导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第04讲导数与函数的极值、最值

（5类核心考点精讲精练）

1%.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第10题,6分求已知函数的极值点利用导数求函数的单调区间

利用导数研究具体函数单调性

函数对称性的应用

2024年新H卷，第11题,6分极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

判断零点所在的区间

求在曲线上一点处的切线方程

2024年新H卷，第16题,15分根据极值求参数

利用导数研究含参函数单调性

2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析函数的性质、奇偶性的定义与判断

基本（均值）不等式的应用、求平面轨迹

2023年新I卷,第22题,12分由导数求函数的最值（不含参）

方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长

2023年新II卷,第11题,5分根据极值求参数根据二次函数零点的分布求参数的范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年新H卷，第22题,12分根据极值点求参数利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

锥体体积的有关计算球的体积的有关计算

2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值（不含参）

多面体与球体内切外接问题

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

2022年新I卷，第10题,5分求已知函数的极值点

利用导数研究函数的零点

2022年新I卷,第22题,12分由导数求函数的最值（含参）利用导数研究方程的根

2021年新I卷，第15题,5分由导数求函的最值（不含参）无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分

【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值

3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的

极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习

知识点1函数的极值与导数

考点4由函数最值求参数值或范围

考点5选填小题中极值的应用与求解

知识讲解

1.函数的极值与导数

(1)函数的极小值与极小值点

若函数人《)在点x=a处的函数值八比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/'伍)=0,

而且在点x=a附近的左侧/V)<0,右侧/'(X)〉0,则点a叫做函数的极小值点，加)叫做函

数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数人x)在点x=b处的函数值人3比它在点x=b附近其他点的函数值都大，fg=0,

而且在点x=b附近的左侧/'(x)〉0,右侧/'(X)<0,则点6叫做函数的极大值点，加)叫做函

数的极大值.

(3)极值与导数的关系

/(x)是极值点nf\x)=0

八x)=0»/(x)是极值点，即：/(x)=0是/(x)为极值点的必要非充分条件

2.函数的最值与导数

(1)函数人》)在［。，回上有最值的条件

如果在区间［。，切上函数y=Ax)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求7=加)在口,句上的最大(小)值的步骤

①求函数了=Ax)在(。，6)内的极值；

②将函数y=Xx)的各极值与端点处的函数值真。)，寅6)比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值.

考点一、求函数的极值或极值点

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)=(l-办)ln(l+x)-x.

⑴当a=-2时，求〃x)的极值；

(2)当xNO时，/(x)>0,求。的取值范围.

【答案】⑴极小值为0,无极大值.

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就-］<。<()、0分类讨论后可得参数的取值范围.

22

【详解】(1)当a=-2时，/(x)=(1+2x)ln(l+x)-x,

故/'(x)=21n(l+x)+^i^-l=21n(l+x)-一—+1,

1+x1+x

因为了=21n(l+x),y=-J—+1在(-l,+8)上为增函数，

故/(x)在(-1,+e)上为增函数，而/'")=0,

故当-l<x<0时，f\x)<0,当x>0时，f'(x)>0,

故〃x)在x=0处取极小值且极小值为/⑼=0,无极大值.

(2)/〈X)=-aln(l+x)+-——-1=—aln(l+x)-^-，-^^,x>0,

1+X1+X

、门/、/\(a+l)x

设s(%)=-QIn(1+x)-———,x>0,

,/-a(a+1)a(x+l)+<7+l_ax+2a+\

贝Is⑴=——--7T=~=---,

x+1(1+x)(1+x)0+无)

当时，s'(x)>0,故s(x)在(O,+s)上为增函数，

故s(x)>s(O)=O,gpf'(x)>0,

所以在［0,+的上为增函数，故/(x)N/(O)=O.

当一工<°<0时，当0<x<-2,+l时,s'(x)<0,

故s(x)在卜-宁］上为减函数，故在上s(x)<s(o),

即在［。，一^^上/'(X)<0B|J/(x)为减函数，

故在，,-干］上/(力<〃0)=0,不合题意，舍.

