利用导数研究函数的零点问题及方程的根-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根

（6类核心考点精讲精练）

考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

利用导数研究具体函数单调性

函数对称性的应用

2024年新H卷，第11题,6分利用导数研究函数的零点

极值与最值的综合应用

判断零点所在的区间

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年新H卷，第22题,12分利用导数研究函数的零点利用导数研究不等式恒成立问题

根据极值点求参数

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

2022年新I卷，第10题,5分利用导数研究函数的零点

求已知函数的极值点

2022年新I卷,第22题,12分利用导数研究方程的根由导数求函数的最值（含参）

求离散型随机查量的均值

2021年新H卷，第21题,12分利用导数研究方程的根

均值的实际应用

2021年新II卷,第22题,12分利用导数研究函数的零点含参分类讨论求函数的单调区间

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题

3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

知识讲解

利用导数研究函数零点的方法

（1）通过最值（极值）判断零点个数的方法

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零

点个数或者通过零点个数求参数范围.

（2）数形结合法求解零点

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图

数形结合确定其中参数的范围.

（3）构造函数法研究函数零点

①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在

给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.

②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转

化与化归的思想方法.

利用导数研究函数方程的根的方法

（1）通过最值（极值）判断零点个数（方程的根）的方法

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零

点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.

（2）数形结合法求解零点（方程的根）

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图

数形结合确定其中参数的范围.

（3）构造函数法研究函数零点（方程的根）

①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）

寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.

②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转

化与化归的思想方法.

考点一、求函数零点及其个数

典例引领

L(2024•湖北武汉•模拟预测)已知函数〃无)=ln尤-g/geR).

(1)当。=1时，求/(X)的最大值；

(2)讨论函数/(x)在区间口,］上零点的个数.

【答案】⑴-g

⑵答案见解析

【分析】(1)求函数/'(x)的定义域及导函数，求。=1时方程/'(x)=0的解，分区间确定函数的单调性，

单调性求最值；

(2)函数的零点，即方程。=坐的解，设g(x)=坐，利用导数研究函数g(x)的性质，讨论

XX

结合图象确定函数〃X)的零点个数.

【详解】(1)/(X)的定义域是(0,+。),

•••/(x)=Xnx-^-ax1(aeR),f'(x\=--ax=^aX,

2xx

i_2

当a=l时，/'(%)=---r-=0,得X=±1.

,/x>0

.•.当xe(O,l)时，r(x)>0,函数/(x)单调递增，

当xe(l,+”)时，r(x)<0,函数/(x)单调递减

・・・当x=l时，函数/(x)取最大值，最大值为了⑴=-；：

(2)由〃x)=0,得。=罢，

人/、21nxe],(x2-41nx

令g(x)=G^,贝Ug(x)=―｝一，

由g'(x)>。得1<x<Ve,

由g［x)<0,得五eve?,

g(x)在区间［1,八］上单调递增，在区间［八,e［上单调递减,

又g⑴=0，g(Ve)=|,g(，)=g,

作函数g(x)的图象如下：

综上：当04a<?或“=:时，/•(工)在［1,62］上有一个零点，

当,4a寸，在［l,e］上有2个零点，

当a<0或时，仆)在口,叫上没有零点.

2.(2024・湖南长沙•三模)已知函数/(x)=xe*Tg(x)=hix-加x/weR.

⑴求/(x)的最小值;

⑵设函数〃(x)=/(x)-g(x),讨论力(X)零点的个数.

【答案】⑴最小值

e

⑵答案见解析

【分析】(1)先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值；

⑵令力(x)=0,得屋一也吐1+加=0,令M》)=e-叵望+〃?，则”x)与左(x)有相同的零点，利用导数

XX

求出函数左(切的极值点，再分类讨论机即可得出结论.

