新高考新结构命题下的导数解答题综合训练-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第17讲新高考新结构

命题下的导数解答题综合训练

(11类核心考点精练)

12.考情探究•

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

(1)三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

(2)三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

(3)三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。导数版块作

为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，

易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，导数版块也可能被置于第18、19题这样的压轴题中，此时的分

值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南,

以期在新高考中取得更好的成绩。

考点一、利用导数研究具体函数的单调性

1.（2024•湖南邵阳•三模）已知函数

⑴求函数/（X）的单调递增区间；

（2）若函数g（x）=〃x）-M丘R）有且仅有三个零点，求后的取值范围.

【答案】⑴（0,2）

⑵左Ji,]

【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可;

（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得上的取值范围.

【详解】([)由/仁)=一；/+/+1,得/，3=*+2%,

令/(x)>0,得*+2x>0,解得0<x<2.

所以/(x)的单调递增区间为(0,2)

(2)令/(x)=0,解得x=0或x=2.

当x变化时,/'(X),〃x)的变化情况如下表所示：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(X)-0+0-

7

/(X)单调递减1单调递增单调递减

3

由函数g(x)=/(x)-上有且仅有三个零点，

得方程/(X)=左(左eR)有且仅有三个不等的实数根，

所以函数>=/(x)的图象与直线>=左有且仅有三个交点.

显然，当X-—8时，/(x)f+8;当Xf+8时，/(x)^-OO.

7

所以由上表可知，〃x)的极小值为〃0)=1,“X)的极大值为"2)=(,

故此。3

2.(2024•浙江•三模)已知函数/(x)=e::L

⑴求函数〃X)的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线与二次曲线>=ax2+(2a+5)x-2只有一个公共点，求实数a的值.

【答案】⑴单调增区间：(7,2),单调减区间:(2,+co).

(2)。=一'或一

【分析】(1)利用导数求函数的单调区间；

(2)首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析△得出结论.

【详解】(1)易知/(x)定义域为R,y'(司=7，

所以xe(-8,2),/'(x)>0,xe(2,+oo),fr(x)<0.

故〃x)单调增区间：(-叫2),单调减区间：(2,+8).

(2)因为f'(O)=2,/(O)=O,

所以曲线V=/(x)在点(0,0)处的切线为y=2x

把切线方程V=2x代入二次曲线方程了=。/+(2。+5卜-2,得。苫2+(2。+3卜-2=0有唯一解,

即△=(2a+3)~+8a=0且a*0,即4a2+20a+9=0

19

解得或

3.(2024•湖南邵阳三模)已知函数/(x)=21x+a.eR)

⑴若a=2,求/(x)的单调区间.

(2)若对Vxw(0,+co),〃x)Wxe*恒成立，求实数。的取值范围

【答案】的单调递增区间为(。,1)，单调递减区间为(1,+8)

(2)(-00』

【分析】(1)求导，根据导函数的符号判断原函数的单调区间；

(2)分析可知原题意等价于对Vxe(0,+co),aW/eX-21nx-x恒成立，构建g(x)=/e*-21nx-x,尤>0,

利用导数判断g(x)的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.

【详解】(1)若a=2,则/5卜21n匕—的定义域为(O,+e),

X

x—F1|一(21nx+x+2)

且广⑺一21nx,

令/''(x)>0,解得0<x<l；令/'(x)<0,解得x>l：

所以〃x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为0,+8).

(2)因为〃x)=211n丁+「4泥"则q<fe=21nx-x,

所以原题意等价于对Vxe(O,+8),°=苫2/-21皿7恒成立，

构建g(x)=x2ex-21nx-x,x>0,

贝I]g，(x)=卜2+2x)e"二一1=x(x+2)[e"_《)，

i7

令Mx)=e'-下,x>0,贝11/(0=1+二>0对Vxw(O,+8)恒成立,

可知“X)在(0,+8)内单调递增，且访［卜五一4<0〃(l)=e-l>0,

可知力(X)在(0,+8)内存在唯一零点/e,

当O<x<Xo时，/z(x)<0,即g'(x)<0；

当X>/时，A(x)>0,即g[x)>0；

可知g(x)在(0,%)内单调递减，在(％,+⑹内单调递增，

则g(x"g(X。)=-2InX。-X。=x；e%-Inx；e",

且"XoAe飞一1^。，可得需e'0=l,

则g(x)Ng(x())=lTnl=l,可得aMl,

所以实数。的取值范围为(-85.