当aNO,此时s'(x)<0在(0,+8)上恒成立，

同理可得在(0,+。)上〃x)<〃0)=0恒成立，不合题意，舍；

综上，o.<——.

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

2.(2023•北京・高考真题)设函数/(尤)=>无3产",曲线>=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=r+L

(1)求生6的值；

(2)设函数g(x)=7'(x),求g(x)的单调区间；

⑶求/(x)的极值点个数.

［答案］⑴一1,6=1

⑵答案见解析

⑶3个

【分析】(1)先对/(x)求导，利用导数的几何意义得到/⑴=o,r(i)=-i,从而得到关于6的方程组,

解之即可；

(2)由(1)得g(x)的解析式，从而求得g'(x),利用数轴穿根法求得g'(x)<0与g'(x)>0的解，由此求

得g(x)的单调区间；

(3)结合(2)中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(-咫0),(0,再)，(再,马)与仁,+8)上/'(必

的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得了(x)的极值点个数.

【详解】([)因为/(xhx-xSy+:xeR,所以/'(无)=1一(3无2+办3卜A+3

因为/(x)在(1J(D)处的切线方程为>=-x+1,

所以/XI)=T+I=O,r(i)=-i,

l-l3xea+6=0\a=-\

则[l-(3+a『=-「解得(=1，

所以a=-l,6=l.

(2)由(1)得g(x)=/，(x)=l-(3x2-x3)er+i(xeR),

则g'(x)=~x卜?_6尤+6,T+I,

令一一6》+6=0,解得X=3±G，不妨设西=3-6，x2=3+y/3,贝1]0<再<工2,

易知er">0恒成立，

所以令g'(x)<0,解得0<x<X]或“当；令g'(x)>0,解得x<0或不<工<三；

所以g（x）在（0,占），（%2，+°°）上单调递减，在（-00,。），（网,马）上单调递增，

即g（x）的单调递减区间为（0,3-6）和（3+6,+对，单调递增区间为（-8,0）和（3-道,3+6）.

（3）由（1）得/'（xXx-deT+YxeR）,f（x）=l-（3x2-x3）e-x+,,

由（2）知/'（x）在（0,再）,（%，+8）上单调递减,在（-8,0）,（%,1）上单调递增,

当x＜0时，r（-l）=l-4e2＜0,r（0）=l＞0,即3（-1）广（0）＜0

所以尸（x）在（-。,0）上存在唯一零点，不妨设为马，则-1＜退＜0,

此时，当x＜£时，f（x）＜0,则/（x）单调递减；当退＜》＜0时，f'（x）＞0,则/（x）单调递增；

所以〃x）在（-叫0）上有一个极小值点；

当xe（O,xJ时，/（x）在（O,xJ上单调递减，

则/'（不）=/'（3-=1一2＜0,故/■'（0）/'（xJ＜0,

所以/'（x）在（0,再）上存在唯一零点，不妨设为小,贝!）0＜丁＜再,

此时，当0＜x＜%时，/'（x）＞0,则/（无）单调递增；当匕＜工＜再时，/'（x）＜0,则〃x）单调递减；

所以/（X）在（0,再）上有一个极大值点；

当xe（x”X2）时，/在（再,々）上单调递增，

则/伍）=/'（3+6卜尸⑶=1＞0,故八再）/仇）＜0,

所以/'（X）在（再用）上存在唯一零点，不妨设为%,则网＜%＜%，

此时，当王＜为＜%时，f'（x）＜0,则/（X）单调递减；当％＜彳＜々时，f'（x）＜0,则/'（X）单调递增;

所以/(x)在(再,尤2)上有一个极小值点；

当%>工2=3+6>3时，3x2-x3=x2(3-x)<0,

所以/'(x)=1-(3/-x)bM>0,则/(x)单调递增，

所以73在(马，+向上无极值点；

综上：/(x)在(-8,。)和(国,％)上各有一个极小值点，在(。,再)上有一个极大值点，共有3个极值点.