【详解】⑴"X)的定义域为R/(x)=(x+l)e"

则当x<-l时，r(x)<0；当x>-l时，/f(x)>0,

所以/(x)在区间(-双-1)上单调递减，在区间(-1,+8)上单调递增，

因此的最小值为〃-1)=」-1；

e

x

(2)//(x)=xe-lwc+mx-1f且x£(0,+oo),

令〃(力=0,得+加=0,

x

令Mx)=e'-咛1■+〃?，则”x)与左⑺有相同的零点，

且心…一匕粤却=立誓,

XX

令厂(x)=x2ex+lnx,则/(x)=+2x)e*+—,

因为当x>0时，则/(x)>0,所以r(x)在区间(0,+8)上单调递增，

又r1J=ee2_«0/(1)=00,所以骂e1』)，使厂(%)=0,

且当xe(O,Xo)时，r(x)<0,即乂(x)<0；当xe(毛,+(»)时，r(x)>0,即M(x)>0,

所以在区间(O,xo)上单调递减,在区间优,+司上单调递增，

因此Mx)的最小值为无伉)=1。-蛆山+加，

X。

1In—

由「(%)=0,得x；e"+1叫=0,即/e'。=In—e*,

%

令夕(x)=/(x)+1,则0(X)在区间(0,+动上单调递增,

因为,<玉)<1，所以ln，>。，贝IJ夕(Xo)=91ln',

X1

所以工0=-1%)，从而Inx。=一%,即eo=一，

所以的最小值左(无0)=6与-lnX°+1+m=m+l,

%0

所以当加>-1时，左⑴没有零点；

当机=7时，左口)有一个零点；

当〃7<-1时，因为无(%)<0,

当X趋近于0时，左(%)趋近于+8;当X趋近于+00时，左(X)趋近于+CO,

所以上3有两个零点.

综上，当%>-1时，“X)的零点个数为0；

当加=-1时，力(X)的零点个数为1；

当〃7<-1时，〃(尤)的零点个数为2.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象,

然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思

想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由〃x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线夕=。与函数y=g(x)的图

象的交点问题.

3.(2024•河北保定•二模)已知函数/(x)=asinx+xcosx.

⑴若a=o,求曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程;

(2)若兀)，试讨论/(x)的零点个数.

【答案】⑴"x

(2)答案见解析

【分析】(1)求得了(x)的导数，可得切线斜率和切点，从而求得切线方程；

(2)由/(x)为奇函数，将问题转化为讨论/(X)在(0,兀)上的零点，求得导数，讨论“>-1,a=-\,

和aV-2,求得/(x)的单调性、极值和最值，结合零点存在定理，即可得到零点个数.

【详解】(1)当a=0时，/(x)=xcosx,/(0)=0.

f'(x)=cosx-xsinx,/f(0)=1.

故曲线y=在点(oj(o))处的切线方程为了=尤.

(2)因为/(-x)=-/(x),所以/(X)为奇函数.

又因为/(o)=o,所以只需要讨论〃尤)在(0㈤上的零点.

/'(x)=(a+l)cosx-xsinx,/f(0)=a+1.

令函数g(x)=/1x)=(a+l)cosx-xsinx,=-(a+2)sinx-xcosx

①当a+l>0,即。>-l时，分段讨论：

当时xe；，j，/'(x)<0.

当时，g,(x)<0,所以g(x)在(0高上单调递减，即/'(x)在由上单调递减

因为/'(0)=a+l>0,/^=-^<0,所以存在使得/'(x°)=0.

当xe(O,x())时，/,(x)>0,当xe(xo,7t)时,f'[x)<Q,

所以/(x)在(O,x0)上单调递增，在伉,兀)上单调递减.

因为〃0)=0,/⑺=-无<0,所以f(x)在(0,兀)上有1个零点,

〃%）在（-71：,71）上有3个零点.

②当a+l=O,即a=-l时，/'（x）=-xsinx＜0,〃x）在（0,兀）上单调递减，

所以73在（0,兀）上没有零点，在（-兀,兀）上有1个零点.

③当。+240,即aW-2时，分段讨论：

当时，f（x）＜0.

当时，g'（x）＞0,所以g（x）在j上单调递增，即/'（X）在1/J上单调递墙

因为'[3=-]＜0，/⑺=一（。+1）＞°，所以存在看eg,j,使得/'（为）=0.

当xe（O,xJ时，f'（x）＜0,当xe（x],7r）时，f'（x）＞0,

所以在（0,再）上单调递减，在（西,兀）上单调递增.

因为/（0）=0,/⑺＜0,

所以73在（o㈤上没有零点，在（-私兀）上有1个零点.

[Q+1＜0

④当c八，即一2＜。＜一1时，分段讨论：

[Q+2＞0

当时，/\x）＜0.

