导数的应用之函数的零点问题（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题15导数的应用■函数的零点问题5题型分类

彩题生江总

题型1:利用导数研究函数的零点个数

题型5：导数与“隐零点”问题

题型2：根据零点个数求参数

专题15导数的应用一函数的

零点问题5题型分类

题型4：零点与不等式的证明问题

题型3：根据零点个数求值

彩和源宏库

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数

的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与无轴(或直线>=左)在某区间上的交点

问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/G)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间m，6］上是连续不断的曲线，且/(a)<0,还必

须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不

同的值，就有几个不同的零点.

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将/(x)整理变形成

/■(x)=g(x)-4x)的形式，通过无)两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函

数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定

极值点和单调区间从而确定其大致图像；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过

构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想

研究；③构造辅助函数研究.

彩傩题和籍

（­）

函数零点的求解与判断方法

（1）直接求零点：令外）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间口，句上是连续不断的曲线，且八.）负6）＜0,还必须结合函

数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

（4）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.

注：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的

探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过

极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，

分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考

的地方

题型1：利用导数研究函数的零点个数

1-1.（2024高三下•江苏常州•阶段练习）已知/（无）=sin"x,g（x）=\nx+mex（〃为正整数，meR）.

⑴当，=1时,设函数，（力=炉-1_2/（0,xe（O,7i）,证明:〃卜）有且仅有1个零点；

⑵当〃=2时，证明：华Lg（x）＜（x+zn）e，一1.

1-2.(2024•江西九江•二模)已知函数/(x)=e'—ax2(aeR),g(x)=x-l.

(1)若直线V=g(x)与曲线>=f(x)相切，求a的值；

⑵用min｛加,〃｝表示根，"中的最小值，讨论函数〃(x)=min｛/(x),g(x)｝的零点个数.

1-3.(2024・山东一模)已知/(x)=asinx-x+」一(x>-l),且0为/(x)的一个极值点.

X+1

⑴求实数a的值；

(2)证明：①函数/(x)在区间(-1,+co)上存在唯一零点；

11«1

@------<^sin—<1,其中〃wN*且〃>2.

2n+1五k

1-4.(2024•山东•一模)已知函数/(x)=asinx-ln(l+x).

⑴若对VX£(-1,O］时，/(x)>o,求正实数。的最大值；

n1

(2)证明：2sin^<ln2；

⑶若函数g(x)=/(x)+e印-asinx的最小值为〃?，试判断方程e"。-ln(l+x)=0实数根的个数，并说明理

由.

1-5.(2024高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知函数/(x)=x2-alnx(aeR).

⑴判断函数了(无)的单调性；

(2)设g(x)=r(x)-/(x)-21n〃x),证明：当。=2时，函数g(x)有三个零点.

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(二)

根据零点个数求参数

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从/(x)中分离

参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通

过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数

!的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各

I个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

-------------------------------------------------------------------------------------------------

I题型2:根据零点个数求参数

2-1.(2024高二下•浙江台州•期末)已知函数/(x)=alnx+?.

i(1)当“=1时，求曲线>=/(》)在点(1J⑴)处的切线方程；

[(2)证明：当时，/(x)有且只有一个零点；

：⑶若/(X)在区间(0,1),(1,+⑹各恰有一个零点，求。的取值范围.

I2-2.(2024高三•全国・专题练习)已知函数/(x)=§+lng)_2(a>0),若函数〃x)在区间(0,+“)内存

I在零点，求实数。的取值范围.

!2-3.(2024・四川成都•一模)已知函数/3=(；砂+〃>工-仅+1卜.

!(1)讨论“X)的单调性；

|(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

11

I2-4.(2024高三上•广东•阶段练习)已知函数/(x)=(x-5)e'+a(x+5)2.

(1)讨论)(x)的单调性;

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

I

2-5.(2024•浙江•二模)设函数/(x)=x—sin—.

2

：(1)证明：当xe[0,l]时，/(x)<0；

(2)记g(x)=/(x)-aln|x|,若g(x)有且仅有2个零点，求。的值.

i2-6.(2024高三•全国•专题练习)已知/(无)=/+无2+办+'有3个零点，求实数a的取值范围.