【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断了'(再)与/'(%)的正负情况，充分利用了'(X)的单调性,

寻找特殊点判断即可得解.

3.(2021・天津•高考真题)已知a>0,函数/(x)=ax-xeX.

(|)求曲线y=〃x)在点(oj(o))处的切线方程：

(II)证明/a)存在唯一的极值点

(III)若存在。，使得/(x)〈a+b对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

【答案】(I)^=(a-l)x,(a>0)；(II)证明见解析；(川)[-e.+co)

【分析】⑴求出〃无)在x=0处的导数，即切线斜率，求出〃0),即可求出切线方程；

(II)令/'(x)=0,可得。=(x+l)e，，则可化为证明与>=g(x)仅有一个交点，利用导数求出g(x)的

变化情况，数形结合即可求解；

(111)令〃(x)=(f-题目等价于存在xe(T,+co),使得/z(x)W6,即附咐心，利用导数

即可求出〃(x)的最小值.

【详解】⑴f'(x)=a-(x+l)ex,则”0).1,

又/(0)=0,则切线方程为y=(a-l)x,(a>0)；

(II)令=a-(x+l)e"=0,贝ljQ=(x+l)e",

令g(%)=(x+l)e”,则g，(%)=(%+2)],

当xw(-8,一2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当xe(-2,+◎时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当X-—8时，g(x)<0,g(-l)=o,当无f+8时，g(x)>0,画出g(x)大致图像如下：

所以当。>0时，>与V=g(x)仅有一个交点，令g(w)=a,则加>-1,>/，(w)=a-g(/n)=0,

当xe(-oo,M时,a>g(x),则"x)>0,单调递增，

当xe(m,+8)时,a<g(x),则八x)<0,/(x)单调递减,

x=7〃为/(x)的极大值点，故/(x)存在唯一的极值点；

(III)由(II)知/COmax=/(W)，此时4=(l+"2)e"',〃2>T,

所以｛/⑴-研耐=/(加)-。=(疗-wT)e'",(m>T),

令人(x)=(x?—x—l)e",(x>-1),

若存在a,使得/(x)Va+6对任意xeR成立，等价于存在xe,使得/z(x)46,即62〃(工篇，

〃(无)=(X?+x-2)e"=(x-l)(x+2)e*,x>-l,

当xe(-l,l)时,h\x)<0,单调递减，当xe(l,+co)时，h\x)>0,单调递增，

所以〃(无)min=〃(D=-e,故62-e,

所以实数6的取值范围［-e,+co).

【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明>与V=g(x)仅有一个交点；第三问解题的关键是

转化为存在xe(-1,+8),使得即6N/z(x)1nm.

即时检测

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1.(2024•湖南长沙•三模)已知函数/(x)=x+ln(ax)+Lxe“(a<0).

⑴求函数/(x)的极值；

⑵若集合卜|/(%"-1｝有且只有一个元素，求a的值.

【答案】⑴极大值是/(-1)=-1+也(-〃)-上，无极小值；

ae

⑵a=-L

e

【分析】(1)利用求导，通过参数。<。，可分析出了'(X)为正负的区间，从而可以判断“X)的极值;

(2)利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的条件，所以重新

构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解.

【详解】⑴由/(x)=(l+x)&汴

因为a<0,所以〃x)的定义域为(-8,0),则工+工<0,

xa

因为-1)时，/'(%)>0；%£(一1,0)时，/'(%)<0.

所以/(X)的单调递增区间为-1);单调递减区间为(TO)，

所以尤=-1是“X)的极大值点，/⑺的极大值是〃-1)=一1+山(-a)-,，无极小值.