4.(2024・陕西渭南•二模)已知函数〃x)=xlnx,g(x)=^^-x+-.

XX

⑴求函数g(x)的单调区间；

(2)若当x>0时，mx2-e'V科/'(x)恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴递减区间为(0,+⑹，无递增区间；

(2)(-0>,e].

【分析】(1)求出函数g(x),再利用导数求出g(x)的单调区间.

(2)等价变形给定不等式得加(x-lnx)Ve-,令f=x-lnx并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求

出函数的最小值即得.

【详解】(1)依题意，函数g(x)=21nx-x+，的定义域为(0,+co),

X

711

求导得g'(x)=——l--=-(——1)240,当且仅当x=l时取等号，

XXX

即g(x)在(0,+co)上单调递减，

所以函数g(x)的递减区间为(0,+8),无递增区间.

(2)当%>0时，加--e"(堂0加/一/4加x]nx=加(x-lnx)<J=e>1nx恒成立，

x

令7z(x)=x—lnx,x>0,求导得=l一L,

x

当Ovxvl时,h\x)<0,当尤>1时,h\x)>0,

即函数力(X)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增,则当x>0时，A(x)>A(l)=l,

令E=x-lnx,依题意，V/e[l,+oo),加<e'<=>加V—恒成立，

令叭t)=.g,求导得“⑺=交尸20,则函数。⑺在口,+到上单调递增，

当f=l时,0(%=。(1)=e,因此加We,

所以实数加的取值范围(-叫e].

【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单

调性、最值是解决问题的关键.

5.(2024•湖南衡阳•模拟预测)函数/(x)=(办+l)lnx-ax+2111a.

⑴当a=2时，讨论〃x)的单调性；

(2)〃x)在(0,+。)上单调递增，求。的取值范围.

【答案】⑴/(x)在(0,+⑹上单调递增；

⑵(0，e]

【分析】(1)求导之后再对g(x)=2xlnx+l分析即可得到单调性；

(2)/(x)在(0,+8)上单调递增得广(乃上0,然后转化为〃(x)="lnx+lW0,即力(初向20.

【详解】(1)当。=2时，/(x)=(2x+l)lnx-2x+21n2,f(x)的定义域为(0,+8),

・•/(无)=2Inx+在立■-2=辿五!，

XX

令g(x)=2xInx+1,贝ljg'(x)=2Inx+2=2(lnx+1),

令g'(x)=。，即lnx+l=0=>x='，

e

当0<x<'时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>L时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

ee

=gQ^=l-|>0，.•./'*)>0在(0,+<»)上成立，

,・J(x)在(0,+8)上单调递增.

(2)•••/(刈在(0,+8)上单调递增，二小”0,xe(0,+8)恒成立,

〃,/、iax+1axlnx+1、八小、―――

f(x)=67InxH----------a=------------->0,%£(0,+8)怛成山

xx

即办lnx+120,%£(0,+°0)恒成立.

令h(x)=ax]nx+l,贝ljh\x)=Q(1+Inx).

・.,Q>0,当0<x<1时，h\x)<0,力(x)单调递减；

e

当时，h'(x)>0,〃(x)单调递增；

e

・•.奴X)取得最小值d=l

-t*1—>0,0<a«e.

e

・•・实数。的取值范围为（0,4

6.（2024・广东佛山•二模）已知/（x）=-ge2£+4e"-ax-5.

⑴当"3时，求/（x）的单调区间；

（2）若/（x）有两个极值点X],x2,证明：/（再）+/@2）+网+Z<0.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；

（2）借助换元法，令七e，,%=户，右=小，可得％、马是方程4f+a=0的两个正根，借助韦达定理

可得:+马=4,区=。，即可用％、，2表示“』）+〃々）+玉+工2,进而用。表示/（为）+/（%2）+为+%,构

造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.

