2025高考数学专项复习：双曲线方程及其性质（含答案）

双曲线方程及其性质2025高考数学专

项复习含答案

双曲线方程陵其性质

醮.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新/卷，第12题,5分求双曲线的离心率无

由递推关系证明等比数列

2024年新H卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标

向量夹角的坐标表示

利用定义解决双曲线中集点三角形问题

2023年新/卷，第16题,5分无

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

直线的点斜式方程及辨析

2023年新H卷，第21题,12分根据a、b、c求双曲线的标准方程

双曲线中的定直线问题

求双曲线中三角形（四边形）的面积问题

2022年新/卷，第21题,12分求双曲线标准方程

根据韦达定理求参数

求双曲线中的弦长

由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参

2022年新H卷，第21题,12分根据双曲线的渐近线求标准方程

数

根据韦达定理求参数

双曲线中的轨迹方程

2021年新/卷，第21题,12分求双曲线的标准方程

双曲线中的定值问题

2021年新II卷，第13题,5分根据a,6,c齐次式关系求渐近线方程由双曲线的离心率求参数的取值范围

判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系

2020年新1卷，第9题,5分

判断方程是否表示椭圆

判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系

2020年新n卷，第10题,5分

判断方程是否表示椭圆

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容,设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解

2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算

3.能熟练计算双曲线的离心率

4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用

5.会求双曲线中的相关最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重

••

点强化训练

IflV考点梳理，

知识讲解

1.双曲线的定义

平面上一动点到两定点E(—C,O),月(c,0)的距离的差的绝对值

为定值2a(且小于|E£|=2c)的点的轨迹叫做双曲线

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离囱弱叫做双曲线的焦距

2.数学表达式：

||四|一|喇M=2a<㈤月|=2c

3.双曲线的标准方程

焦点在，轴上的标准方程焦点在?/轴上的标准方程

•M

一、、一

标准方程为：/7—<=l(a>0,b>0)标准方程为：----=1(。>0,6>0)

ab-ab

4.双曲线中a,b,c的基本关系

©=(?+/)

5.双曲线的几何性质

焦点的位置焦点在力轴上焦点在沙轴上

于

图形7X

\俯2%

予2/1/2个2

标准方程-2=1(。>0,b>0)——=1(Q>0,b>0)

abab

x4-a或力>ag<_Q或

范围

"RxER

A4—Q,O),4(Q,O)4(0,-a),4(0,a)

顶点坐标

_8i(0,—b),B2(0,b)B(—b,0),B2(b,0)

实轴AA=2a实轴长，MQ=\A2O\=a实半轴长

虚轴B1B2|=2b虚轴长，|BQ|=|5O|=b虚半轴长

焦点用(一c,0),用(c,0)E(o,—c)，E(0,c)

焦距|瓦项=2c焦距，囱O|=区。|=c半焦距

对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)

y=+^x।a

渐近线方程y=F

a

e=—(e>1)

a

离心率e2=]=y=1+5=1+(9)；e=/+(N

离心率对双曲e越大，双曲线开口越阔

线的影响e越小，双曲线开口越窄

6.离心率与渐近线夹角的关系

cosa

7.通径：

（同椭圆）

通径长：|AW|=|EF|=斗，

“2

半通径长：|皿引=|岫|=|EE|=FEI=—

a

8.双曲线的焦点到渐近线的距离为6

考点一、双曲线的定义及其应用

典例引领

22

1.（2024.河北邢台.二模）若点P是双曲线。：条-*=1上一点，鼻后分别为。的左、右焦点，则

169

“灰囿=8”是尸鸟|=16”的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.充分不必要条件

2.（2023•全国•模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为鸟、鸟，过E的直线交双曲线左支于A、8两点,