UQ

(2)由(1)可得1ax=〃T=-l+ln(-aA：,

要使得集合｛x|/(x)N-1｝有且只有一个元素，则只需要T+山(-a)-：=T

设g(x)=T+ln(-x)---,贝

exxexex

-8,一1)时，g'(x)<。；f

因为xeXG-时，g(x)>0,

-a,-：］；单调递增区间为‘

所以g(x)的单调递减区间为?0｝

所以g(x)mM=g(T=-1,所以关于。的方程-1+1”-")-；=-1有解时,

只能是。=」，

e

所以集合卜|/(x)>-1)有且只有一个元素时a=-3

2.(2024•浙江温州•三模)设函数/(%)=%辰-3/的导函数为8⑴.

6

⑴求函数g(x)的单调区间和极值;

3

⑵证明：函数“X)存在唯一的极大值点％,且%>了

(参考数据：ln2«0.6931)

【答案】(l)g(x)在(0,1)上单调递增，在(L+功上单调递减，极大值g⑴=g,无极小值.

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数求函数g(x)的单调区间和极值；

(2)利用导数求函数/(无)的极大值点看,由单调性证明

【详解】(1)函数/(x)=xhx-Jx3,定义域为(o,+8),

6

111_2

g(x)=f，(x)=lnx+l--x2,g'(x)=——x=---r-(x>0),

乙XX

g'(x)>0解得0(尤<1,g'(x)<0解得x>l,

所以g(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+功上单调递减，

故极大值为g(l)=lnl+l-g=g,无极小值.

(2)由(1)可知，r(l)=g(l)=g>0且=一—<0,/，(e)=y<0,

所以根据零点定理，加使/(%)=0,加e(l,e)使((％)=0,

即了€(0,%)3%,+8)时，/,(x)<0,/(x)为减函数；

xe(%i，X2)时，/'(x)>0,/(x)为增函数，

所以/(x)存在唯一极大值点X2，即毛=乙«l,e),

又因为/(|)=lng+l=ln3-ln2+l-|=ln3-|^ln2+|yln3-O.8181>O=g(xo),

所以X2q|,eJ,UPx0>|,得证！

3.(2024・陕西商洛•模拟预测)已知函数/■(x)=xlnx-x-hu+l的导函数为尸(x).

⑴证明：函数/(x)有且只有一个极值点；

⑵若切'(X)-/(x)V-3-Me*恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

⑵(-8,-1]

【分析】

(1)求导，结合函数单调性及零点存在定理说明/(无)的单调性即可证明；

(2)换元r=xe，>0,并分离参数求函数最值即可求解.

【详解】(Q证明:由题意知〃X)的定义域为(0,+8),>/,(x)=lnx+l-l-i=lnx--,

XX

令9(x)=lnx—,贝=—I--=——>0(x>0),

xxxx

所以0(x)(即/(X”在(0,+8)上单调递增,

又/⑴=T<0/(e)=l」>0,

e

所以/'(x)在(1,e)上有唯一零点吃,

当0<x<x()时，/1x)<0,当xx。时，/,(x)>0,

所以/(x)在(0,%)上单调递减，在伉,+8)上单调递增,

所以函数〃x)有且只有一个极值点吃.

(2)/—<-3-加xe"恒成立，

BP(xlnx-l)-(xliu:-x-liix+l)<一3—加xe"，恒成立,

即hu+x+1W-mxex恒成立，即山(xe*)+1<-mxex恒成立.

令方=xe"〉0,则In,+1«-mt，所以一加之曲上1,

t

令8⑺二丁1"〉。)，则g，(/)=手，

令g'U)<0，得，>1,令g'(/)>0,得0<，<1,

所以g⑺在(0,1)上单调递增，在(1,+动上单调递减，

所以g(，)max=g(l)=l，所以TWZl,解得机4-1,

即实数加的取值范围为(-s,T].

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点及不等式恒成立问题，关键是利用函数特点同构，得到

In(xe")+1<-mxex恒成立..

考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围

典例引领

■

1.(2024•全国•高考真题)已知函数=

⑴当。=1时，求曲线V=〃x)在点(1JQ))处的切线方程；

⑵若/(X)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

【答案】⑴(eTx-yT=0

⑵(1,+co)

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析。<0和。>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得标+lna-1>0,

构建函数解不等式即可：解法二：求导，可知/(x)=e、-a有零点，可得。>0,进而利用导数求/(无)的单

调性和极值，分析可得/+ln“-1>0,构建函数解不等式即可.