当x时，令函数人（工）=g'（x）=-（〃+2）sinx—xcosx,

川（x）=-（«+3）cosx+xsinx＞0.

所以Mx）在上单调递增，即g'（x）在信，、上单调递增.

因为g'D=-（a+2）＜°，g'（兀）=兀＞0,所以存在x?eg”,使得

所以g（x）在\上单调递减，在（乙，%）上单调递增，

即在/'（X）在信,xj上单调递减，在兀）上单调递增.

因为/[；]=一1＜0,/，（7i）=-（a+l）＞0,所以存在X3€色,兀），使得g（X3）=0.

当时xe®%）,/，（x）＜0,当xe（%3,兀）时，/'（%）＞。，

所以在（0,天）上单调递减，在（9,无）上单调递增.

因为/（。）=0，/㈤＜0,

所以/（X）在（o㈤上没有零点，在（-兀，兀）上有1个零点.

综上，当。＞-1时，在（-无,兀）上有3个零点；

当时,/（x）在（-再兀）上有1个零点.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象,

然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思

想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由〃x）=0分离变量得出a=g（x）,将问题等价转化为直线＞与函数y=g（x）的图

象的交点问题.

即0唧（

1.（2024・山东•模拟预测）已知函数〃x）=；e'-4.

（1）求曲线昨在点（1J0））处的切线/在y轴上的截距;

（2）探究“X）的零点个数.

【答案】⑴

⑵〃x）有两个零点

【分析】（1）求得/=得到了3=宗；，=?-1,利用导数的几何意义，求得切线

方程，进而求得其在了轴上的截距；

⑵得到了'（x）=：e一击在（0,+动上递增，结合/（,仙/⑴"，得到弱eg,1）,使得/伉）=0,

进而求得了（无）单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.

【详解】⑴解析：由函数I（x）=；e—&,可得/'（力=；雇-；,所以八1）=宗;，

又/⑴=?T，所以/的方程为kR-；］（XT）+：T,即了=［：-；］尤-；，

令x=0,可得y=-g,所以直线/在了轴上的截距为一;.

（2）解：因为》=%*和〉=-/=在（0,+功上均单调递增，

所以/'(x)=为=5在(0,+劝上单调递增，

又因为=/⑴=3_；)0,所以训,使得为(％)=0,

所以，当xe(O,x°)时，r(x)<0,〃x)在(O,x0)单调递减；

当xe(%o，+8)时，/(x)>0,/(x)在(无(),+8)单调递增,

又因为f岛〉MJ〉。/⑴{-“。)⑷一一小,

所以/(x)有两个零点.

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：

工、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围

2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.

结论拓展：与二和Inx相关的常见同构模型

①ae"61n6oe"lne"<61nb,构造函数/(x)=xlnx或g(x)=xe"；

@--7<--->构造函数/'(》)=丁匚或g(x)=J；

a\nbIneInZ?Inxx

③e"±a>6±ln6=e"±lne">b±\nb,构造函数7(x)=x±lnx或g(x)=e"土x.

2.(2024・浙江•模拟预测)已知函数/(x)=a(e'+sinx)-x-l.

⑴当时，求的单调区间；

(2)当a=1时，判断〃x)的零点个数.

【答案】⑴减区间为(-％0),增区间为(0,+8);

(2)2个.

【分析】(1)求导，当x<0时，利用指数函数性质和余弦函数有界性可判断导数符号，当x>0时，利用二

次导数判断导函数单调性，然后可得导函数符号；

(2)当x>0时，利用二次导数判断了(x)的单调性，当时，利用指数函数性质和正弦函数有界性可

判断函数值符号，当-无令<0时，记"(x)=e-x-l,利用导数研究其图象，根据"(x)与y=-sinx的图象

交点个数判断即可.

【详解】(1)当a=；时，/(x)=^-(ex+sinx)-x-l,所以/■〈尤)=g(e*+cosx)-l,

当x<0时，e'<1,cosx<1,所以g(e*+cosx)<1,贝!

所以，/(x)在(-8,0)上单调递减.

当x>0时，记g(无)=；(e*+cosx)-l,贝I]g，(x)=；(e*-sinx),

因为e">12sinx,所以g'(x)>0,g(x)在(0,+e)单调递增,

所以g(x)>g(O)=O,BPr(x)>0,所以/⑺在(0,+s)上单调递增.

