

【详解】解：设黄球的个数为尤个，

5_1

x+54

解得：x—15,

检验：将x=15代入x+5=20,值不为零，

•'-X=15是方程的解，

黄球的个数为15个，

故答案为：15.

【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键.

【变式3-2］（2018•四川成都•成都外国语学校校考一模）袋中装有6个黑球和几个白球，经过若干次试验，发

现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为，，则这个袋中白球大约有个.

4

【答案】2

【分析】根据已知概率与概率公式列出方程，解方程即可求解.

【详解】解:•••袋中装有6个黑球和几个白球，

袋中一共有球（6+n）个，

・•・从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为I

4

•.•6=一3,

6+n4

解得：n=2（经检验符合题意）.

故答案为：2.

【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.注意方程

思想的应用.

【变式3-3］（2020•辽宁鞍山•统考一模）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色

外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20

次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为.

【答案】24

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入

手，设未知数列出方程求解.

【详解】解：：共试验100次，其中有20次摸到红球，

白球所占的比例为：1-芸=$

1005

设袋子中共有白球X个，则a=：，

6+x5

解得:尸24,

经检验：424是原方程的解，

故答案为：24.

【点睛】本题考查利用频率估计概率.关键是根据白球的频率得到相应的等量关系.

【变式3-4］（2023・广西南宁・广西大学附属中学校联考一模）黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具

体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，将

球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重

复摸球实验.下表是这次活动的一组统计数据：

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数相263850127197251

摸到白球的频率'

n0.2600.2530.2500.2540.2460.251

(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为

(精确到0.01)；

(2)试估算盒子里有多少个白球？

(3)根据第(2)题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的

概率.

【答案】⑴0.25

(2)1

⑶3

【分析】(1)大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根

据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据

此可得.

(2)设盒子里有万个白球，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案；

(3)先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出“摸到两个颜色相同小球”的结果数，然后根据概

率公式求解.

【详解】(1)从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为0.25；

故答案为：0.25；

⑵设盒子里有x个白球，根据题意，得：；=。25,

解得：x—1,

•••盒子里有1个白球.

(3)随机摸出两球的树状图如下：

开始

白里黑，、、、

/K/N/T\

里里里里里白里里F黑黑白

共有12种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”6种结果，

“摸到两个颜色相同小球”的概率是e=i

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固

定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概

率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

题型04列举法求概率

【例4】（2023•湖北武汉•校考模拟预测）随着信息化的发展，二维码己经走进我们的日常生活，其图案主要

由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的J—I―I—”进行涂色，每个小正方形随机涂

成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（）

1312

A.-B.-C.-D.-

3823

【答案】B

【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解.

【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，

rmrm

共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，

，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为：，

O

故选：B

【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键.

【变式4-1］（2023•广东佛山•校考一模）宋代程颖的《秋月》有四句古诗如下：

①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；

③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里

这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（）

A.—B.—C.—D.—

12182464

【答案】c

【分析】本题是排序古诗相当于简单随机事件中的“不放回”事件，求出总的可能为24,第一次调整可能占

其中一种，第一次就调整正确的可能性大小是

【详解】解:这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况:①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，

②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，

③②①④，③②④①,③④①②,③④②①，④①②③,④①③②,④②①③，④②③①，④③①②，④③②①

因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种④②①③，

故第一次就调整正确的可能性大小是白.

24

故答案选：C

【点睛】本题是考查等可能概型的概率计算公式计算概率，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求

解是解决本题的关键.当出现可能结果多种时，用树状图辅助列出所有可能出现的结果.

【变式4-2].（2021•山东潍坊•校考二模）现有下列长度的五根木棒：3,5,8,10,13,从中任取三根，可

以组成三角形的概率为.

【答案】|

【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.

【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：

3、5、8

3、5、10

3、5、13

3、8、10

3、8、13

3、10、13

5、10、13

5、8、10

5、8、13

8、10、13

其中能组成三角形的有：

①3、8、10,由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；

②5、10、13,由于10-5<13<10+5,所以能构成三角形；

③5、8、10,由于8-5<10<8+5,所以能构成三角形；

④8、10、13,由于10-8<13<10+8,所以能构成三角形；

所以有4种方案符合要求，

故能构成三角形的概率是P=M|，

故答案为：|.

【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考

虑要全面，不能重复也不能遗漏.

题型05画树状图法/列表法求概率

【例5】（2023•山东济南・统考一模）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2

名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（）

A.-BCD

2-；-J-卷

【答案】A

【分析】根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生

的概率.

【详解】解:画树状图得:

开始

第一个人

第二个人

.,•一共有12种情况，抽取到甲的有6种,

（抽到甲）.母

故选：A.

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【变式5-1］（2022•广东深圳•校考一模）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概

率是（）

A.—BCD

12-3-3-I

【答案】B

【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7

的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率.

【详解】列表如下:

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为6,

故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是：

366

故选：B.

【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所

有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点.

【变式5-2](2023•辽宁沈阳•模拟预测)一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面

上分别标有数字1、2、3,搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸

出1个球，记下数字.

(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是;

(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率.

【答案】⑴]

(2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为!

【分析】(1)直接利用概率公式求解即可；

(2)画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出

答案.

【详解】(1)解：•••袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，

，第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是:

故答案为：

(2)解：画树状图如下：

开始

/K1/2N/3K

123123123

共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),

共4种，

两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为:

【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

【变式5-3](2023•陕西宝鸡・统考一模)有五个封装后外观完全相同的纸箱,且每个纸箱内各装有一个西瓜，

其中，所装西瓜的重量分别为6kg,6kg,7kg,7kg,8kg.现将这五个纸箱随机摆放.

(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是；

(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg

的概率.

【答案】⑴|

(2)见解析，!

【分析】(1)直接根据概率公式计算；

(2)先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率

公式计算.

【详解】(1)解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是|,

故答案为：

(2)解：列表如下：

第二个

66778

第一个

612131314

612131314

713131415

713131415

814141515

由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种.

：.P=---.

205

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果

求出W,再从中选出符合事件A或B的结果数目加，从而求出概率.

【变式5-4](2023・陕西西安•校考模拟预测)如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等

的扇形(两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同)，转盘甲上的数字分别是-6,-1,8,转盘乙上的数

字分别是-4,5,7(规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次).

(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是;转盘乙指针指向正数的概率是

（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为m转盘乙指针所指的数字记为6,请用列表法或树状

图法求满足a+b<0的概率.

【答案】（峙|

⑵满足a+b<0的概率为

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【详解】（1）解：转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是土

转盘乙指针指向正数的概率是|.

故答案为：：；|.

（2）解：列表如下：

乙甲-1-68

-4-5-104

54-113

76115

由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+XO的有3种结果，

二满足a+b<0的概率为g=1.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出“，再从中选出符

合事件A或B的结果数目的求出概率.

题型06几何概率

【例6】（2023•安徽合肥•统考模拟预测）如图，在5x6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色

外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方

形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形。48

（阴影部分）的概率是（）

A.二