【详解】(1)当。=1时,则/(x)=e*f-l,r(x)=eT

可得〃l)=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率左=e-l,

所以切线方程为了一(e—2)=(e-D(x-l),即(e—1)x7-1=0.

(2)解法一：因为Ax)的定义域为R,且尸(x)=e，-a,

若aWO,则/'(x)2O对任意xeR恒成立，

可知/(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令外尤)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-8,Ina)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增，

则/(x)有极小值/(lna)=a-alna-/,无极大值，

由题意可得：/(lna)=cz-olna-a3<0,即Y+ina-l〉。,

构建g(q)=/+lna-l,q>0,贝l]g<a)=2a+』>0,

可知g(。)在(0,+s)内单调递增,且g⑴=0,

不等式Y+ina-l〉。等价于g(a)>g⑴,解得。>1,

所以a的取值范围为+功；

解法二：因为/(x)的定义域为R,且八x)=e'-a,

若/(x)有极小值，则八x)=e=a有零点，

令广(x)=e、—a=0,可得e，=a,

可知y=e'与歹=。有交点，则。>0,

若。>0,令/''(x)>。，解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-<»,Ina)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增，

则/0)有极小值〃lna)=a-alna-a3,无极大值，符合题意，

由题意可得：/(lna)=cz-fllna-a3<0,即Y+ina-l〉。,

构建g(a)=/+Ina-1,a>0,

因为则尸。2/=1谈_1在(0,+功内单调递增，

可知g(a)在(0,+动内单调递增，且g(l)=0,

不等式力+如”1>0等价于g(a)>g⑴,解得。>1,

所以a的取值范围为(1,+8).

2.(2023•全国•高考真题)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数〃x)=cos办-ln(l-若尤=0是“X)的极大值点，求。的取值范围.

【答案】(1)证明见详解(2)(-^-V2)U(V2,+«)

【分析】⑴分别构建户(x)=x-sinx,xe(O,l),G(x)=x2-x+sinx,xe(0,1),求导，利用导数判断原函数

的单调性，进而可得结果；

(2)根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究了(无)在(0,1)上的单调性，求导，分类讨论0</<2和

«2>2,结合(1)中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.

【详解】(1)构建尸(x)=x-sin尤,xe(O,l),贝”'(x)=l-cosx>0对Vxe(0,1)恒成立，

则尸(x)在(0,1)上单调递增，可得尸(x)>>⑼=0,

所以x>sinx,xe(0,l)；

构建G(x)=sinx-(x-x2)=x2-x+sinx,xe(0,1),

贝[]G，(x)=2x-1+cosx,x&(0,1),

构建g(x)=G'(x),无e(0,l),则g'(x)=2-sinx>0对Vxe(O,l)恒成立，

则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g⑼=0,

即G(%)>0对X/xe(0,1)恒成立，

则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(0)=0,

所以sinx>x-尤2,xe(0,1)；

综上所述：x-x2<sinx<x.