综上,/(x)的减区间为(-吗。),增区间为(0,+。).

(2)当a=l时，/(x)=er+sinx-x-1,贝lj/'(x)=e*+cosx-l,

记力(x)=e*+CO&X-1,贝(|=e"-sinx,

当x>0时，eClNsinx,所以〃(x)>0,%(x)在(0,+s)单调递增,

所以4x)>/z⑼=1>0,f(x)在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)>〃0)=0,/(x)在(0,+e)上无零点.

当xM-兀时，H^jex>0,sinx>>n-1,

所以/(x)=e*+sinx-x-l>0,此时无零点.

当一7t<x<0时，记"(x)=e*-x-l,则"'(x)=e*-l<0,

因为当x趋近于0时，(元)趋近于0,所以"(x)的变化越来越慢，图象下凹,

当x=—兀时，e*-x-l>—sinx,当x=0时，ex—x—1=-sinx,

作出函数〃⑴和〉=-sinx的图象如图，

由图可知，当-兀<x<0时，两个函数图象有一个交点，即/(X)有一个零点.

易知x=0是〃x)的一个零点.

综上，函数〃x)共有2个零点.

y=n(xj.

2

3.(2024・河南•模拟预测)已知函数/(x)=*("0,”eR).

(1)求〃x)的极大值；

(2)若4=1,求g(x)=/(x)-COSX在区间-,2024兀上的零点个数.

【答案】(1)答案见解析

（2）2025个零点

【分析】（工）求导，分析函数的单调性，分情况讨论，求函数的极大值.

2「一

（2）先分析方程二=cosx在一弓,0上解得个数，再分析在（0,2可上解的个数，进一步考虑方程在

eL2

（2版,2版+2可上解的个数，可得问题答案.

【详解】（1）由题易得，函数〃力=竽的定义域为R,

所以，当a>0时，/'（x）,/（x）随x的变化情况如下表:

X(fO)0（0,2）2(2,+(»)

/'（X）-0+0-

/（X）极小值/极大值

由上表可知，的单调递增区间为（。,2）,单调递减区间为（-吗0）,（2,+巧.

所以的极大值为〃2）=*（0>0）.

e

当"0时，随X的变化情况如下表：

X(-8,0)0（0,2）2（2,+8）

/'（X）+0-0+

/（X）/极大值极小值/

由上表可知，/（X）的单调递增区间为（-8,0）,（2,+8）,单调递减区间为（0,2）.

所以73的极大值为〃0）=0（。<0）.

综上所述，当a>0时，/（x）的极大值为当；当"0时，/（X）的极大值为0.

e

22

（2）方法一：当4=1时，/（%）=1,所以函数g（x）=/（x）-cosx=1—COSX.

2

由g（x）=0,得土=co&x.

ex

所以要求g（x）在区间-5,2024兀上的零点的个数，

只需求y=〃x)的图象与〃(x)=cosx的图象在区间-,20247t上的交点个数即可.

由⑴知，当。=1时,y=/(另在(-8,0),(2,+8)上单调递减,在(0,2)上单调递增,

所以>=〃x)在区间一万,0上单调递减.

1T

又6(x)=cosx在区间一万,0上单调递增，

且了(_1)=e>1>cos(-l)=/z(-l),/(0)=0<l=cosO=/z(0),

2_

所以〃X)=?与力(x)=cosx的图象在区间［-;,o］上只有一个交点，

所以g(x)在区间-',0上有且只有1个零点.

因为当。=1,无>0时，/(x)=^>o,

〃x)在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,+功上单调递减，

所以在区间(。,+动上有极大值〃2)=*<1,

即当a=l,x>0时，恒有

又当x>0时，"x)=cosx的值域为［-1,1］,且其最小正周期为？=2%，

现考查在其一个周期(0,2可上的情况，

2

/(x)=j在区间(0,2］上单调递增,/z(x)=COSX在区间(0,2］上单调递减，

M/(O)=O</z(O)=l,/(2)>0>/z(2)=cos2,

2

所以"x)=cosx与=3的图象在区间(0,2］上只有一个交点，

即g(x)在区间(0,2］上有且只有1个零点.

因为在区间0,?±,/(x)>0,/?(x)=cosx<0,

所以=；与咐)=/的图象在区间(2号上无交点，

即g(x)在区间。，当上无零点.

