相交线与平行线知识串讲+热考题型（原卷版+解析）

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》

本章知识综合运用

©丽

六个概念

••1、相交线：

两条直线相交所成的四个角中，有4对邻补角，2对对顶角.

(1)♦邻东卜角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.

♦邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.

(2)♦对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置

关系的两个角，互为对顶角.

♦对顶角的性质：对顶角相等.

••2、垂线：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一

条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

【注意】垂直是相交的一种特殊位置.

••3、"三线八角”

①两条直线被第三条直线所截形成的8个角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

②同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

••4、平行线

平行1线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

♦在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.

♦过直线外一点画已知直线的平行线的方法：

一“落”把三角尺一边落在已知直线上；

二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；

三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；

四“画”沿三角尺过已知点的边画直线.

••5、平移：

在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移.

♦作图-平移变换

（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.

（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连

接对应点即可得到平移后的图形.

••6、命题：

♦命题：判断一件事情的语句，叫做命题.

♦定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据.

♦证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过

程叫做证

一个公理

••平行公理及推论

1、平行1公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

即：如果c//a,那么力〃c..

ZX

一个判定

••平行线的判定方法

判定方法一：平行线的定义

判定方法二：判定定理1:同位角相等，两直线平行.

判定方法三：判定定理2：内错角相等，两直线平行.

判定方法四：判定定理3：同旁内角互补，两直线平行.

判定方法五：平行公理的推论.

判定方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直.

三个性质

••1、垂线的性质

①在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

②连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

••2、平行线的性质

性质定理1：两直线平行，同位角相等.

性质定理2：两直线平行，同位角相等.

性质定理3：两直线平行，同旁内角互补.

【注意】平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.

平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

••3、平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线

段平行（或在同一条直线上）且相等.

一个方法

••过拐点作平行线解决平行线中的折线问题

几何中常通过添加适当的辅助线建立已知和未知之间的“桥梁”，遇到平行线中折线问

题，通常过拐点作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行

J题型归纳

题型突破•典例精析

题型一相交线的有关概念与性质

【例题1】（2022秋•青龙县月考）如图，直线43、相交于点。，90°,。尸平分NAOE,若

ZBOD=32°,则N80E的度数为（）

E

A.32°B.48°C.58°D.64°

【分析】直接利用邻补角的定义得出NAOP的度数，进而利用角平分线的定义得出答案.

【解答】解：'：ZDOF=90a,NBOD=32°,

：.ZAOF=9Q°-32°=58°,

平分NAOE,

AZAOF=ZEOF=58°.

：.ZDOE=9Q°-ZEOF=32°,

AZBOE=ZDOE+ZBOD=320+32°=64°.

故选：D.

【点评】此题主要考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，余角的性质，正确得出NAOF度数是解题

关键.

解题技巧提炼

在求角的度数时经常要用到邻补角和对顶角的性质，解决此类的问题是观察、

分析、找出所求角与已知角之间的关系，并理清各角之间的关系，特别是相等

关系.

【变式1-1】（2022秋•香坊区校级期中）图中/I与/2是同位角的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-2】（2022春•莲湖区期末）如图，当剪刀口NA02的度数减小5°时，的度数（）

A.不变B.减少5°C.增大5°D.增大10°

【变式1-3】（2022春•景谷县期末）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回

来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（）

A.两点确定一条直线B.两点之间直线最短

C.两点之间线段最短D.垂线段最短

【变式1-4】（2022•南京模拟）如图，尸是直线/外一点，A,B,C三点在直线/上，且于点8,

NAPC=90°,则下列结论中正确的是（）

①线段8P的长度是点尸到直线/的距离；②线段A尸是A点到直线PC的距离；③在抬，PB,PC三条

线段中，PB最短;④线段PC的长度是点P到直线/的距离.

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

【变式1-5】(2021春•娄底月考)如图，直线A8,C。相交于点。，OMLAB.

(1)若Nl=20°,N2=20°,则/。ON=；

(2)若/1=/2,判断ON与。的位置关系，并说明理由；

(3)^Z1=^ZBOC,求/AOC和的度数.

q

【变式1-6】已知直线42和CD相交于。，NAOC为锐角.

(1)填空：如图1图中有对相等的角(平角除外).分别是

判断的依据是；

(2)如图2,作NCOE=90°,。/平分/COB,求NAOF-/E。尸的度数.