(2)令1一/>0,解得即函数的定义域为(-1,1),

若0=0,则〃x)=l-ln(l-/卜4_1,1),

因为y=-hu/在定义域内单调递减，y=l-x2在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减,

则〃切=1-山(1-/)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

故x=0是/(x)的极小值点，不合题意，所以

当0W0时，令6=同>0

因为〃x)=cosax-ln(l-x2)=cos(同x)-In(1-x?)=cos-In(1-x?),

且/(-x)=cos(-&c)-ln[l_(-x)〔=cos&t-ln(l-尤2)=f(x),

所以函数/(无)在定义域内为偶函数，

2x

由题意可得：f'(x)=-bsmbx--^―,

(i)当0<6242时，取加=min]：,l1,xe(0,m),则6xe(0,l),

由(1)可得/(x)=-6sin(6x)-->-b2x--"二仅[+]),

X1X11X

且//>0,2—〃之0,1—％2>0,

所以〃同「伍：>0,

即当xe(O,%)u(O,l)时,r(x)>0,则〃x)在(0,加)上单调递增,

结合偶函数的对称性可知：/(尤)在(-加,0)上单调递减，

所以x=0是〃无)的极小值点，不合题意；

(ii)当〃>2时，取xe[o,：)=(O』)，则6xe(O,l),

由(1)可得八x)=-bsinbx——^-<-b^bx-b2x2]——1~—=—=(一人中

构建〃(x)=-b^+b2x2+/x+2-尸,xe(0,力，

则"(X)=-3b3x2+2b2x+b3,xE(0,：),

且“⑼=/>0,《£|=/_方>°,贝|j"⑺>0对\/xe恒成立，

可知h(x)在(0,()上单调递增，且〃(0)=2—/<0,〃[g]=2>0,

所以〃(x)在(0,j内存在唯一的零点ne(0,£|,

当X£(0,〃)时，则〃(x)<。，且x〉0,l-12>0,

则/'(X)<-^［-b3x3+b2x2+b3x+2-b2)<0,

即当xe(O,〃)u(O,l)时,r(x)<0,则〃x)在(0,〃)上单调递减,

结合偶函数的对称性可知：/(x)在(-«,0)上单调递增,

所以x=0是/'(x)的极大值点，符合题意；

综上所述：〃>2,即/>2,解得或"-正，

故a的取值范围为卜叱-痣)U(Vi,+8).

【点睛】关键点睛：

1.当0</42时，利用sinx<x,xe(O,l),换元放缩；

2.当/22时，利用X-/<sinx,xe(O,l),换元放缩.

3.(2023•全国•高考真题)已知函数〃x)=［：+小(1+x).

⑴当a=-1时，求曲线了=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

⑵是否存在。，6,使得曲线>=］关于直线x=b对称，若存在，求a,6的值，若不存在，说明理由.

⑶若/(X)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

【答案]⑴(ln2)x+yTn2=0；

(2)存在a=g,6=-g满足题意，理由见解析.

⑶心•

【分析】⑴由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求

解切线方程即可；

⑵首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数6的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可

得关于实数。的方程，解方程可得实数。的值，最后检验所得的。力是否正确即可；

⑶原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)="2+x-(x+l)ln(x+l),然后对函数求导，

利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论aW0,a2；和0<a三中情况即可求得实数a的取值范围.

【详解】(1)当。=-1时.，/(x)=Q-l^ln(x+l),

贝!=—^xln(x+l)+(l]x----,

X\JX+1

据此可得/⑴=0/(1)=_ln2,

函数在(1,/(1))处的切线方程为y-0=-n2(x-l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)令g(x)=/『]=(x+a)ln(Ll],

1_l_1

函数的定义域满足±+i=Yq>0,即函数的定义域为(-叱-1)。(0,+⑹,

XX

定义域关于直线乂=-；对称，由题意可得6=-;,

由对称性可知g+机I272；

3

取俏=；可得g(l)=g(-2),

即(a+1)In2=(a-2)lnJ,贝"a+1=2-a,解得a=g,

经检验“二家建满足题意，故"9

即存在满足题意.

(3)由函数的解析式可得/'(力=1-3卜(》+1)+1!+,占，

由“X)在区间(0,+功存在极值点，则/'(X)在区间(0,+8)上存在变号零点；

令［曰皿、+1)+匕+”占=0，

贝卜(、+1)111(1+1)+(%+4%2)=0,

令g(x)=+x-(x+l)ln(x+l),

/(X)在区间(o,+8)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+。)上存在变号零点，

gr(x)=2办一ln(x+l),g"(x)=2a---

当时，g\x)<0,g(x)在区间(0,+e)上单调递减,

此时g(x)<g⑼=0,g(x)在区间(0,+8)上无零点，不合题意；

当时，由于一二<1,所以g"(x)>0,g'(x)在区间(0,+8)上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+。)上单调递增,g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在区间(0,+动上无零点，不符合题意；