且|人日=5,若双曲线的实轴长为8,那么△/他的周长是（）

3.（2024高三•全国•专题练习）若动点PQ,仍满足方程|J（c+2y+靖—jQ—2）2+才|=3,则动点P的

轨迹方程为（）

即时检测

1.（2024・陕西榆林•模拟预测）设E,月是双曲线。岑—『=1的左,右焦点，过E的直线与y轴和C的

4o

右支分别交于点P，Q,若馍。月是正三角形，则|P同=（）

M是双曲线上的一点，且|上阴I=5,则\MF^

3.（23-24高二上•四川凉山・期末）已知点M（2,0）,N（-2,0）,动点P满足条件—|PN|=2,则动

点P的轨迹方程为（）

A.《一才=1（工>"）B.《—靖=1（支

OO

C./—不=1（力>1）D.不=1Q4-1）

Oo

考点二、双曲线的标准方程

典例引领

22

1.（2024高三下•全国・专题练习）双曲线方程为7=1,则R的取值范围是（）

\k\-25-fc

A.k>5B.2<fc<5C.-2<k<2D.-2<A;V2或k>5

2.（2023高三上•湖北孝感・专题练习）过点（2,2）且与椭圆9^+3力=27有相同焦点的双曲线方程为

3.（22-23高二下•甘肃武威・开学考试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

⑴Q=4,经过点>1（1,生，口）；

（2）焦点3轴上,且过点（3,-4V2）,（j,5）.

即时检测

■一

22

4.（23-24高三上•河北张家口.开学考试）“>2”是“与--^―=1表示双曲线”的（）.

k+1k—2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024•辽宁・二模）已知双曲线C：/—娟=4仅#0）的焦点为（0,±2）,则。的方程为（）

A.a?2—y2=1B.y2—x2=lC.x2—y2=2D.y2—rr2=2

6.（2022高三•全国•专题练习）已知某双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点P（3,2/7）,Q（—60,7）,求该

双曲线的标准方程.

考点三、双曲线的几何性质

典例引领

1.（2024•福建福州•模拟预测）以“=±32为渐近线的双曲线可以是（）

222

A.专一才=1B.x2—--=lC.~——x2=lD.y2-^-=l

2.（2024•广西柳州•模拟预测）双曲线［—3=1的一个顶点到渐近线的距离为（）.

416

A.V5B.4C.2宜D.2V3

5

3.（2024.河南新乡•三模）双曲线E：下支---/^=1的实轴长为4,则&=

a^+a+22a+3---------

2222

4.（2024・湖南益阳•模拟预测）已知双曲线左—幺=1（巾＞0,"＞0）与椭圆。=1有相同的焦点，

mn43

则2+工的最小值为（）

mn

A.6B.7C.8D.9

2

5.（2022.福建三明.模拟预测）已知双曲线G"+2=1（馆¥0）与6〃—/=2共焦点，则Q的渐近线

m

方程为（）.

A.x±y=0B.V2x±y=0C.x±V3y=0D.V3x±y=0

6.（2024•贵州・模拟预测）我们把离心率为名丑的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C:

———4=1。＞0）,则。的虚轴长为

2V5-2b---------

即时检漱（

1.（24-25高三上•江苏南通•开学考试）过点F（2,3）的等轴双曲线的方程为.

2

2.（2024•安徽合肥・一模）双曲线。:①2一（=1的焦距为4,则。的渐近线方程为（）

6

A.y=±V15xB.y=±V3xc-"士普D-片土*

3.（23—24高三上•河南漠河•期末）已知双曲线C:mx2-y2=l（m>0）的一条渐近线方程为mx+V3y

=0,则C的焦距为.

4.（24-25高三上•山东泰安•开学考试）若双曲线—4=l（a>0,b>0）的一个焦点尸（5,0）,一条渐

ab~

近线方程为0=%则a+b=.

2222

5.（2024.河南新乡•模拟预测）（多选）已知a>0,b>0,则双曲线G：号—号=1与G：告—9=4有相

abab

同的（）

A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线

考点四、双曲线的离心率

典例引领

1.（2023•北京・高考真题）已知双曲线。的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为V2，则。的方程为.

2.（2024.上海.高考真题）三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的

双曲线的离心率为.

3.（2024•全国•高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,—4）,点（一6,4）在该双曲线上，则该双

曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.V2

4.（2022.浙江.高考真题）已知双曲线《一卷=l（a>0,b>0）的左焦点为尸，过尸且斜率为£的直线

交双曲线于点4（%的），交双曲线的渐近线于点B（x2,g）且伤<0V如若\FB\=3|E4|，则双曲线

的离心率是.

5.（2022•全国・高考真题）双曲线。的两个焦点为风月，以。的实轴为直径的圆记为。，过E作。的切线

与。交于W两点，且cos/Eg=1■，则。的离心率为（）

5

A中B.C.D.