【详解】（1）当。=3时，/（x）=-1e2x+4eJ-3x-5,

/,（x）=-e2Y+4er-3=-（eI-l）（ev-3）,

则当e"£（0,1）u（3,+a）,即x£（-。,0）u（In3,+。）时，/r（x）<0,

当e“£（,3）,即x£（0,ln3）时，/'（x）>0,

故/（x）的单调递减区间为（-。⑼、（ln3,+。），单调递增区间为（0,ln3）；

（2）/，（%）=—e2x+4er—a,令/=e",即/'（%）=-t?+4%—〃,

X2

令％=炉,t2=ef则小L是方程4/+a=0的两个正根，

贝ljA=（-4）2-4。=16—4。>0,即av4,

有4+才2=4,t[t2=a>0,即0<a<4,

贝（Jf（/）+/（工2）+玉+12~—e?”"+4eX|—QX1—5——e"+4eV2_cix2_5+X1+/

——5（'；+'；）+4（4+,2）-（Q-1）（In:+lnq）-10

=—/[（，i+，2）—2%I,2]+4（4+*2）—（"-l）lnt^2—10

=-^（16-2«）+16-（6r-l）ln«-10

=a-（Q-l）lnQ-2,

要证/(再)+/(x2)+Xj+x2<0,即证Q_(〃_l)lnQ_2<0(0<Q<4),

令g(x)=^-(x-l)lnx-2(0<x<4),

则g，(x)=l-^lnx+――=--Inx,

令〃(x)=，-lnx(0<%<4),贝V(x)=--y-—<0,

则g'(%)在(0,4)上单调递减,

又g<l)=；-lnl=l,g<2)=；一ln2<0,

故存在%£(1,2),使g'(x())=Inx0=0,即——Inx0,

%o%

则当xe(O,Xo)时，g'(x)>0,当xe(xo,4)时，g'(x)<0,

故g(x)在(0,%)上单调递增，g(x)在(％,4)上单调递减，

贝ljg(x)g(x0)=x0-(x0-l)lnx0-2=x0-(x0-l)x2=x0+--3,

xoxo

又x°e(l,2),则故g(x0)=%+'-3<0,

即g(x)<。，即/'(七)+/(%)+玉+/<0.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令/=6*，4=ew,/2=e”,从而可结合韦达定理得％、

的关系，即可用。表示/(再)+/(无2)+再+%,构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.

7.(2024•河北保定・二模)已知函数/■(x)=(x-2e2)lnx-ox-2e2(aeR).

⑴若a=l,讨论〃x)的单调性；

(2)己知存在使得/仁”/(*在(0,+8)上恒成立，若方程/(*=-卢-2e2gl有解，求实数上

的取值范围.

【答案】(1)/3在(0,门上单调递减，在份,+动上单调递增；

吁:；

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，令g(x)=/'(x),判断g(x)的单调性，即可得到了'(X)的取值情

况，从而得到/(X)的单调区间；

(2)求出函数的导函数，即可判断导函数的单调性，依题意可得了'(%)=0,即可得到

22

/(x0)=-2elru0-x0,&/l(x)=-2elru-x,依题意可得“无。)=〃(卢)有解，利用导数说明“叼的单调性,

即可得到毛=卢，从而得到左号，再令加(x)=*l<x<e2),利用导数求出加(x)的单调性，即可求出

函数的极值与区间端点的函数值，从而求出参数的取值范围.

【详解】(1)函数/(X)的定义域为(0,+8),

当0=1时，/(x)=(x-2ez)lnx-x-2e2,所以/1x)=-至-+lnx,

设g(x)=/，(x)=-2『+lnx,因为>=-7、>=隈都在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)在(0,+0上单调递增，且g@)=0,

所以xe(0壮)时，g(x)<0/(x)<0,/(x)单调递减；

xe(e2,+oo)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以/(x)在(0,e?)上单调递减，在H,+动上单调递增.

(2)由/(x)=-2e2)lux--2e2,xG(0,+oo),

?e2

得=----blnx+l-a,

因为y=-至、歹=用都在(0,+动上单调递增，所以/'(X)在(0,+8)上单调递增，

X

已知存在x°e(l,e2),使得〃耳之/伍)在(0,+s)上恒成立，所以〃x。)是的最小值，所以/'(%)=0,

2e22e2

即/'(x())=-----Flux。+1—Q=0,所以Q=kiX0+]-----,

%与

所以/(%)=(%-2e2)叫-啄-2e2

(2Q2\

二(%-2e2)IHXQ_IIHXQ+1------------XQ—2e2=—2C21HXQ-x。，

=-2e2lnx-x,

由方程/(%)=-卢—2e2fofo有解，得一2匕21叫一%=—e"。—2e2g)有解，

即〃(%)=〃(叫有解，

因为〃3=-至-1<0在(0,+")上恒成立，所以“(X)在(0,+。)上单调递减，

所以修=/。，贝匹=牛，

%0

设加(X)=^(l<X<e2),贝1]加'(％)=^^,

XX

所以工£(l,e)时，W(x)>0,加(%)单调递增，X£(e,e2)时，m"(x)<0,m(x)单调递减，

又加⑴=0,加(6)=-,加仁2)=下，

所以0〈左vL即左的取值范围是(0」.

eIe」

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极(最)值问题处理.