(3)在(2)的条件下，ZAOC：ZCOF=2：5,计算/QOF的度数.

题型二同位角、内借痛、同旁内角的识别

【例题2】（2022春•法库县期中）如图，下列说法正确的是（）

A./I与N2是同位角B./I与/2是内错角

C./I与/3是同位角D./2与N3是同旁内角

解题技巧提炼

本题主要是考查“三线八角”的识别，熟练掌握三类角的特征是关键，同位角的

边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形.学会在复

杂图形中进行判断.

【变式2-1]（2022春•仪征市校级月考）如图，直线AD、BE被直线和AC所截，下列说法正确的是（）

F

A.N3与N4是同旁内角B.N2与N5是同位角

C./6与/I是内错角D./2与N6是同旁内角

【变式2-2】(2021春•江西月考)如图，的同旁内角共有()

C.3个D.4个

【变式2-3］指出图中各对角的位置关系:

(1)/C和NO是角；

(2)和/GEF是角；

(3)/A和是角；

(4)/AGE和/8GE是角；

(5)/<7~。和/4尸8是角.

【变式2-4］如图，填空.

(1)若直线E。，BC被直线AB所截，则N1与是同位角；

(2)若直线EDBC被直线AF所截，则/3与是内错角；

(3)Z1与/3是直线AB和直线被直线所截构成的角;

（4）/2与/4是直线和直线被直线BC所截构成的角;

（5）图中N5的同旁内角有个，它们是.

题型三平行线判定方法的综合运用

【例题3】如图，下列条件中，能判定的是（）

A.Nl=/2B./1=/BC.NA=N3D.ZA=Z1+Z2

解题技巧提炼

正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，结合平行线的几种

判定综合论证.

【变式3-1】（2022秋•宛城区期末）如图，下列能判定A8〃CD的条件有（）个

(1)N1=N2；(2)N3=N4；(3)ZB=Z5；(4)ZB+ZBCD^180°.

C.3D.4

【变式3-2](2022春•青龙县期末)如图所示，添加一个条件，使AB//CE,则添加的条件

【变式3-3】如图，已知/C=/l,/I和互余，/2和/。互余.求证：AB//CD.

【变式3-4】(2022春•定南县期末)如图，于点8,CDLEF于点D,Z1=Z2

(1)证明：AB//CD；

(2)试判断与。N是否平行？为什么？

【变式3-5】如图，已知点E在直线。。上，射线EF平分NAED,过E点作EB_LEF,G为射线EC上一

点，连接BG,且NEBG+NBEG=90°.

(1)求证：/DEF=NEBG；

(2)若/EBG=NA,求证：AB//EF.

题型四平行线性质的综合运用

【例题4】(2022秋•东方期末)如图，已知DE//BC,BE平分ZABC,若/1=70。,则ZAEB的度数为

解题技巧提炼

综合利用平行线的性质，正确探究出“三线八角”中同位角、内错角、同旁

内角之间的关系.

【变式4-1】(2021春•铜梁区校级期末)如图，已知点。为NEAB内一点，CD//AB,DF//AE,DHL

A8交AB于点"，若NA=40°,则/歹。”的度数为（）

A.120°B.130°C.135°D.140°

【变式4-2】（2022•太康县校级开学）如图，OP〃QR〃ST,若N2=105。，Nl=43。，则N3=

【变式4-3】（2021春•定陶区期中）如图，已知AB〃C。，ZB=40°,点E在。C的延长线上，CN是

NBCE的平分线，CMLCN,求NBCM的度数.

【变式4-4】（2022春•温岭市期中）如图，AB〃C。，MN平分NAM。，ZA=40°,ZZ）=30°,

则/NMP等于（）

A.10°B.15°C.5°D.7.5°

【变式4-5］（2021春•固始县期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°,

那么这两个角是（）

A.42°、138°B.都是10°

C.42°、138°或10°、10°D.以上都不对

题型五平行线判定与性质的综合运用

【例题5】（2021春•夏邑县期末）如图直线a,6分别被直线c,d所截,已知/1+/2=180。，Z3=108°,

则N4的度数等于（）

A.72°B.80°C.82°D.108°

解题技巧提炼

平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，看到角相等或互补就应该想到能

否判定两直线平行，看到直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.