I

I

I

，题型3:根据零点个数求值

_4—XA

(3-1.(2024•陕西宝鸡•二模)已知/是方程/ei+21nx-4=0的一个根，则e亍+21nx0的值是()

A.3B.4C.5D.6

32(2024高三上•广东东莞•阶段练习)已知函数〃x)=(x2-2x)e"若方程/⑴=。有3个不同的实根为，

X»JC3(X]<x2<x3),则—的取值范围是___________.

2-X2

3-3.(2024•福建福州•二模)已知函数/'(x)=x2e2，-(a+l)xe*+2a-l有三个零点%,工2户3,且再<Z<0<多，

t32

则(27声)(2-x2e^)(2-x3e)=.

彩他题秋籍(=)

零点与不等式的证明问题

证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，

或者通过比值代换[令'=；1利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简

后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等

式.

题型4：零点与不等式的证明问题

4-1.(2024高三上•广东深圳•阶段练习)己知函数/(x)=gae2-x2-ax,aeR.

(1)当。=1时，求函数g(x)=/(x)+x2的单调区间；

4

(2)当0<。<〒7，时，函数/(X)有两个极值点不，*2(JCj<x),证明：x>2.

e—122

4-2.(2024•宁夏)已知函数/(x)=(x3+3x2+ax+b)eT

(I)如.=6=-3,求/(x)的单调区间；

(II)若/(X)在(-co,a),(2,£)单调增加，在Q2),(夕,+oo)单调减少，证明

/3—a>6.

y—1

4-3.(2024・广东深圳•二模)已知函数/(%)=-----。Inx.

x+1

(1)当a=l时,求/(%)的单调区间；

(2)①当0<a时，试证明函数恰有三个零点；

②记①中的三个零点分别为4，X2,x3,且再<々<三，试证明才(1-％)>

2

4-4.(2024・山东日照•三模)已知函数/(x)=缶-9-Ina-1有三个零点.

I(1)求。的取值范围；

I(2)设函数7'(x)的三个零点由小到大依次是再广2，%.证明：ae^>e.

1

i4-5.(2024•江苏泰州•一模)已知函数xe(0,+oo),g(x)=.

［⑴若a>0,求证：

(i)/(x)在/(x)的单调减区间上也单调递减；

(ii)g(x)在(0,+oo)上恰有两个零点；

*2)若°>1,记g(x)的两个零点为三,乙,求证：4<x1+x2<a+4.

4-6.(2024•辽宁•二模)已知函数/(x)=e*-lnx—a.

(1)若a=3.证明函数/*)有且仅有两个零点；

(2)若函数/(x)存在两个零点三,三,证明：ex,X1>ex,+e%2+2-2a.

4-7.(2024高三上•湖南长沙•阶段练习)已知函数〃X)=1IU」(〃L1)X+L

|⑴若/(x)存在极值，求相的取值范围；

|(2)若他=0,已知方程/［十］=2有两个不同的实根苍,演，aeR,证明：%+%>2eln，.(其中e*2.71828

I是自然对数的底数)

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(四)

导数与“隐零点”问题

利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求''及"等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不

|含参函数的隐零点问题：已知不含参函数人x),导函数方程/(x)=0的根存在，却无法求出，设方程/(x)=0

!的根为xo,则(7)有关系式/(xo)=O成立；(汾注意确定xo的合适范围.②含参函数的隐零点问题：已知含参函

|数八x,。)，其中。为参数，导函数方程/(x,a)=0的根存在，却无法求出，设方程/(x,a)=0的根为xo,

!则⑺有关系式/(xo,a)=0成立，该关系式给出了xo,。的关系；(”)注意确定xo的合适范围，往往和。的取

i值范围有关.

|题型5:导数与“隐零点”问题

1------

5-1.(2024•全国)设函数/(x)=e?*-alnx.

(I)讨论〃x)的导函数/'(x)的零点的个数；

2

(II)证明：当0>0时/(x)22"+aln=.