8.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃x)=e2;@F+?(weR).

⑴若7"=2e2,求的单调区间；

(2)若〃7=0,/(X)的最小值为/(%0),求证：4<"。)<6.

【答案】(1)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8)

(2)证明见解析.

【分析】(1)求导，根据85)=2苫202，+11«-2€2的单调性以及86=0,即可求解导数的正负，进而可求解

〃x)的单调性，

(2)构造函数〃(x)=e，-x-l,求导证明e*2x+l,当且仅当x=0时等号成立.即可根据

e2^>2x+lnx+l,求解〃x)的最小值为2,结合零点存在性定理可得，即可求解.

【详解】(1)由题知，f(x)的定义域为(0,+").

c2n।z./\2x+12e~

、加=2e~时，f(x)=e2x------+—,

2e22x2e2x+Inx—2e2

所以八力=2/+学-

设g(x)=2x4,+liu-2e2,易知g(x)在(0,+。)上单调递增,

又g(l)=0,故当xe(O,l)时，g(x)<0,即/'(x)<0,当xe(l,+”)时，g(x)>0,即/

所以/(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+“).

(2)当机=0时，/a)=e"-==—e^-inx-l

XXX

设4(%)=e*-x-1,贝ij=e"-1,

当x<0时，"(x)<0,当x>0时，

所以“X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+动上单调递增,

故力(“2M0)=0,所以e，1+l,当且仅当x=0时等号成立.

e2x+lm-Inx-1>2x+Inx+1-Inx-1

所以/'(x)==2,

XX

当且仅当2x+lnx=0时等号成立，

故/(%)的最小值〃/)=2,且2%+1啄=0.

记0(x)=2x+hu,

易知夕(X)在(0,+8)上单调递增,则X。是夕(X)的唯一零点.

因为9出=1_1112>0,«?Q^=|-ln3<0,

所以:</<:•所以4<小]<6.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

9.(2024・浙江•模拟预测)已知函数/(x)=“(e*+si问-x-1.

⑴当时，求/(x)的单调区间；

(2)当4=1时，判断〃X)的零点个数.

【答案】⑴减区间为(-8,0),增区间为(0,+8);

(2)2个.

【分析】(1)求导，当x<0时，利用指数函数性质和余弦函数有界性可判断导数符号，当x>0时，利用二

次导数判断导函数单调性，然后可得导函数符号；

(2)当x>0时，利用二次导数判断了(x)的单调性，当XV-兀时，利用指数函数性质和正弦函数有界性可

判断函数值符号，当-n<x<0时，记〃(x)=e'-x-l,利用导数研究其图象，根据〃(於与〉=-5也X的图象

交点个数判断即可.

【详解】(1)当a=g时，/@)=，/+$加)一》-1,所以r(x)=g(e，+co&x)-1,

当x<0时，ex<l,cosx<l,所以g(e*+cosx)<l,贝!|/'(x)<0,

所以，/(x)在(-s,0)上单调递减.

当x>0时，记g(x)=；(e*+cosx)T,贝I]g'(x)=g(e*-sinx),

因为e*>12sinx,所以g'(x)>0,g(x)在(0,+s)单调递增,

所以g(x)>g(O)=O,即/'(x)>0,所以f(x)在(。,+8)上单调递增.

综上,/(X)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8).

(2)当a=l时，/(x)=ex+sinx-x-l,则/''(x)=e*+cosx-l,

iHh(x)=ex+cosx-1,贝I]=e*-sinx,

当x>0时，ex>l>sinx,所以〃(x)>0,〃(x)在(0,+动单调递增，

所以力(x)>〃(0)=1>0,在(0,+“)上单调递增，

所以〃x)>/(0)=0，〃x)在(0,+。)上无零点.