C.因为N8AD+NB=180。，所以AD/78CD.因为=所以

【变式5-2】（2022春•新田县期末）如图，已知/1=/2,ZB=Z3,试说明。E〃8C.

【变式5-3】（2021春•荔湾区校级月考）如图，已知NABC+NEC8=180。，/P=N。，则N1与/2是

否相等？说说你的理由.

AB

【变式5-4】已知A、B、C不在同一直线上，顺次连接AB、BC、CA.

(1)如图①，点。在线段BC上，DE〃AB交AC于点E,ZEDF^ZA.求证：DF//AC.

(2)如图②，若点。在BC的延长线上，交AC的延长线于点E,£>F〃AC交54的延长线于点

凡问/EOE与N8AC有怎样的关系，说明理由.

题型六利用平行线的性质解决学具操作及折叠问题

【例I题6】(2022•日照三模)如图，将矩形纸条A8C。折叠，折痕为ER折叠后点C,D分别落在点C,

。处，DE与BF交于点、G.已知NBG0=26。，则Na的度数是()

A.77°B.64°C.26°D.87°

解题技巧提炼

本题是给出了一个长方形的折叠问题或是把三角尺与直尺之间的夹角放到平行

线中，利用折叠的特征和平行线的性质求解是解题的关键.

【变式6-1】如图，长方形A8CQ沿AE折叠，使点8落在C。边上的点E处，如果/EFC=65。，那么/BAE

【变式6-2】（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若Nl=28°,

【变式6-3】（2022•路南区二模）已知直线机〃“，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（/

ABC=30°）,并且顶点A,8分别落在直线山，”上，若Nl=38°,则/2的度数是（）

A.20°B.22°C.28°D.38°

【变式6-4】（2022春•孝南区期末）如图1,/。£尸=24。，将长方形纸片A8CD沿直线EP折叠成图2,

再沿直线GF折叠成图3,则图3中/CFE=

图1图2图3

题型七利用平行线的性质和判定解决生活实际问题

【例题7]（2022春•齐齐哈尔期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原

来相同，那么这两次转弯的角度可以是（）

A.先右转80°,再左转100°B.先左转80°,再右转80°

C.先左转80°,再左转100°D.先右转80°,再右转80°

解题技巧提炼

本题是给出了一个生活中的实际问题，分析题意，选择适当的判定方法或者是

平线的性质来求解.

【变式7-1】（2022春•淮滨县期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角

ZA=120°,第二次拐的角/8=150。，第三次拐的角是/C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道

路平行，则/（7是（）

C.140°D.150°

【变式7-2】（2022春•二七区校级期中）如图，A、2之间是一座山，一条铁路要通过A、8两地，在A

地测得铁路的走向是北偏东68°,如果A、8两地同时开工，那么在2地按方向施工，才能

使铁路在山腹中准确接通.

B

A

【变式7-3】（2022春•中山市期末）如图，两面平面镜。A、08形成从。8上一点E射出的一

条光线经。4上一点。反射后的光线。C恰好与03平行，已知NAOB=35°,/0DE=/ADC,则/

DEB的度数是

【变式7-4】（2022春•洪山区期中）一个长方形台球桌面ABC。QAB//CD,AD//BC,NA=90°）如图

1所示，已知台球在与台球桌边缘碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反弹线路与桌边的夹角，

即图1中的N1=N2.

（1）台球经过如图2所示的两次碰撞后，第二次的反弹线路为GH.若开始时的撞击线路为EF,求证：

EF//GH-,

（2）台球经过如图3所示的四次碰撞后（台球从点E出发，碰撞点依次为点RG,H,/）,落入点K

处的球袋内.若N/KC=55°,则NGH/+NAPE=.

图1图2图3

题型八真假命题的判断

【例题8】（2022春•海淀区月考）下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直

线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角

互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离.其中是真命题

的是.

解题技巧提炼

判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命题只需举一个反例即可；举反例

是说明一个命题是假命题的常用方法.

【变式8-1】判断命题“如果/>0,那么无>0“是假命题，只需举出一个反例.反例中的x可以为（）

1

A.2B.-C.0D.-2

2

【变式8-2】（2022秋•阿图什市校级月考）下列命题是真命题的是（）

A.内错角相等

B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.相等的角是对顶角

D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【变式8-3】（2022春•仓山区期末）如图，从①/1+/2=180。，②/3=NA,③NB=NC,三个条件中

选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题.从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明.