2222

6.（2024•广东江苏•高考真题）设双曲线。：冬—与=l（a>0,b>0）的左右焦点分别为E、司，过E作平

ab

行于y轴的直线交。于4口两点，若㈤川=13,|=10,则。的离心率为

即时检测

I______________________

1.（2024•河南周口•模拟预测）已知双曲线。:与—《=l（a>0,b>0）的焦距与其虚轴长之比为3：2,则

滔b2

。的离心率为（）

A.V5B.C.D.乎

552

2.（2024.四川成都.模拟预测）双曲线。比—峭=i（巾>0）的一条渐近线为四化+0,则其离心率

m

为（）.

3.（2024・湖北武汉・模拟预测）已知双曲线用一/=19>0力>0）的一条渐近线的倾斜角为萼，则此

abo

双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

4.（2024•山东•模拟预测）已知双曲线E：三一%=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为E，月，过月的直

ab

线与E的右支交于两点，且|班|=2区网，若病-a§=0,则双曲线E的离心率为（）

A.V3B.C.D.

5.（2024•福建泉州.一模）0为坐标原点，双曲线E:%—告=l（a>0,6>0）的左焦点为E，点P在右上，

ab

直线PR与直线bx+ay=O相交于点Af,若\PM\=\MF^=2\MO\，则E的离心率为.

考点五、双曲线中的最值问题

典例引领

1.（22-23高三上•湖北黄冈•阶段练习）P为双曲线/—92=1左支上任意一点，即为圆C:（x-2）2+y2

=4的任意一条直径，则近•屈的最小值为（）

A.3B.4C.5D.9

2.（22-23高三下•江苏淮安•期中）已知风月分别为双曲线W—4=1的左、右焦点，P为双曲线右支

94

T二耳现最小值为（

上任一点，则）

A.19B.23C.25D.85

22

3.（22-23高二上•浙江湖州•期末）双曲线a-g?/=l（m>O,n>0）的离心率是2,左右焦点分别为后,

&P为双曲线左支上一点，则半号的最大值是（）

\PF,\

A.yB.2C.3D.4

即时检测

■一

1.（22—23高三下•福建泉州•阶段练习）双曲线。：/一靖=1的左、右顶点分别为4bp为。上一点，

直线24,与土=:分别交于河,N两点,KJ\MN\的最小值为.

2社2

2.（2022高三•全国・专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线%—3=1的右支上，则AB中

916

点M的横坐标的最小值为（）

A7R510333

A-yB-10C-IonD.万

3.（23—24高二下•江苏南京•期中）已知分别是双曲线C:《一号=1的左、右顶点，P是双曲线。

95

上的一动点，直线24,直线与2=2分别交于跖N两点，记△PMN,ARAB的外接圆面积分别为

S1,S2,则兽的最小值为（）

考点六、双曲线的简单应用

典例引领

1.（23-24高三上.江西.期末）阿波罗尼斯（约公元前262年〜约公元前190年），古希腊著名数学家，主

要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水

平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线

的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线。：可

—*=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为E，月，其离心率e=",从月发出的光线经过双曲线。的

b

右支上一点E的反射，反射光线为EP,若反射光线与入射光线垂直，则sin/^EE=（）

2.（22—23高二上•山东德州•期末）3。打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如

图所示的笔筒为3。打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐

层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒

外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（）

A.守山B.亨皿C.率海D.罕cm

8844

3.（2023•浙江杭州•二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些

光学性质.例如，点P为双曲线（E，月为焦点）上一点，点P处的切线平分NEFE.已知双曲线C：

亨—=1,O为坐标原点,1是点尸（3,平）处的切线,过左焦点E作，的垂线,垂足为河，则|。河|

即时检测

I__________________

4.（2024•全国•模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点

射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.如图，已

知双曲线的离心率为2,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点）,cos/EE尸

的值为（）

CV7+1

D.咛1

5.（2024•吉林延边•一模）祖眶是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幕势既同，则积不

容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所

截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，

了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.

现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为犷一,=1（-2W夕W1）,内部虚线为该双

曲线的渐近线，则该同学利用“祖晅原理”算得此冷却塔的体积为.