5-2.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数/(x)=x-alnx.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若y=/(x)有两个零点，记较小零点为七,求证：(a-l)jco>a.

炼习与翌升

一、单选题

1.(2024•天津)函数/(x)=2,+X3一2在区间(0川内的零点个数是

A.0B.1C.2D.3

2.(2024•全国)函数〃X)=/+G+2存在3个零点，则。的取值范围是

A.(-oo,-2)B.(-oo,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

3.(2024•全国)已知函数/(x)=f—2%+〃(/一1+「'+1)有唯一零点，贝I」。=

111

A.—B.—C.-D.1

232

4.(2024•吉林通化•模拟预测)已知函数/(》)=12+2)卜3-3分+6)满足：①定义域为五；②g<6<4；

③有且仅有两个不同的零点不，巧，则:+：的取值范围是()

A.(-2,-1)B.^-1,--C.D.(1,2)

X-1

5.(2024•河南郑州•模拟预测)已知函数/(x)=±j+]七+。，若/(x)=0有3个不同的解士，莅，鼻

QXjX2X3

且再<%2<%3，贝U------1--------1------的取值范围是()

石x2x3

A.(e,+00)B.[2e,+oo)

C.(-8e,+oo)D.(e,2e)

6.(2024高三上•河北保定•阶段练习)已知函数/(尤)=;?一办2+法+1,则下列说法正确的是()

A.当6=0时，/(x)有两个极值点

B.当。=0时，“X)的图象关于(0,1)中心对称

2

C.当6=幺，且。>-4时，/(X)可能有三个零点

2

D.当“X)在R上单调时，a>3b

7.(2024・广东深圳•模拟预测)对于函数/(x)和g(x),设玉e{尤|/(x)=0},X2g(x)=0},若存在知巧，

使得|西-苫2区1,则称“X)与g(x)互为“零点相邻函数".若函数/(力=j3+尤-4与g(x)=lnx-mx互为"零

点相邻函数"，则实数加的值可以是()

In5In3In21

A.--B.--C.---D.一

532e

三、填空题

8.(2024•北京)已知函数/(x)=|lgM-far-2,给出下列四个结论：

①若左=0,/⑸恰有2个零点；

②存在负数左，使得/(x)恰有1个零点；

③存在负数左，使得AM恰有3个零点；

④存在正数左，使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

9.(2024高三上•江苏南通•开学考试)已知定义在R上的函数/(x)同时满足下列三个条件：

①“X)为奇函数；②当0W2时，/(x)=/一3x,③当丘0时，/(x+2)=/(x)+2.

则函数了=/(x)-M|x|的零点的个数为.

XQX-x2-2x,X<1

10.(2024高三上•广东深圳•阶段练习)已知函数/(力=，，则方程/[/(x)]+：=l有—

个不相等的实数解.

11.(2024•陕西西安•一模)若函数〃力=2/一"2+igeR)在(Q+司内有且只有一个零点，则/⑺在

[-2,2]上的最大值与最小值的和为.

四、解答题

12.(2024•全国)已知函数/'(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)为/⑸的导数.证明：

rr

(1)/(X)在区间(-1,万)存在唯一极大值点；

(2)/(x)有且仅有2个零点.

13.(2024•全国)已知函数/(x)=g尤3+x+l).

(1)若。=3,求〃x)的单调区间；

(2)证明：〃尤)只有一个零点.

14.(2024・全国)已知函数/(x)=ax-'-(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求〃x)的最大值；

⑵若/(X)恰有一个零点，求。的取值范围.

15.(2024•全国)已知函数/(x)=ln(l+x)+"eT

(1)当a=l时，求曲线>=/(》)在点(OJ(O))处的切线方程；

⑵若/(X)在区间(TO)，(0,+8)各恰有一个零点，求a的取值范围.

16.(2024高三上•河南■阶段练习)设函数/(尤)=(x-2)ln(x-l)-ax,aeR.