如图，已知，求证:（填“①”，“②”，"③”）

证明:

【变式8-4】（2022春•钦北区期中）如图，直线AB,CD被直线AE所截，直线AM,EN被MN所截.请

你从以下三个条件：①AB〃C£＞；②AM〃EN；③/BAM=/CEN中选出两个作为已知条件，另一个作

为结论，得出一个正确的命题.

（1）请按照：,；；.”的形式，写出所有正确的命题；

（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程.

题型九通过阅读填写推理过程

【例题9】（2022春•宁安市期末）推理填空

如图，已知NBCZ）+NB=180°,AE平分NBA。，CD与AE相交于点凡ZCFE^ZE.求证：AD//BC.

证明平分/BA。（已知），

.*.Z1=Z2(),

VZBCZ)+ZB=180t',

J.AB//CD(),

；./]=(),

■:/CFE=/E(已知),

：.Z\=ZE(),

N2=,

：.AD//BC().

解题技巧提炼

给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，对于这种题型要认真分

析题意，然后联系上下文求解.

【变式9-1］已知某品牌遮阳伞如图①所示，图②是其剖面图，若AG同时平分N3AC与ZEDF,且AB//ED,

则AC〃。尸吗？请在下面括号内填写理由.

解：'：AB//DE

Z=Z()

：AG同时平分N2AC与/EOF(己知)

ZDAC=ADAB,ZGDF=ZGDE()

：.ZDAC=ZGDF()

【变式9-2】（2021春•静安区期中）如图，已知：ZA=ZC,平分NB3C,BE平分NA8。，说明:

BE〃。厂的理由.

解：因为/A=NC().

所以.

所以NABO=ZCDO().

因为。/平分NCDO,8E平分/A8。，

11

所以Z_1=,Z2=24

所以N1=N2(),

【变式9-3】（2022春•湖北期末）如图，EFLBC,Z1=ZC,Z2+Z3=180°,试说明NAOC=90。.请

完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.

解：VZ1=ZC,(已知)

：.GD//.()

：.Z2=ZDAC.()

VZ2+Z3=180°,(已知)

/.ZDAC+Z3=180°.(等量代换)

.".AD//EF.()

/.ZADC^Z.()

'：EFLBC,(已知)

：.ZEFC=90°.()

/.ZADC=90°.(等量代换)

【变式9-4】（2022秋•德惠市期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）

如图，已知：平分NACB,AC//DE,CD//EF,那么£尸平分/。自3吗？

解：：C£）平分NACB（已知），

（）.

'.,AC//DE（已知），

.\Z1=Z,

?.Z2=Z3（等量代换）.

______________（己知）,

.\Z3=Z4（）

Z2=Z5（）

/.（等量代换），

:.EF平分/DEB.

A

题型十通过添加辅助线解决拐点问题

【例题10】阅读下列解题过程:

如图，已知A2〃cr>,NB=35°,ZD=32°,求N8E。的度数.

解：过E作EFWA8,则AB〃C£）〃斯（平行的传递性）

AB〃EFn/B=Nl=35°

又因为CD//EF^ZD=Z2=32°

所以N2E£）=NB£D=N1+N235°+32°=67°（等量代换）

然后解答下列问题：

如图，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决:

问题（1）：ZZ）=30°,ZACD=65°,为了保证A8〃OE,ZA=；

问题（2）:ZG+ZF+ZH=°时，GP//HQ.

E

DH0

解题技巧提炼

当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，平行线的性

质则不能直接应用，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的

推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.

【变式10-1】（2021秋•雅安期末）如图，AB//EF,ZBCD=90°,探索图中角a,瓦丫之间的关系式正

确的是（）

A.a+P+y=360°B.a+p=y+90°C.a+y=pD.a+p+y=180°

【变式10-2】（2022•皇姑区一模）如图所示,AB〃斯，ZB=35°,NE=25°,则/C+/O的值为

【变式10-3]如图，AB//CD.

（1）如图①，若NCMN=90。，点8在射线上，ZABM=120°,求/C的度数;

（2）如图②，若NCMN=150。，请直接写出与/C的数量关系.