当0<a<一时，由g"(x)=2a-----=0可得尤=----1,

2x+12a

当尤<0,1-］时，g"(x)<0,g'(x)单调递减，

当xe(：-l,+C时，g〃(x)>0,g〈x)单调递增，

故g'(x)的最小值为g］：T)=l-2a+ln2a,

_rI1

令加(x)=l—x+lnx(0<x<l),贝|加'(x)=----->0,

函数加(x)在定义域内单调递增，m(x)<m(l)=0f

据此可得1-x+lnx<0恒成立，

则《(_1］=1_24+11120<0,

由一次函数与对数函数的性质可得，当X-+8时，

g'(x)=2ax-ln(x+l)—>+co,

且注意到g'(o)=o,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+。)上存在唯一零点%.

当xe(O,x。)时，g'(x)<0,g(x)单调减,

当xe(%,+co)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x())<g(O)=O.

令〃(x)=lnx-4,贝=L---2—yfx

2x

则函数"(x)=lnx-«在(0,4)上单调递增，在(4,+8)上单调递减,

所以〃(工)4〃(4)=1114-2<0,所以lnx<VI,

(4八14八1-a..

)±+1

a2

所以函数g(x)在区间(o,+“)上存在变号零点，符合题意.

综合上面可知:实数.得取值范围是(o,g]

【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等

函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

⑵根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为。和极值这两个条件列方程组，利

用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

4.(2021・全国,高考真题)设函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数J=力(切的极值点.

(1)求a；

(2)设函数g(x)=，证明:g(x)<l.

【答案】(1)a=l;(2)证明见详解

【分析】(1)由题意求出V,由极值点处导数为。即可求解出参数。；

(2)由(1)得g(x)=­—1，x<l旦XN0,分类讨论xe(O,l)和xe(-叫0),可等价转化为要证

g(x)<l,即证x+ln(l-x)>xln(l-x)在xe(O,l)和xe(-oo,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解

1y

【详解】(1)由/(x)=ln(a-x)n尸(x)=----,y=V(x)=>y'=ln(a-x)+-----

X—ClX—CL

又x=0是函数了=才(司的极值点，所以j/(0)=lna=0,解得a=l；

(2)［方法一］:转化为有分母的函数

由(I)知,名⑴二三*3k而%+J其定义域为(/o)U(。」).

要证g(x)<i,即证而，+;<i，即证氤%<1-=—

(i)当x"时，氤%<°，即证令尸⑴小一)-六，因为

-1X

尸(x)=------>0,所以歹(X)在区间(0,1)内为增函数，所以尸(x)>尸(0)=0.

1-x(尤-1)2(X-1)2

］X—1V

«―‘°)时,氤e>°,丁即证侬1)>口，由⑴分析知心)在区间(-巴。)

内为减函数，所以尸(x)>>(0)=0.

综合(i)(ii)有g(x)<1.

［方法二］【最优解】：转化为无分母函数

由⑴得〃/x)、=ln/(17)、,g(/x、)="x+^f(x=)xx+llnn((Llx-x))'x<l旦xwO,

/、x+ln(l-x),、/、

当xe(O,l)时，要证g(x)=xln(j)―“。河-)<。，"ln(j)<。，即证

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l-x)ln(l-x)〉0；

/、x+ln(l-x),、/、

同理，当X£(—8,0)时，要证g(x)=——7--T-<1,vx<0,ln(l-x)>0,.-.xln(l-x)<0,即证

xIn(1—xI

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l-x)ln(l-x)〉0；

令=x+,再令/=1—x,则te,x=\—t,

令研t)=l-/+rhn,0,(/)=-l+lnt+l=lnf,

当时，夕'。)<0,夕(。单减，故9«)>9(1)=0；

当/e(l,+oo)时，夕单增，故9(。>0(1)=0；

x+ln(l-x)/、一/、

综上所述，g(x)=--_r<1在尤e(-8,o)U(0,1)恒成立.

xIn(1—xI

［方法三］:利用导数不等式中的常见结论证明

11—Y

令9(x)=lnx-(x-l),因为"(x)=--1=----,所以夕(x)在区间(0,)内是增函数,在区间(1,+8)内是减函

XX

数，所以0(x)4。⑴=0,即InxWx-l(当且仅当x=l时取等号).故当x<l且XW0时，」一>0且

1-X

111VV

——wl,In——<--------1,即—ln(l—%)<一一，所以ln(l—X)〉一一.