当尤《一兀时，S^/ex>0,sinx>>n-1,

所以/(x)=e*+sinx-x-1>0,此时/'(x)无零点.

当-7t<x<0时，记"(x)=e*-x-1,则〃'(x)=e*-1<0,

因为当X趋近于。时，"'(X)趋近于0,所以〃(X)的变化越来越慢，图象下凹,

当x=—兀时，e*-x-l>—sinx,当x=0时，e1—x—1=-sinx,

作出函数”(x)和y=-sinx的图象如图，

由图可知，当-兀<x<0时，两个函数图象有一个交点，即/(X)有一个零点.

易知x=0是〃x)的一个零点.

综上，函数〃x)共有2个零点.

10.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=e2'-aln(x+l).

⑴若。=2,讨论〃x)的单调性.

(2)若x>0,a>1,求证：/(x)>^-alna.

【答案】⑴答案见解析:

⑵证明见解析.

【分析】(])利用二次导数判断/''(》)的单调性，结合/'(0)=0即可求解；

(2)当l<aW2时，利用导数通过证明/(x)>/(O)即可；当a>2时，利用零点存在性定理判断了'⑺的零

点再由零点方程化简整理得〃x)的最小值，然后由零点吃的范围即可求解.

【详解】(1)当a=2时，/(x)=e^-21n(x+l),定义域为(-1,+“)，

则“、)=2/一二T

2

设g(X)=/'(X),则g'(x)=4e2、+-_-T>o,

(x+1)

所以/'(x)在(T+8)上单调递增,且广(0)=0,

所以，当xe(-l,O)时，r(x)<r(O)=O,f(x)单调递减,

当xe(O,+8)时,r(x)>r(o)=o,“X)单调递增，

所以/(X)在(-1,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增.

(2)因为/(x)=e2*-aln(x+l),

所以7''(x)=2e2，_£?

因为。>1,所以/''(X)在(0,+8)上单调递增,且/'(0)=2-。.

①若1<042,则广(0"0,

所以当x>0时，/'(x)>0恒成立，/(X)单调递增.

又〃In〃〉0,

所以/(x)>/(O)=l>g-alna；

②若a>2,贝|/'(0)=2-a<0,/r(a-l)=2e2(a-1)-1>0,

所以存在x°e(O,a-l),使得/(无。)=0,即/”二三二.

当xe(O,x。)时，r(x)<0,/(x)单调递减,

当xe(x°,+e)时，r(x)>0,f(x)单调递增,

a

所以/(x)2/(xo)=e2M-aln(x0+l)=2^+2-aln(x0+l).

因为了=3标-〃ln(x+l)在(0,"1)上单调递减,

——----tzln(x+1)>—；一-----a\na=—aIna

所以2%+2vn072(Q-1)+22

所以/(x)>—aInq

2

综上所述，当x>0,时，—alnq.

【点睛】思路点睛：证明一般可以考虑证明左，若/(X)有最小值，但无法具体确定,

这种情况下一般是先把/(x)的最小值转化为关于极值点的一个函数，再根据极值点的取值范围，确定最小

值的取值范围.

考点二、利用导数研究含参函数的单调性

2

1.(2024■广东汕头三模)已知函数/(x)=lnx-办,g(x)=二,a*0.

(1)求函数的单调区间；

(2)若/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

【答案】(1)答案见详解

【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a>0与。<0分类讨论即可得;

(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【详解】(1)r(x)=--a=—("0),

XX

当〃<0时，由于％>0,所以/'(x)>0恒成立，从而/(X)在(0,+。)上递增；

当Q〉o时，0<%<工，ff(x)>0；x>—,/'(x)<0,

aa

从而〃x)在，上递增，在递减；

综上，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当a>0时，“X)的单调递增区间为10,J,单调递减区间为t,+J.

2

(2)令〃(x)=/(x)-g(x)=lnx-ax-晟，要使Wg(x)恒成立，

只要使"x)WO恒成立，也只要使"4mW0.