C图①DC图②D

【变式10-4】（2021春•怀化期末）如图，MN〃OP,点A为直线上一定点，8为直线。尸上的动点,

在直线与OP之间且在线段AB的右方作点。，使得AZJLBO.设（a为锐角）.

（1）求/N4O与NP8O的和；（提示过点。作EF〃MN）

（2）当点B在直线。尸上运动时，试说明NOB。-/N4D=90。；

（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分NN4B,AB也恰好平分N08。，请求出此时a的

【变式10-5】（2022秋•南关区校级期末）已知AM〃CN,点8在直线AM、CN之间，ZABC=88°.

(1)如图1,请直接写出NA和/C之间的数量关系:

(2)如图2,NA和NC满足怎样的数量关系？请说明理由.

(3)如图3,AE平分NK48,CH平分NNCB,AE与C”交于点G,则NAGH的度数为

图1

图2

题型十一平移性质的应用

【例题11]如图是一块从一个边长为50c%的正方形材料中裁出的垫片，现测量FG=8c",求这个垫片的

周长.

解题技巧提炼

解决这类问题时，根据平移的性质，利用平移前后的对应线段相等和平移的距

离得出图形各边的长，进而解决求图形的周长或面积问题，通过平移把不规则图

形的面积转化成规则图形的面积来求解.

【变式H-1](2021春•滨海县月考)如图，在8x8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位

长度，AABC的顶点都在正方形网格的格点上.

(1)将△A8C经平移后得到△A5C,点A的对应点是点4.画出平移后所得的△A0C；

(2)连接A4，、CC,则线段的位置关系为，线段的数量关系为；

(3)四边形AVCC的面积为

【变式H-2】（2022春•黄陂区期中）如图，一块长为劭1,宽为而:的长方形草地上，有一条弯曲的小路,

小路左边线向右平移而就是它的边线.若出b=5：3,b：t=6：1,则小路面积与绿地面积的比为（

1122

A.-B.—C.——D.—

9101113

【变式11-3】如图，直角梯形A5CD中，AD//BC,AD±AB,BC=5,将直角梯形A5CD沿A5方向平移

2个单位得到直角梯形跖G”,HG与BC交于点M,且CM=1,则图中阴影部分的面积为

【变式11-4】（2022春•黄陂区月考）如图是一块长方形的草地，长为21s.宽为15〃z.在草地上有两条

宽为1米的小道，长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少？

【变式11-5】（2021春•庆云县期末）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都

是1米，空白的部分种上各种花草.

（1）求种花草的面积；

（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元?

题型十二综合压轴探究题

【例题12】（2022春•罗定市期末）己知，直线人〃/2,直线/3和人，/2分别交于C,。点，点A,2分别

在直线/1,/2上，且位于直线/3的左侧，动点尸在直线/3上，且不和点C,。重合.

图1图2备用图

（1）如图1,当动点P在线段上运动时，求证：ZAPB=ZCAP+ZDBP；

（2）如图2,当动点尸在点C上方运动时（P,A,8不在同一直线上），请写出/APB,ZCAP,ZDBP

之间的数量关系，并选择其中一种的数量关系说明理由.

解题技巧提炼

解决这类问题主要是运用综合分析法，灵活运用本章节所学的知识来解决问

题，在解题过程中会用到转化思想或分类讨论的思想，得出各种情况下的结论.

【变式12-1】已知直线和交于点。，ZAOC=a,ZBOE=90°,。/平分/AOD

(1)当a=30°时，贝U/EOC=0；ZFOD=0.

(2)当a=60°时，射线从开始以12°/秒的速度绕点。逆时针转动，同时射线。声从。尸

开始以8。/秒的速度绕点。顺时针转动，当射线OE'转动一周时射线。声也停止转动，求经过多少秒

射线OE'与射线。户第一次重合？

(3)在(2)的条件下，射线OE'在转动一周的过程中，当NE'OF'=90°时，请直接写出射线OE'

转动的时间为秒.

图1图2

【变式12-2】(2022春•深口区期末)直线48,C。相交于点O,OfUCf)于点O,作射线OE,且OC

在/AOE的内部.