(1)若/(x)在⑵+功上单调递增,求a的取值范围；

(2)已知“X)有两个不同的零点三,力,

(i)求。的取值范围；

11,

(ii)证明：一+—=1.

国x2

17.(2024高三上•四川成都・开学考试)已知函数/(x)=alnx+x-L有三个零点西广2，%(^<x2<x3).

(1)求。的取值范围；

(2)过点(占,0)与(％,0)分别作“X)的切线，两切线交于M点，求M点到y轴的距离.

18.(2024•全国)已知函数/(x)=J-lnx+x-a.

(1)若/(x)ZO,求0的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点和马,则毛%<1.

-m

19.(2024•河北•模拟预测)已知函数/⑴=Inx+—-2.

x

⑴若不等式/(x)<-2有解，求实数加的取值范围；

(2)若/(x)有两个不同的零点占,12，证明：21nm<lnx1+lnx2<l+lnm.

20.(2024•陕西)设<(X)=X+%2+...+X"_L〃£N,2.

(I)求力(2)；

(II)证明：力⑴在层］内有且仅有一个零点(记为。，)，且0<%一"0".

21.(2024高三上•河南洛阳•开学考试)(1)证明不等式：e'-2>lnx(第一问必须用隐零点解决，否则不

给分)；

(2)已知函数〃x)=(x-2)e，+aQ-l)2有两个零点.求。的取值范围.(第二问必须用分段讨论解决，否则不给

分)

22.(2024高三上•河北•期中)已知函数/'(x)=2e"+a(%2-lnx)+x.

(1)若。=-2e7,求/(x)的单调区间；

⑵记函数g(尤)=---4n(x+l)+x+4,若/(x+l"g(x)恒成立，试求实数。的取值范围.

23.(2024高三上■云南■阶段练习)已知g(x)=xe，-a(lnx+x).

⑴当。=1时,求g(x)在。,+动上的单调性；

(2)若力(x)=xe",令/(x)="(x),讨论方程/(x)=m(meR)的解的个数.

Y-I-7)

24.(2024高三上•北京•开学考试)己知函数〃x)=ax-7,曲线y=/(x)在(OJ(O))的切线为了=f+l.

e

⑴求a,b的值；

(2)求证：函数在区间(1,+⑹上单调递增；

⑶求函数Ax)的零点个数，并说明理由.

25.(2024高三上•河北保定•开学考试)已知函数〃aeR.

⑴当a=T时，证明：/卜)>1在卜万,0］上恒成立；

⑵当。=1时，求“X)在优2句内的零点个数..

26.(2024高三上•重庆•阶段练习)已知定义在R上的函数/(x)=e'-x2-x-l,其导函数为尸(x).

(1)求尸/'⑺的单调区间；

⑵若函数g(X)=-/+("l)x,求关于X的方程g(x)=/(x)的解的个数.

27.(2024高三上•河北•阶段练习)已知函数〃x)=sin(x-l)一旦X,/⑺为〃x)的导数.

⑴证明：/'(X)在区间(0,1+5]上存在唯一极大值点；

(2)求函数〃x)的零点个数.

28.(2024高三上•重庆•开学考试)已知函数/(x)=xei.

⑴求的极值；

⑵若关于X的方程/(x)=加只有一个实数解，求实数机的取值范围.

29.(2024高三上•四川广安•阶段练习)已知函数/(x)=x3+3"-2.

(1)讨论/*)的单调性；

⑵若函数"X)只有一个零点，求实数。的取值范围.

30.(2024高三上•江西南昌•开学考试)已知函数/卜)=优仅＞1).

⑴求函数g(x)=/(x)+/]£|在(0,+。)上的单调区间和极值；

⑵若方程/(£|=l-xbg“x有两个不同的正根，求”的取值范围.

31.(2024高三上•福建厦门•阶段练习)若函数”尤)=公3_法+4,当尤=1时，函数有极值为2,

⑴求函数的解析式；

⑵若〃x)=左有3个解，求实数人的范围.

32.(2024•河北保定•二模)已知函数/(同=卜+2)6'+/+办，其中常数aeR,e是自然对数的底数.