在区间［1,2兀上，/(%)=j单调递减，〃(x)=cosx单调递增，

旦/片)>0>'<〃2兀)<1=32%="(270,

所以力(x)=cosx与=］的图象在区间［当,2兀上只有一个交点，

即g(x)在区间［3,2兀］上有且只有1个零点.

所以g(x)在一个周期(0,2兀］上有且只有2个零点.

2

同理可知，在区间(2航,2E+2兀］(LcN*)上，0</(x)<l且〃尤)=［单调递减，

/z(x)=cosx在区间(2阮2祈+兀］上单调递减，在区间(2左兀+7i,2kli+2兀］上单调递增，

且0</(2砌<l=cos(2砌=〃(2砌，

f(2析+兀)〉0>—1=cos(2左兀+71)=h(2hi+兀)

0</(2祈+兀)<1=cos(2E+兀)=〃(2foi+兀),

2

所以A(%)=COSX与/(x)=j的图象在区间(2E,2析+可和(2祈+n,2fat+2兀］上各有一个交点,

即g(x)在(2兀,2024可上的每一个区间(2也,2也+2可卜eN*)上都有且只有2个零点.

所以g(x)在(0,2024兀］上共有半包x2=2024个零点.

综上可知，g(x)在区间-20247t上共有2024+1=2025个零点.

22

方法二：当Q=1时，/(%)=■，所以函数g(x)=/(%)-COSX=3-COSX.

当无e-g,0时，g，(x)=H^+sinxW0,所以g(x)在区间-£,0上单调递减.

_2」'，e"2_

又g］：>0,g(0)<0,所以存在唯一零点x°e-p0,使得g(x0)=o.

所以g(x)在区间-：0上有且仅有一个零点.

-

/冗3冗2

当2E+g,2fei+T,左£N时，—>o,cosx<0,所以g(x)〉0.

122」e"

所以g(x)在(2阮+5,2far+g，左eN上无零点.

当xe/；时，g，(x)=&/+siiu>0,所以g(x)在区间［o,3上单调递增.

又g(o)(o,gD。，所以存在唯一零点.

当xe〔2E,2析+］，左eN*时，g,(x)=2x~X+sinx,

设0(x)=21x+si11y,贝=——当记+cosx>0

所以g'(x)在(2加,2E+。，左eN*上单调递增.

又g'(2E)(o,g]2E+|Jjo,

所以存在再e12版,2E+]，笈eN*,使得g'(xJ=O.

即当xe(2配丙)时，g'(再)<0,g(x)单调递减；

当xe]x[,2版+]时，g'(xJ>0,g(x)单调递增.

又g(2版)”,g,配+,卜，所以g(x)在区间(2优2®+^，笈eN*上有且仅有一个零点

所以g(x)在区间Q伍2版+]#eN上有且仅有一个零点.

(3兀"

当左兀+万,2析+2兀，左eN时，

,/x2x-x2

g(町=———+sinx,

+

设0(x)=^——+sinx，则=——+cosx>Q

exex

所以g'(X)在(2桁+(2析+2兀，左eN上单调递增.

又g'(2E+gJ<0,g'(2E+27T)<0,所以g(x)在区间12而+],2而+2兀，左eN上单调递减:

又gQfac+g]>0,g(2^7c+27t)<0,

所以存在唯一％<2痴+5,2也+2无]，使得g(%)=。.

所以g(x)在区间12E+7,2也+2%，左eN上有且仅有一个零点.

所以g(x)在区间(2ht,2祈+2兀]，左eN上有两个零点.

所以g3在(0,2024可上共有空当x2=2024个零点.

2兀

综上所述，g(x)在区间-,20247r上共有2024+1=2025个零点.

【点睛】方法点睛：导函数求解函数零点个数问题，要利用导函数研究函数的单调性，进而求出函数的极

值情况，结合特殊点的函数值的正负，零点存在性定理进行求解.

考点二、由函数零点及个数求参数值

典例引领

1.(2022•全国•高考真题)己知函数/(x)=ax-'-Q+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求/*)的最大值；

(2)若/(x)恰有一个零点,求a的取值范围.

【答案】⑴-1

⑵(。，+°°)

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

(2)求导得(%)=("一]xT)，按照。<。<1及“>1结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极

值，即可得解.