（1）当点E,尸在直线的同侧；

①如图1,若NBOD=15。,ZBOE=120°,求/E。尸的度数；

②如图2,若。尸平分/80E,请判断OC是否平分/AOE,并说明理由;

（2）若/A0F=2NC0E,请直接写出NBOE与NAOC之间的数量关系.

【变式12-3】（2022秋•南关区校级期末）【感知】如图①，AD〃BC,ZB4B=125°,ZPCD=130°,ZAPC

的度数为.

【探究】如图②，AD〃8C,点P在射线ON上运动，ZDAP=Za,ZCBP=Zp,

（1）当点尸在线段CO上运动时，试探究NAPB,Za,N|3之间的数量关系.

（2）当点尸在线段C,。两点外侧运动时（点尸与点C,D,。三点不重合），直接写出NAPB,/a,

Zp之间的数量关系为.

图①图②图③

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》

本章知识综合运用

六个概念

••1、相交线：

两条直线相交所成的四个角中，有4对邻补角，2对对顶角.

(1)♦邻东卜角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个

角，互为邻补角.

♦邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.

(2)♦对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,

具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

♦对顶角的性质：对顶角相等.

••2、垂线：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条

直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

【注意】垂直是相交的一种特殊位置.

••3、"三线八角”

①两条直线被第三条直线所截形成的8个角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

②同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

••4、平行线

平彳亍线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

♦在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.

♦过直线外一点画已知直线的平行线的方法：

一“落”把三角尺一边落在已知直线上；

二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；

三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；

四“画”沿三角尺过已知点的边画直线.

••5、平移：

在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称

平移.

♦作图-平移变换

(1)确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.

(2)作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应

点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.

••6、命题：

♦命题：判断一件事情的语句，叫做命题.

♦定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据.

♦证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判

断，这个推理过程叫做证

✓S

一个公理

一/

••平行公理及推论

1、平彳亍公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

即：如果c//a,那么.

✓s

一个判定

••平行线的判定方法

判定方法一：平行线的定义

判定方法二：判定定理1:同位角相等，两直线平行.

判定方法三：判定定理2：内错角相等，两直线平行.

判定方法四：判定定理3：同旁内角互补，两直线平行.

判定方法五：平行公理的推论.

判定方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直.

三个性质

••L垂线的性质

①在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

②连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

••2、平行线的性质

性质定理1：两直线平行，同位角相等.

性质定理2：两直线平行，同位角相等.

性质定理3：两直线平行，同旁内角互补.

【注意】平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.

平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

••3、平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大

小完全相同.

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各

组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.

一个方法

••过拐点作平行线解决平行线中的折线问题

几何中常通过添加适当的辅助线建立已知和未知之间的“桥梁”，遇到

平行线中折线问题，通常过拐点作一条平行线，利用平行公理的推论得

出三条直线互相平行

题型归纳

----------------------------------------------

f<题型突破•典例精析

题型一相交线的有关概念与性质

【例题1】（2022秋•青龙县月考）如图，直线A3、CD相交于点。，N。。尸=90°,OF

平分NAOE,若/BOD=32°,则/2。£的度数为（）

A.32°B.48°C.58°D.64°

【分析】直接利用邻补角的定义得出NAOF的度数，进而利用角平分线的定义得出答案.

【解答】解：VZDOF=90°,/BOD=32°,

AZAOF=90°-32°=58°,

：OP平分NAOE,

AZAOF=ZEOF=58°.

：.ZDOE=90°-ZEOF=?>2O,

:.NBOE=NDOE+/BOD=32°+32°=64°.

故选：D.

【点评】此题主要考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，余角的性质，正确得出/

度数是解题关键.

解题技巧提炼

在求角的度数时经常要用到邻补角和对顶角的性质，解决此类的问题是观察、

分析、找出所求角与已知角之间的关系，并理清各角之间的关系，特别是相等

关系.

【变式1-1】（2022秋•香坊区校级期中）图中/I与N2是同位角的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条

被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可.

【解答】解：第一个图：N1和/2是同位角；

第二个图：Z1的两边所在的直线没有任何一条和/2的两边所在的直线公共，Z1和/2

不是同位角；

第三个图：/I和/2不是同位角；

第四个图：/I和/2是同位角.

AZ1与N2是同位角的有2个.

故选:B.