1—X1—X1—X1—XX—\

Y1Y-1111

(i)当xe(0,l)时，0>ln(l-x)>-所以771-----;<------=1一一，即77^------;+一<1,所以g(x)<l.

x-1ln(l-X)xxln(l-x)x

V

(ii)当次£(-8,0)时,ln(l-x)>——>0,同理可证得g(x)<L

x-1

综合(i)(ii)得，当x<l且xwO时，可,一？<1,即g(x)<l.

xln(l-x)

【整体点评】(2)方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当xe(0,l)时，转化为证明

YV

ln(l-x)>^-,当xe(ro,0)时，转化为证明Ina-x)〉」7,然后构造函数，利用导数研究单调性，进而

证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当xe(O,l)时，x+(l-x)ln(l-x)>0成立

和当xe(-co,0)时，x+(l-x)ln(l-x)>0成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，

运算简洁，为最优解；方法三先构造函数0(x)=lnx-(x-l),利用导数分析单调性，证得常见常用结论

lnx4x-l(当且仅当x=l时取等号).然后换元得到分类讨论，利用不等式的基本性质证

x-1

得要证得不等式，有一定的巧合性.

即0唧(

1.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数”x)=2丁+3/-12x+加eR)的一个极值为-2.

⑴求实数加的值；

「3-

(2)若函数〃(x)在区间k,-上的最大值为18,求实数人与加的值.

【答案】⑴-22或5

⑵实数上的值为-1,加的值为5

【分析】(1)通过求导，根据导数的正负得到极值点，根据极值为-2解出加的值；

(2)根据|上〃(%)的单调性，分14左<|,k=-2,k<-2,-2〈人<1四种情况讨论”x)的最大值,

只有-2〈左<1中存在人符合题意，令最大值为18,求得后和加的值.

【详解】(1)由〃(％)=+3/—12%+加(加£R),得力'(％)=6—+6x—12=6(x+2)(x—l),

令l(x)=0,得工=一2或x=l；令得一2Vx<1；令//(x)〉0,得%v-2或x>l.

所以函数〃(x)有两个极值〃(-2)和〃⑴.

若/z(—2)=—2,得2x(—2)3+3x(—2)2—12x(—2)+加=—2,解得加=—22；

若〃⑴二—2,得2xF+3xF_12x1+加=一2,解得加=5.

综上，实数加的值为一22或5.

(2)由(1)得，〃(x),〃(x)在区间卜总的变化情况如下表所示:

3

X(-oo,-2)-2(-24)1

2

h'^x)+0—0+

9

/极大值加+20极小值加-7/m——

2

由表可知，

①当14左＜：时，函数在区间后S上单调递增，所以最大值为〃(野=加一|，

其值为号或卜不符合题意；

②当人=-2时，函数〃(x)在(-2,1)上单调递减，在上单调递增，

因为〃(-2)=20+机，〃］£|=加-|，〃(2)＞C，所以人⑺在左［上的最大值为〃(-2)=加+20,其值

为-2或25,不符合题意；

③当左＜-2时，函数”x)在化-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在上单调递增，

因为2)=20+机，O加-|，〃(2)＞咽，所以g)在弓上的最大值为力(-2)=加+20,其值

为-2或25,不符合题意；

④当-2〈左＜1时，爪可在仕,1)上单调递减，在］之上单调递增，

若“X)在区间《上的最大值为〃(3=加-|，其值为。或-1，不符合题意，

「3-

又因为若