/"Q-lZ7+之_-(ax+l)(«JC-2)

xaxax

若Q〉0,X>0,所以QX+l>0恒成立，

22

当0<x<—时，//'(%)>0,当一<x<+oo时，I(x)<0,

aa

可知"x)在(o,£j内单调递增，在'，+，(内单调递减，

所以“4畋=«W=出彳一3W。,解得：a>1,

2

可知。的最小值为不；

e

若Q<0,x>0,所以办一2<0恒成立，

当0<x〈一工时，当一!<%<+8时，h'^x)>0,

aa

可知〃(x)在(0,-£|内单调递减，在,：，+归)内单调递增，

所以〃(x)在(0,+8)内无最大值，且当X趋近于+8时，〃(x)趋近于+如不合题意;

综上所述：。的最小值为彳.

e

2.(2024・陕西榆林•模拟预测)已知函数/卜)=^+("1)》-1,其中aeR.

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)当4=2时，证明：/(x)>xlnx-cosx.

【答案】⑴答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)就a<1分类讨论导数的符号后可得函数的单调性；

(2)原不等式等价于e*+x+cosx-l-xhu>0,xe(0,+co),当0<xWl时，可由各式符号证明此不等式成立,

当x>l时，设g(x)=e*+x+cosx-l-xlnx,利用导数可证明g'(x)>0恒成立，据此可得g(x)的单调性，从

而可得原不等式成立.

【详解】(1),.'/(x)=eJ+(a-l)x-l,/,(x)=eI+fl-l,

当心1时，/'(x)=e、+a-l>0,函数/(x)在R上单调递增；

当a<1时，由/'(x)=e*+a-l>0,得

函数/(x)在区间(ln(l-a),+s)上单调递增，

由/''(x)=e*+a_l<0,得x<ln(l_a),

函数/(x)在区间(ro,ln(l-0))上单调递减.

综上，当时，/(x)在R上单调递增，无减区间.

当a<1时，“X)在0n(li),+8)上单调递增，在(-8,In(1-切上单调递减.

(2),:当a=2时，/(无)=e*+x—1,

要证/(X)>xlnx-cosx,即证e*+x+cosx-1-xlnx>0,xe(0,+oo),

①当0<x«l时，,.,e'+x+cosx-l>0,xlnx<0,

ex+x+cosx-1-xlnx>0；

②当x>l时，令g(x)=e'+x+cosx-l-xlnx,

则gr(x)=ex-sinx-Inx,设〃(x)=g'(x),则l(x)=ex-cosx——,

x

'.x>lfe>e>2r-1<<0,-1<-cosx<1,/.h'^x)>0,

x

/./z(x)在(1,+8)上单调递增,/.A(x)>/z(1)=e-sinl-0>0,即g，(x)〉0,

g(%)在(1,+8)上单调递增，.二g(x)>g(l)=e+cosl>0,

即e"+x+cosx-1-xh\x>0.

综上，当〃=2时，/(x)>xlnx-cosx.

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立，应该根据不等式中含有的函数的类型进行合理的分类讨论,

特别是含有三角函数式时，可根据其值域选择分类讨论的标准.

3.(2024•江苏苏州•模拟预测)已知函数〃％)=山+办+l,awR.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)当“V2时，证明：^-<e2x.

X

【答案】⑴答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(])求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；

(2)要证明只要证'+2'+1会2,即可,设g(x)=e'-x-l,利用导数求得最值即可证明.

XX

【详解】⑴函数/(x)=lnx+"+lM£R的定义域为(0,+”)，且八X)=5+Q.

当Q20时，X/xG(0,+oc),/r(x)=—+6T〉0恒成立，

所以/(X)在区间(0,+。)上单调递增；

当QV0时，令"1+"=0,解得％=_▲,

xxa

当xe时，r(x)>OJ(x)在区间)上单调递增，

当工€卜：,+，|时，/'(x)<0J(x)在区间上单调递减.

综上所述，当a20时，/(%)在区间(0,+。)上单调递增；

当"0时，〃x)在区间,「J上单调递增，在区间廿,+二|上单调递减.

(2)当时，因为x>0,所以要证只要证明—+2X+1We?，即可,

即要证lnx+2x+l〈xe2x,等价于e2x+i"21nx+2x+l(*).

令g(x)=e*—x—1,则g'(x)=e"—l,

在区间(-8,0)上，g'(x)<0,g(x)单调递减；

在区间(0,+8)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)Ng(O)=e°-0-1=0,所以e"Nx+l(当且仅当x=0时等号成立),

所以(*)成立，当且仅当2x+lnx=0时，等号成立.

2

又〃(x)=2x+Inx在(0,+动上单调递增,h=——1<0,//(1)=2>0,

Ie

所以存在七£使得2%+1啄=0成立.