【点评】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中

的相对位置决定.在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的

角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在

的直线即为被截的线.同位角的边构成“尸”形.

【变式1-2]（2022春•莲湖区期末）如图，当剪刀口的度数减小5°时，ZCOD

的度数（）

A

/B

A.不变B.减少5°C.增大5°D.增大10°

【分析】根据对顶角的性质进行判断即可.

【解答】解：由于NAOB与NCOZ）是对顶角，

所以/AOB=NCO£）,

当/AO8的度数减小5°时，/C。。的度数也减少5°,

故选：B.

【点评】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角的定义是正确解答的前提.

【变式1-3】（2022春•景谷县期末）如图，小华同学的家在点尸处，他想尽快到达公路

边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识

A.两点确定一条直线B.两点之间直线最短

C.两点之间线段最短D.垂线段最短

【分析】根据垂线段的性质解答即可.

【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择

P-C路线，是因为垂线段最短，

故选：D.

【点评】此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点

之间段最短.

【变式1-4】（2022•南京模拟）如图，P是直线/外一点，A,B,C三点在直线/上，且

于点8,ZAPC=90°,则下列结论中正确的是（）

①线段BP的长度是点P到直线I的距离;②线段AP是A点到直线PC的距离;③在PA,

PB,PC三条线段中，PB最短;④线段PC的长度是点尸到直线/的距离.

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外

一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解.

【解答】解：：尸8，/于点8,

线段BP的长度是点P到直线/的距离，故①正确，④错误；

ZAPC=9Q°,

线段AP的长度是A点到直线PC的距离，故②错误；

根据垂线段最短，在以，PB,PC三条线段中，PB最短,故③正确；

故选C.

【点评】本题考查了垂线的性质，解题的关键是掌握垂线的性质.

【变式1-5】(2021春•娄底月考)如图，直线AB,C£＞相交于点。，OM1AB.

(1)若N1=20°,N2=20°,则/。ON=；

(2)若Nl=/2,判断ON与。的位置关系，并说明理由;

1

(3)若求/AOC和NMOZ)的度数.

4

【分析】(1)分析题意，列出代数式，求解即可解决问题；

(2)若N1=N2,找出ON与。。的夹角大小，即可得出结论;

(3)根据角的位置关系，列出代数式，求解即可得出答案.

【解答】解：(1)-OMLAB,Zl=20°,Z2=20°,

ZCON=ZAOC+Z2=ZAOC+Z1=90°

：.ZDON=180°-ZCON=180°-90°=90°,

故答案为：90°；

(2)VZ1=Z2,

AZCON=ZAOC+Z2=ZAOC+Z1=90°,

：.ZDON=180°-ZCON=180°-90°=90°,

：.ON±CD；

(3)VZ1=4ZBOC,

q

ii

/.Z1=^ZBOM=1x90°=30°,

：.ZAOC=90°-Zl=90°-30°=60°,

ZMOD=Z180°-Zl=180°-30°=150°.

【点评】本题考查了角的计算，解题关键是分清角的对应关系.

【变式1-6】已知直线和C。相交于O,/AOC为锐角.

(1)填空：如图1图中有对相等的角(平角除外).分别

是,判断的依据是;

(2)如图2,作NCOE=90°,OF平分/COB,求NAOP-NE。尸的度数.

(3)在(2)的条件下，ZAOC：ZCOF=2：5,计算/。。/的度数.

【分析】(1)根据对顶角相等的性质解答；

(2)由邻补角和角平分线的定义可得出结论；

(3)在(2)的条件下，列出比例式即可得出结论.

【解答】解：(1)NAOC=NBOD,NBOC=NAOD,判断的依据是对顶角相等；

故答案为：2；ZAOC=ZBOD,ZBOC=ZAOD；对顶角相等；

(2)设N4OC=2a,则/BOC=180°-2a,

/平分/COB,

ZCOF=ZBOF=90°-a,

VZCOE=90°,

ZEOF=ZCOE-ZCOF=a,ZAOF=ZAOC+ZCOF=90°+a,

：.ZAOF-ZEOF^9Q°+a-a=90°.

(3),/ZAOC：ZCOF=2：5,

.,.2a：(90°-a)=2：5,解得a=15°,

：.ZBOF=15°,ZAOC=ZBOD=30°,

AZDOF=