⑴若。=-3,求的最小值;

⑵若函数g(x)=/(x)-2cos尤恰有一个零点，求°的值.

e

33.(2024高三上•重庆•阶段练习)已知函数/'(x)=alnx-j(aeR).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=/(x)+1在区间。,+8)上恰有一个零点，求。的取值范围.

34.(2024・河南•模拟预测)已知函数/(无)=。111工-皿。,6€11,。片0).

⑴求证：曲线了=/(x)仅有一条过原点的切线；

(2)若。=2b>0时，关于x的方程〃x)=加-x?有唯一解，求实数机的取值范围.

35.(2024•新疆•三模)已知函数/(》)=62+(a+l)xlnx-l,g(x)=/(").

X

⑴讨论g(x)的单调性；

(2)若方程/。)=/砂+》11^-1有两个不相等的实根占,三,求实数。的取值范围，并证明炉+如>工.

再入2

36.(2024•江西鹰潭•一模)设冽为实数，函数/(x)=2加nx-2x(m£R).

⑴当7M=(时，直线y=ax+6是曲线y=/(x)的切线，求。+6的最小值；

⑵已函数“X)有两个不同的零点七，々(0<西<%),若与=三±孕(2片-1),且/'(x0)<0恒成立，求

实数2的范围.

37.(2024高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)已知函数/'(x^xe,+ln(尤+l)-asinx.

(1)证明：当。>2时，/(x)在区间(0,，上存在极值点；

⑵记“X)在区间„上的极值点为m,在区间［0,兀］上的零点的和为n,请比较2m与n的大小.

38.(2024高三上•内蒙古乌兰察布•期中)设函数/(x)=-a2inx+9+£x,

⑴试讨论函数/(x)的单调性；

(2)如果〃〉0且关于X的方程/(x)=冽有两个解再户2(占<X2)，证明：再+'2>2”.

39.(2024高三上•辽宁大连•期中)已知函数/(x)=e，-巴(e自然对数的底数)有两个零点.

(1)求实数。的取值范围；

2

e

(2)若Ax)的两个零点分别为不，入2,证明：XlX2>^—.

40.(2024高三下•重庆九龙坡•开学考试)已知了卜)=2噢小|-6X3(。>0且"1).

(1)试讨论函数/(x)的单调性;

⑵当a>1时，若“X)有三个零点

①求。的范围；

②设求证：3x：+2x：+x；>2e-2.

41.(2024高三上•广东河源・开学考试)已知函数〃尤)=ln(x+l),g(x)=/(无)+ae)其中aeR.

⑴求过点(-1,-1)且与函数/(x)的图象相切的直线方程；

丫2

(2)①求证：当x>0时，ex>\+x+—；

②若函数g(x)有两个不同的零点七，求证：|x2-x1|<2J-4+^-l.

-Vaa

全国名校大联考2023-2024学年高三上学期第一联考(月考)数学试题)已知函数〃x)=21nx+ax(aeR).

⑴若/(x)<0在(0,+司上恒成立，求a的取值范围：

(2)设g(x)=4-/(x),X],4为函数g(x)的两个零点，证明:xixi<1•

43.(2024•江苏南京•模拟预测)已知函数/(无)=lnx,g(尤)=g/-2x+l.

(1)求函数0(x)=g(x)-3〃x)的单调递减区间；

(2)设〃(x)=4(x)-g(x),a&R.

①求证：函数了=〃(无)存在零点；

②设。<0,若函数y=，(x)的一个零点为根.问：是否存在。，使得当xe(0,m)时，函数y=/z(x)有且仅有

一个零点，且总有〃(x)20恒成立？如果存在，试确定。的个数；如果不存在，请说明理由.

44.(2024高三上■山西临汾■期中)已知函数/(x)=e*-asinx-1,g(x)=-+++a(cosx-sinx)+2,

/卜)在(0,%)上有且仅有一个零点看.

(1)求。的取值范围；

(2)证明：若l<a<2,则g(x)在(-心0)上有且仅有一个零点为，且毛+再<0.