综上所述，原不等式成立.

4.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数/(X)=Q(X+1)2-x-lnx(QER).

⑴讨论/(x)的单调性;

⑵当时，求证：f(x)>2tz———bl.

【答案】⑴当时，函数〃x)在区间(0,+8)上单调递减；当。>0时，函数〃x)在区间单调递

减，在区间单调递增.

⑵证明见解析；

【分析】(1)求出函数的导数，通过对。分类讨论，即可求出函数的单调性；

(2)根据(1)结论判断函数/(x)的单调性，并求出最小值，再通过最小值与2a-二+1在指定区间作比

较即可得证.

【详解】(1)由题意可知，函数/■(x)=a(x+l)2-x-lnx的定义域为(0,+s),

导数/⑴=2a(x+l)-l--=(x+l)(2"T),

XX

当时，xe(0,+oo),f\x)<0；

当。〉0时，e(0,--),yr(x)<0；xe,+oo),yz(x)>0；

综上，当时，函数/⑴在区间(0,+◎上单调递减；

当。>0时，函数"X)在区间(0,，-)上单调递减，在区间(1，+功上单调递增.

2a2a

(2)由(1)可知，当时，

函数〃x)在区间(0,J)上单调递减，在区间(J,+功上单调递增.

2a2a

所以函数>"1)=+1)2-4一ln(J)=。+1_；+ln(2a),

2a2a2a2a4。

要证〃x)22"'+l,

2a

需iiEtz+1-----Fln(2q)N2a-----F1,

4。2a

即需证,+ln(2a)-a20,ae(0,1恒成立.

4a2

令g(Q)=--+ln(2a)-a,

4。

贝IJg\a)=--^--1+-=―仅；<0，

4aa4a2”

所以函数g(a)在区间(0,单调递减，

故g(a)2g(，=g+O_g=0，

所以^—Fln(2a)—a>0,ae(0,系恒成立，

4a2

所以当0<Q(二■时，/(x)之2a———F1.

22a

5.(2024•山西吕梁•三模)已知函数/(x)=/—2x+ahu：M£R).

⑴讨论函数的单调性；

(2)若对任意的%%e(O,+助，占使")(再)一*/伍)>0恒成立,则实数。的取值范围.

玉-x2

【答案】⑴答案见解析

(2)[0,2e3]

【分析】(1)由〃x)=x2-2x+alnx,(aeR),定义域为xe(0,+功，求导(卜)="匚令

g(x)=2x2-2x+a,讨论当。取不同的值时g(x)的正负情况，即可得到/(x)的单调性;

(2)法一：由.一项/0)>0可化为心1>必，令G(x)=©=x-2+胆，讨论。取正、负、

玉~X2XX

零时G'(x)=1+N0恒成立，即可得到实数。的取值范围;

法二：由1〃再)一百〃/)>0可得>0,令g(x)="^=x-2+驷，即g'(x"0

x1-x2XX

恒成立，由月(x)=H+吗-0则令刈x)=/+“1_向)，则/7(x"0恒成立，讨论a取正、负、零时

X

“(》)=在1的单调情况，得到极值，即可得到实数。的取值范围.

【详解】(I)“X)的定义域为石(0,+司/(叼=2X-2+?=宜彳上

2

令g(%)=2x-2x+af

又A=4一8。，

r，当A40,即ON；时，g(x)>0,此时/''GAOJU)在(0,+功上单调递增

2°-当A>0,即。■时，

令g(x)=o,解得再=匕。1£马=土;二11

其中，当0<。<|■时,0<X](X2，xe(0,xJo(X2，+8),g(x》0,

XE(xPx2),g(x)<0

所以/(x)在(0，西)，(工2，+。)单调递增，在(再，%)单调递减；

当"0时，%!<0<x2,xG(O,x2),g(x)0,xe(x2，+e)，g(x))O，

故/(%)在(0,工2)单调递减，(%2，+”)单调递增.

综上：。[/⑺在(0,+为上单调递增；

1+J1-2a]V

0<Q<；J(x)在|0,1-1

,+a上单调递增;

7

a40J(x)在。，匕

I+5/I—2a.、/、E、乂I”

上单调递减，在---------,+”上单倜递增.