【详解】(1)当。=0时，/(x)=---ln^,x>0,则/(x)=3-,==，

XXXX

当xe(0,1)时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

当x«l,+8)时,r(x)<0,/(x)单调递减；

所以〃x)1mx=〃1)=一1；

(2)/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,则/'(无)=q1)!”",

XXXX

当aWO时，ax-l<0,所以当xe(0,l)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

当xe(l,+⑹时，/'(x)<0,/(x)单调递减；

所以/(x)max=/(l)=aT<°，此时函数无零点，不合题意；

当0<〃<1时，->1,在(0」)，l，+s]上，/(x)>0,单调递增；

a\a)

在I?]上，，(x)<°，〃x)单调递减；

又/⑴=a-l<0,

由(1)得—+lnx21,gpIn—>1-x,所以Inx<x,ln«<«』nx<2«,

当x>l时，/(x)=ax---(a+l)]nx>ax---2(a+])y[x>ax-(2a+3)Vx,

xx

则存在机=12+2]>L，使得/'（机）>0,

\a）a

所以/（X）仅在有唯一零点，符合题意；

当0=1时，/-（x）=（±d£>0,所以〃x）单调递增，又〃1）="1=0,

所以/（X）有唯一零点，符合题意；

当。>1时，-<i,在J-],（i,+8）上,r（x）>o,〃尤）单调递增；

在上’单调递减；此时/6="1>0,

由（1）得当Ovxvl时，lnx>l--,InVx>1--所以Inx

xyjx

止匕时/（x）=6zx---（6z+l）lnx<ax---2（a+1）|1——^|<-）+"?

xx\y/xJxy/x

存在〃=12J，使得了⑺<0，

4（。+1）a

所以/（X）在也，）有一个零点，在+8）无零点，

所以/（X）有唯一零点，符合题意；

综上,。的取值范围为（0,+8）.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数

的单调性与极值的问题.

2.（2022•全国•高考真题）已知函数/（尤）=111（1+工）+依尸

⑴当。=1时,求曲线P=/（x）在点（0,〃0））处的切线方程;

（2）若/（x）在区间（TO）,（0,+s）各恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】⑴P=2x

（2）（-℃,-1）

【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可

（2）求导，对a分类讨论，对x分（T,0）,（0,+s）两部分研究

【详解】（1）/（x）的定义域为（-1,+8）

y11—y

当I时J（x）=lna+x）+R（O）=。,所以切点为（。,。）小）==+丁〃。）=2,所以切线斜率为2

所以曲线J=/（x）在点（0,7（0））处的切线方程为>=2x

(2)/(x)=ln(l+x)+——

ex

勺工)：1C(l-x)e，+a(lr2)

1+xev(l+x)ev

设g(x)=e*+a(l-x2)

1°若a>0,当xe(-1,0),g(x)=e*+a(1-无2)>0,即f\x)>0

所以/(x)在(-1,0)上单调递增,/(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上没有零点，不合题意

2°若-LMaWO,当xe(0,+oo),则g'(x)=ex-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a20,即f'(x)>0

所以/(x)在(0,+8)上单调递增,/(x)>/(0)=0

故/(x)在(0,+动上没有零点，不合题意

3°若。<-1

⑴当xe(0,+8),则g'(x)=e'-2ax>0,所以g(x)在(0,+co)上单调递增

g(0)=1+〃<0,g(l)=e>0

所以存在仅e(0,1)，使得g(M=0,即f\m)=0

当Xe(0,s)J'(x)<0,/(x)单调递减

当xe(加,+co),/(x)>0,/(x)单调递增

所以

当xe(0,MJ(x)<〃0)=0,

Y1—Y

令/z(x)=[X>-1,贝uh\x)=-^-,x>-1,

ee

所以g)=2在上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以〃⑺口⑴」,

ee

又1>0,/卜=

所以/(X)在(加,+8)上有唯一零点

又(0,加)没有零点,即f(x)在(0,”)上有唯一零点

⑵当xe(-l,0),g(x)=e*+a(12)