45.(2024高三上•广东深圳•阶段练习)已知a>0,函数=xe*-a,g(x)=xlnx-a.

⑴证明:函数〃x),g(x)都恰有一个零点;

⑵设函数/(无)的零点为为，g(x)的零点为莅，证明中2=。.

46.(2024•海南海口•模拟预测)已知函数/(x)=xe"2.

⑴求〃x)的最小值;

⑵设尸(x)=/(x)+a(x+1/(a>0).

(i)证明：尸(x)存在两个零点a，x?；

(ii)证明：/0)的两个零点a，々满足再+工2+2<0.

47.(2024高三上•甘肃天水•阶段练习)已知函数/(x)=Inx+ax?+(24+l)x.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当。=0时，g(x)=(x-l)/(x)-x2-l,证明：函数g(x)有且仅有两个零点，两个零点互为倒数.

48.(2024•四川遂宁■模拟预测)已知函数/(尤)=Inx+ax?+(2a+l)x.

(I)若函数/(x)在尤=1处取得极值，求曲线y=在点(2/(2))处的切线方程；

(2)讨论函数AM的单调性；

(3)当。=0时，g(x)=(x-l)/(x)-x2-l,证明：函数g(x)有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.

49.(2024高三•湖南长沙•阶段练习)已知函数"x)=lnx-ax(aeR)在其定义域内有两个不同的零点.

(1)求。的取值范围；

(2)记两个零点为4Z，且项<工2，已知；1>0,若不等式％(111X2-1)+111再-1>0恒成立，求力的取值范

围.

50.(2024•广西•模拟预测)已知/(x)=(--ax+l)lnx.

Cl)若函数/(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；

(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为％,马,项且毛<%,当玉+马>2时，求实数a的取值范围.

51.(2024・贵州遵义•模拟预测)已知函数=1(a,bwR).

(1)若6=0,且/J)在(0,+<»)内有且只有一个零点，求。的值；

(2)若/+/,=(),且〃x)有三个不同零点，问是否存在实数。使得这三个零点成等差数列？若存在，求出

。的值，若不存在，请说明理由.

52.(2024•浙江•二模)设a<(已知函数〃x)=(x-2)e、-2x)+2有3个不同零点.

(1)当。=0时，求函数〃x)的最小值：

(2)求实数。的取值范围；

⑶设函数/(x)的三个零点分别为王、范、x3,且再吃<0,证明：存在唯一的实数。，使得毛、巧、七成

等差数列.

Inv/7Y

53.(2024高三上•山东临沂•期中)已知函数/⑺=哄和g(x)=?有相同的最大值.

xe

(1)求。，并说明函数〃(x)=/(x)-g(x)在(1,e)上有且仅有一个零点；

(2)证明：存在直线>其与两条曲线>=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等比数列.

54.(2024•湖北黄冈•三模)已知函数/(x)=xsinx+cosx+ax2,g(x)=xln±.

兀

(1)当a=0时，求函数/'(x)在［-兀,句上的极值；

⑵用max{%"}表示中的最大值，记函数〃@)=11^{/(9名(尤)}*>0),讨论函数〃(x)在(0,+")上的

零点个数.

1Y

55.(2024・四川南充•三模)已知函数/(x)=xsinx+cosx+—,g(x)=xln—.

271

⑴当a=0时,求函数"X)在［-私河上的极值；

⑵用max{机,〃}表示加，〃中的最大值，记函数〃(x)=max{/(x),g(x)}(x>0),讨论函数〃(x)在(0,+<»)上的

零点个数.

56.(2024•四川南充三模)已知函数〃x)=?+］-x,g(x)=lnx其中e为自然对数的底数.

⑴当”=1时，求函数/(x)的极值；

(2)用max{m,〃}表示加，〃中的最大值，记函数否@)=11^{/(%)名卜)}(工>0),当.20时，讨论函数〃(尤)

在(0,+司上的零点个数.

57.(2024・广东汕头,二模)已知函数/(x)=-Inx,g(x)=x3-ax+^-,aeR.