(2)

(2)法一：不妨设0<X1<Xz，则Xz/aj-x/a?)>0,同除以X]》2得f[')>"x2)，

史Lx-2+如,

所以令G(X)=

XX

当xe(0,+8)时，G'(x)=1+>0恒成立,

1。，若a=0,G'(x)=l>0恒成立，符合题意,

、一八1、lnx-1―a、

2。，当。>0,—2—「恒成"，

ax

人厂/、lnx-1,l，/x3-21nx

令尸(x)=—贝niIJ尸'(X)=—,

所以尸(x)在(0,1单调递增，在户+力单调递减，

1(3、1

所以.，所以a«0,2e3],

3。，若。<0,同理工4蛆二恒成立，由2。知，当x->0+,尸-8

ax

所以不存在满足条件的”.

综上所述：«e(0,2e3].

法二：(X]1工2)[工2/(西)-%/a2)]>。O(再I-3a]>°，

令g(x)=£B=A2+生”，则只需g(x)在(0,+功单调递增，

XX

即g'(x"0恒成立，

g'(x)=X+°(；-应,令〃(x)=x2+a(l-lnx),则〃(x"0恒成立;

又〃(%)=2—=空之，

XX

①当0=0时，人(力=人。(力在(0,+e)单调递增成立；

②当.<0时，〃白)>0,//(工)在(0,+8)单调递增，又xf0,4x)f-8,故〃(x”0不恒成立.不满足题意;

a

③当a>0时，由〃(x)=0得x=z(x)在0,单调递减，在单调递增,

因为力(x)20恒成立，所以以口而"=«,£]=羡[3-山|卜0,

解得0<<2<2e3,

综上，^ze[0,2e3].

6.(2024•广东东莞•模拟预测)已知函数/(x)=；x2+(i_a)x_qinx(Q£R).

⑴求函数/(x)的单调区间;

(2)当。>0时，求函数〃x)在区间［l,e］上的最大值.

【答案】⑴答案见解析

⑵答案见解析

【分析】(1)利用导数，分类讨论求区间；

(2)结合(1)得到的函数单调性，分类讨论函数/(x)最大值.

【详解】⑴t(x)的定义域为(0,+8),

求导数，得八x)=x+l-a_q=x2+(l")x-r=(x+l)(x-。),

XXX

若aV0,则/'(x)>0,此时〃x)在(0,+8)上单调递增，

若a>0,则由/'(x)=0得x=a,当0<x<a时，/f(x)<0,/(x)在(0,a)上单调递减,

当x>a时，r(x)>0,/(x)在(a,+。)上单调递增,

综上，当a«0,7(x)的增区间为(0,+8),无减区间，

若。>0,/(尤)减区间为(O,a),增区间为(。,+8).

(2)由(1)知，当0<aWl时，/(X)在区间［l,e］上为增函数，

函数/⑴的最大值为了⑻=为?%。-。^-%

当aNe时，/(X)在区间［l,e］上为减函数，

函数/(X)的最大值为〃1)=。，

当l<a<e时，在区间(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数,

函数/(x)的最大值为max{〃l)J(e)},

1Q13

由〃e)-/⑴=2©2+(1一。,_5>0,<—C+1--,

1Q1

若Icav^e+l-五时,函数/'(x)的最大值为/'(e)=5e2+(l-a)e-a,

1QQ

若3e+l-^Wave时，函数/'(x)的最大值为/(1)=；_〃，

22e2

1Q1

综上，当a<：e+i-2时，函数“X)的最大值为/卜)=5，+(1-〃》-。,

当心方1+1-2Q时，函数/(无)的最大值为〃l)=£a-a.

3

7.(2024•宁夏吴忠•模拟预测)已知函数/(x)=ae、-尤-］(aeR).

⑴讨论“X)的单调性；

(2)证明：当〃>0时，/(x)>21ntz-tz2.

【答案】在上单调递减，在(-山〃,+8)上单调递增

⑵证明见解析

【分析】(1)求导后，结合导数正负与单调性的关系，分QVO及。〉0讨论即可得；

(2)原问题可转化为证明当。〉0时，tz2--1-lntz>0,构造函数g(Q)=/-；-lna(a>0)后，利用导数可

得该函数的单调性，即可得其最小值，即可得证.

【详解】(1)由题意知/'(x)=Qe、—1,

当时，Ax)<0,所以/(x)在(-%+8)上单调递减；

当〃>0时，令/'(x)<0,解得x<-lna,

令/'(%