设〃(x)=g'(x)=ex-2ax

/?(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

g(-l)=-+2a<0,g(0)=l>0

所以存在〃e(-l,O),使得g，(〃)=0

当xe(-1,n),g(x)<0,g(x)单调递减

当xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+a<0

Xg(-D=->0

e

所以存在fe(-1,叫使得g«)=0,即fr(t)=0

当xe单调递增，当xe0,0),/(x)单调递减，

当了£(-1,0),/z(x)>/z(-l)=-e,

又-l<e"e_l<0,/(e"e-l)<fle-(ze=0

而〃0)=0,所以当尤e0),f(x)>0

所以/(x)在(-1,0上有唯一零点,0)上无零点

即/(x)在(-1,0)上有唯一零点

所以。<-1,符合题意

所以若"X)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围为(-叱-1)

方法点睛：本题的关键是对。的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯

定要两方面都说明.

3.(2024・湖南邵阳•三模)已知函数/(司=-；/+/+1.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)若函数g(x)=-M左eR)有且仅有三个零点，求后的取值范围.

【答案】⑴(0,2)

【分析】(1)利用求导，导数值大于。来求单调递增区间即可;

(2)利用函数的单调性和取值情况，分析可得上的取值范围.

【详解】(1)由/(x)=-gx3+/+i,得/，(x)=f2+2x,

令/(x)>0,W-X2+2X>0,解得0<X<2.

所以/(x)的单调递增区间为(0,2)

(2)令_f(x)=0,解得x=0或x=2.

当x变化时，/'(无)，〃x)的变化情况如下表所示：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+oo)

/'(X)-0十0-

7

/(x)单调递减1单调递增单调递减

3

由函数g(x)=/(x)-左有且仅有三个零点，

得方程"X)=左(左eR)有且仅有三个不等的实数根，

所以函数>=/(X)的图象与直线>=左有且仅有三个交点.

显然，当X->-8时，当Xf+8时，.

所以由上表可知，“X)的极小值为"0)=1,“X)的极大值为/(2)=不

故w

4.(2024•广东茂名•一模)设函数/(x)=e*+asinx,xe［0,+oo).

⑴当0=-1时，/(x"加+1在［0,+功上恒成立，求实数b的取值范围;

(2)若a>0J(x)在［0,+力)上存在零点，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(-巩。］

【分析】(1)构建函数"x)=e*-6x-siru-1,通过导数判断函数〃(x)单调性，进而求解实数。的取值范围;

(2)分离参数-：=罢，令g(x)=罢，xe［0,+«),利用导数求函数g(x)在指定区间的最值，即

gOOmm"-1"g(X)max得解.

【详解】(1)当a=-l时，/(x)=ex-sinx,

所以不等式转化为e，-加-sinx-120,在乩+动上恒成立.

令/z(x)=e"-bx-sinx-1,

所以〃'(x)=ex-cosx—b.

x

当工£［0,+8)时，Q_cos%20恒成立.

若6W0,则/(x)20在［0,+动上恒成立，

//(%)在［0,+功上单调递增，

故〃(可之“0)=0,符合题意；

若6>0,令函数加(x)=eX-cosx-6，

rx

则m(x)=e+siiix20在［0,+动上恒成立，

所以加(x)在［0,+。)上单调递增，

因为加(0)=一6<0,且当％->+°0时，机+8.

所以*0G(0,+oo),加(％)=e"-cosy。二0,

故当X£(0,/)时，〃'(力=冽(力<。，%(x)单调递减，

当X£(%,+8)时,Ar(x)=m(x)>0,〃(x)单调递增，

贝U〃(x)min=〃(％)=3。一区o-sinXo-l</z(O)=O,不符合题意.

综上所述，实数b的取值范围为(-8,0］；

(2)因为/(x)=e"+Qsinx,xe［0,+oo),

令/(%)=0，即e"+tzsinx=0，

1sinx

所以—一=］.

ae

令gW=h，%式。，+8)，

令g'(x)=0，得%=痴+,左cN.

所以当X£(：+2^^+2左兀］时，sin［x-；)〉0,g(x)单调递减；

当x£［0,,xe［彳+2be,7+2版)时，sin(x—<0,g(x)单调递增.

57r

所以当x=7+2E«eN时，g(x)取得极小值，

即当X=?,宁,…时,g(x)取得极小值.

▽出%.5兀.13乃V2如包

44

XM7^sin—=sin—=...=-—>0<e<e<

5兀1371

所以g<g<•••

所以g(x)2g

JT

当x=7+2亿左£N,g(x)取得极大值,

即当'个，…时，g(')取得极大值•

又因为sin乌=sin型=V2巴9K

0<e7<eT<---?