4

(1)若函数g(x)存在极值点%,且g(xj=g(xo),其中玉rx。，求证：X)+2x0=0；

⑵用min{%疥表示加，〃中的最小值,记函数〃(x)=min{/(x),g(x)}(x>0),若函数〃(x)有且仅有三个不同

的零点，求实数。的取值范围.

58.(2024高三上•山西朔州•期末)已知函数/(x)=x3+ax+；,g(x)=l-x-lnx.

⑴若过点。,0)可作/(x)的两条切线，求。的值.

(2)用min{w}表示〃中的最小值，设函数〃(x)=min{/(x),g(x)}(0<x<l),讨论力卜)零点的个数.

59.(2024高三上•重庆南岸•阶段练习)已知/(x)=xlnx+|*x2+].

(1)若函数g(x)=〃x)+xcosx-sinx-xlnx-l在上有1个零点，求实数。的取值范围.

⑵若关于x的方程xe…=/(x)-|x2+«x-l有两个不同的实数解，求a的取值范围.

60.(2024高三上■湖南■阶段练习)已知函数/(x)=ae*-ln(x+l)+lna-l.

(1)若a=l,求函数/(x)的极值；

(2)若函数“X)有且仅有两个零点，求a的取值范围.

61.(2024•江苏)已知关于x的函数y=/(x),y=g(x)与〃(x)=foc+6(左,6eR)在区间。上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若+2x,g(x)=-x2+2x<£>=(t»,+oo),求Mx)的表达式；

(2)若/(x)=x?-x+1,g(x)=k\nx,h{x}=kx-k,D=(0,+oo),求k的取值范围；

2

(3)若/(切=/一2—g(x)=4x-8,//(x)=4(P-卜一3r+2〃(0<|心血)，。=[见〃仁卜后,拒]求证:

n-m<V?.

62.(2024高三上•广东汕头・期中)已知函数〃x)=e[ex-2(a+l)]+2ax,(e为自然对数的底数，且).

⑴讨论“X)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.

63.(2024高三•宁夏银川•阶段练习)已知函数/(尤)=xe*+a(x+l)2(“e尺)

(1)讨论/U)的单调性；

⑵若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

专题15导数的应用■函数的零点问题5题型分类

彩题生江总

题型1:利用导数研究函数的零点个数

题型5：导数与“隐零点”问题

题型2：根据零点个数求参数

专题15导数的应用一函数的

零点问题5题型分类

题型4：零点与不等式的证明问题

题型3：根据零点个数求值

彩和源宏库

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数

的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与无轴(或直线>=左)在某区间上的交点

问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/G)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间m，6］上是连续不断的曲线，且/(a)<0,还必

须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不

同的值，就有几个不同的零点.

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将/(x)整理变形成

/■(x)=g(x)-4x)的形式，通过无)两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函

数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定

极值点和单调区间从而确定其大致图像；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过

构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想

研究；③构造辅助函数研究.

彩傩题和籍

（­）

函数零点的求解与判断方法

（1）直接求零点：令外）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间口，句上是连续不断的曲线，且八.）负6）＜0,还必须结合函

数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

（4）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.

注：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的

探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过

极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，

分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考

的地方

题型1：利用导数研究函数的零点个数

1-1.（2024高三下•江苏常州•阶段练习）已知/（无）=sin"x,g（x）=\nx+mex（〃为正整数，meR）.

⑴当，=1时,设函数，（力=炉-1_2/（0,xe（O,7i）,证明:〃卜）有且仅有1个零点；

⑵当〃=2时，证明：华Lg（x）＜（x+zn）e，一1.

1------

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】(1)对力卜)进行二次求导，根据二阶导数的单调性，确定一阶导数的正负，从而判断原函数的单

调性，结合零点存在定理，即可求证.

(2)根据题意，只需证、/+hLv+l-xe，<0即可，结合$沦2尤<2苍a>0)结合同构函数，即可容易证明.