44

所以g[:J>g9兀

71

所以g(x)4g

所以当xe[0,+8),_*e\4g(x)4*e：

3消<I%

所以-

2a2

又因为。＞0,

所以“2后学时，〃龙)在［°，+")上存在零点，

所以实数。的取值范围为］后e7,+co.

【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题

(1)构建函数，利用导数判断函数的单调性，通过函数的单调性求参数的取值范围；

(2)分离参数，将零点问题转化为函数的交点问题，并利用导数判断函数的单调性，进而求函数的最值.

(3)本题计算量较大，注意导数求解过程中的容易出现的问题，以及单调性的分析要注意取值范围.

即时窜L

1.(2024・广东汕头•三模)已知函数/(x)=xe-办2).

⑴若曲线y=〃x)在无=-1处的切线与丁轴垂直，求＞=/(x)的极值.

(2)若/(X)在(0,+8)只有一个零点，求0.

【答案】⑴极小值-L无极大值；

e

⑵Q=­.

4

【分析】(1)求出函数八%)的导数，结合几何意义求出。，再分析单调性求出极值.

(2)由函数零点的意义，等价变形得。=%在(0,+8)只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.

【详解】(1)函数/(x)=xe-"2)的定义域为R,求导得/，(%)=(%+1)1-3加，/(—1)=—3〃，

依题意，/(-1)=0,则a=0,f(x)=xex,f\x)=(1+x)ex,

当了<-1时,r«<o,当x>-1时，/V)>0,

因此函数/(%)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增,

所以函数“X)在X=-1处取得极小值/(-I)无极大值.

e

(2)函数/⑴二武^-^马在⑼+⑹只有一个零点，等价于>=/-依2在(0,+co)只有一个零点，

设g(x)=e="2,则函数g(x)在(0,+co)只有一个零点,当且仅当g(x)=0在(0,+功只有一解,

即在(0,+co)只有一解，于是曲线^=号(尤>0)与直线>=。只有一个公共点，

XX

令夕(x)=£7a>0),求导得夕'(x)=e2),当xv2时，(p(x)<0,当x>2时，(p(x)>0,

'XX

因此函数。(幻在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

2

函数9(、)在％=2取得极小值同时也是最小值°(2)=e=,

当X-0时，9(x)f+8；当Xf+co时，9a)f+00,

2

所以/(X)在(0,+8)只有一个零点口寸，e

4

2.(2024•福建泉州•模拟预测)已知函数［(x)=d一办+2,Q£R.

⑴若x=-2是函数/(x)的极值点，求。的值，并求其单调区间；

⑵若函数/（X）在1,3上仅有2个零点，求。的取值范围.

【答案】⑴。=12：/（x）的增区间是（7,-2）和（2,+8）,减区间是（-2,2）；

c55

（2）3<a<—

【分析】（1）首先根据/'（-2）=0,求。的值，根据导数和函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间；

22「1-

（2）首先参变分离为。=/+）再构造函数g（x）=/+『xe-,3,并判断函数在区间的单调性，极值

和端点值，根据图象的交点个数，即可求解.

【详解】（1）/'（x）=3尤2一口/（-2）=12-o=0,得a=12,

当a=12时，/〈X）=3x?-12=0,得x=-2或x=2,

x,r（x）,/（x）的变化情况如下表所示，

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+(»)

/（X）+0-0+

/'（X）增区间极大值18减区间极小值-14增区间

所以函数〃X）的增区间是（_叫_2）和（2,+8）,减区间是（-2,2）；

（2）令/（x）=-办+2=0,xe；,3,

21

令g(x)=]2+丁XE]，3

3

、22(x-1),曰1

g'(x)=2x——-=-—-~~-=0»佝x=l,

如下表，

1

X1(⑶3

3

g'(x)-0+

5529

g(x)减区间极小值3增区间

~9T

因为函数/(X)在1,3上仅有2个零点，即>与V=g(x)有2个交点，如图:

即3<aW.

3.(2024•全国•模拟预测)己知函数〃x)=hx+丘的单调递增区间为(0,1).

⑴求函数“X)的图象在点(ej(e))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=£-/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.