【详解】(1)当"=1时，A(x)=x2-1-2sinJC(O<X<7T)

I己夕(x)="(x)=2x-2cosx,则9'(x)=2+2sinx>0

所以9(x)=/(x)在区间(0,兀)上单调递增

而夕(0)=—2<0,eg>兀>0

所以存在毛£(0微；使得9(%)=0，即/(%)=0

当工£(0,%)时,9(x)=〃(x)<0,单调递减

当(%,兀)时，0(x)=/(x)>0,%(x)单调递增

2

又〃⑼=-1<0,A(x0)<A(0)<0,/Z(K)=7i-1>0

所以〃(x)在(o,x0)上没有零点，在(毛，兀)上有一个零点，

综上所述，函数〃(%)在(0,兀)内只有一个零点.

(2)当〃=2时，/r(x)=2sinxcosx=sin2x,

要证q^+g(x)<(x+加)e"—l,

Qin9y

即证W+欣+—<0,

2

令〃(x)=sin2x-2x(x>0),贝！JH[x)=2cos2x-2«0,

所以“(x)在(0,+s)单调递减，H(x)<〃(0)=0,即sin2x<2x,

cin9V

要证J^+lnx+lre'<0只需证无+lnx+l-xeV0,

2

令〃(x)=e*-尤一1,则〃'(x)=e*-l,

二〃(x)在(-00，。)单调递减,在(0,+(»)单调递增，

/.//(x)>/z(0)=0,即e，2x+l,

ex+m*2尤+ln尤+1,即xe*Wx+lnx+1,

所以x+lnx+1-xex<0成立，

原命题得证.

【点睛】本题考查利用导数证明函数的零点个数，以及利用导数证明不等式恒成立，解决第二问的关键是

利用$/2工<2武工>0)进行放缩，以及利用同构xe，=e„构造函数进行证明，属综合困难题.

1-2.(202全江西九江・二模)已知函数/(刈=/-冰2伍€10，g(x)=;c-l.

(1)若直线y=g(x)与曲线y=/(x)相切，求°的值；

⑵用min｛%”｝表示他，〃中的最小值，讨论函数〃(工)=01山｛/1)遭(尤)｝的零点个数.

2_i

【答案】(1)。=」e

4

(2)答案见解析

【分析】(1)根据已知切线方程求列方程求切点坐标，再代入求参即可;

(2)先分段讨论最小值，再分情况根据单调性求函数值域判断每种情况下零点个数即可.

【详解】(1)设切点为(x。,%),.../'(x)=e，-2ox,=2a/

ex°-2aXr.=1,

(*)

x

e°-ax；=x0-l,

消去°整理，得卜'。+1)(毛一2)=0,二/=2

.e2-l

••a=-------

4

(2)①当xe(-8,l)时,g(x)<0,/z(x)=min{〃x),g(x)}(g(x)<0,〃(尤)在(-oo,l)上无零点

②当x=l时，g⑴=0,/(l)=e-a.

若q«e,此时〃(x)=g(l)=0,x=l是的一个零点,

1-------

若a>e,/(1)<0,此时"(x)=/⑴<0,x=l不是〃(x)的零点

③当无€(1,舟)时，g(x)>0,此时力⑺的零点即为〃x)的零点.

令/(x)=ex-ax2=0,得q==，令(p(x)='，贝U(p\x)=。,

XXX

当l<x<2时，(p{x)<0；当x〉2时，O(x)〉0,；・夕(％)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，且当

XT+8时，夕(X)—>+8

2

⑴若。<夕(2),即时，/(%)在(1,+8)上无零点，即"x)在。,+⑹上无零点

2

(ii)若“=矶2),即时，〃X)在(1,+S)上有一个零点，即〃(x)在(1,+功上有一个零点

2

(iii)若"⑵<。<夕⑴，即?<a<e时，〃x)在(1,+8)上有两个零点，即力(无)在(1,+8)上有两个零点

(iv)若aN/⑴,即aNe时，/(x)在(1,+(»)上有一个零点,即〃(x)在(1,+s)上有一个零点

综上所述，当”?或a>e时，力⑺