6.（2023•广东茂名•三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：片，用

是双曲线的左、右焦点，从后发出的光线山射在双曲线右支上一点P,经点P反射后，反射光线的反

向延长线过E；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点尸处的切线平分乙KPE.若双曲线。的方程为

卷一七=1，则下列结论正确的是（）

ylb

B.当时，IPEITP匆=32

C.当"过点Q（7,5）时，光线由月到尸再到Q所经过的路程为13

D.若点T坐标为（1,0）,直线PT与C相切，则炉匐=12

12.好题冲关•

.基础过关

1________

一、单选题

1.（23—24高三下•重庆•期中）已知双曲线4-4=l（b>0）的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为

12b

（）

A.y=±^-xB.y=±3xC.y=±V^xD.y=±—^-x

oo

2.（2024.湖南邵阳.模拟预测）若点（-3,4）在双曲线—4=l（a>0,fe>0）的一条渐近线上，则C

ao

的离心率为（）

A25口25「55

A-VB-16c-ynD-J

3.（2024.全国.模拟预测）设双曲线4一七=l（a>0/>0）的一个顶点坐标为（一方,0）,焦距为2底,

ab"

则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=+V2xB.y=+2xC.y=+-^~xD.y=+^-x

4.（2024高三上.全国.专题练习）已知双曲线。的左、右焦点分别是E,E,P是双曲线。上的一点，且

|。后|=5,上8|=3,/号至=120°,则双曲线。的离心率是（）

A.77C.7|7

5.（2024.全国.模拟预测）若双曲线《一%=l（a>0,b>0）的右焦点F（c,0）到其渐近线的距离为

ab

则该双曲线的离心率为（）

A.yB.乎C.V2D.2

6.（2024・四川•模拟预测）已知回，月分别为双曲线。的左、右焦点，过E的直线与双曲线。的左支交于

两点,若以囿=2|及B|,|48|=|班|,则cos/EBE=（）

A-i11B-l2c-fD-f2

7.（2024•全国•模拟预测）设椭圆三+耳=l（a>b>0）和双曲线《一£=1的离心率分别为生©,若

abab

5©（3,1）,则62的取值范围是（）

A.（1,个）B.（1,甲）C（学，+8）D.（甲,+8）

二、填空题

8.（2024.湖南岳阳.三模）已知双曲线。过点（1.V6）,且渐近线方程为u=±2t,则。的离心率为.

9.（2024高三・全国•专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E（—67,0）、£（”17,0）,|A1园一|A花|

=2,点河的轨迹为。，则C的方程为.

10.（2024高三・全国・专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程：

（1）过点43⑵和点B（2V3,1）的椭圆；

（2）焦点在t轴上，离心率为V2,且过点（-2,72）的双曲线.

能力提升

一、单选题

22

1.（2024•江西•模拟预测）已知E，鸟分别是双曲线。：今—%=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过E的直

一a2b2

线交双曲线左支于两点，人口，人月，1211乙4E吕=弓,则双曲线。的渐近线方程为（）

O

A.y=+^-xB.y^±V3xC.y=+^-xD.y=+^-x

2.（2024•山西太原•模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（0,-6），若动点P位于y轴右侧,

且到两定点E（—3,0）,用（3,0）的距离之差为定值4,则△APE周长的最小值为（）

A.3+4V5B.3+6V5C.4+475D.4+6V5

3.（2024•广东广州•模拟预测）已知双曲线C：4g=l（a>0,6>0）的右焦点为一条渐近线的方

ab

程为g=2以直线g=岫与。在第一象限内的交点为P.若\PF\=\PO\,则k的值为（）

13

4.（2024.湖南长沙.二模）已知4、B分别为双曲线C-.x2-^~=l的左、右顶点，过双曲线。的左焦点F

作直线PQ交双曲线于P、Q两点（点P、Q异于4B）,则直线的斜率之比七P：RBQ=

（）

A.—\B.—C.-3D.—

OO/

5.（2024.河北.三模）已知O是坐标原点，M■是双曲线!%=l（a>0,6>0）右支上任意一点，过点M

ab

作双曲线的切线，与其渐近线交于A,B两点，若△AOB的面积为十代则双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.V5D.2

6.（2024•陕西商洛•模拟预测）已知双曲线。:4一斗=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为E,吊，过百

ab

作直线与双曲线。的左、右两支分别交于4口两点.若的剧=日|力用，且cos/E3^=；，则双曲线

O4

。的离心率为（）

44

A.2B.为C.看D.3

OO

7.（2024•宁夏银川.二模）已知双曲线C:写一斗=13>0,6>0）,点B的坐标为（0,b）,若。上存在点P

a2b2

使得|P8|<b成立，则。的离心率取值范围是（）

A•[髻1，+8）B.[91,+8）C.（V2,+oo）D.（髻1,+句

二、填空题

8.（2024.浙江.模拟预测）已知双曲线C：4―当=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为E，&河为双曲

ab

线渐近线上的点，且加•圆狂=0,若园=211因I,则该双曲线的离心率e=.

22

9.（2024.辽宁・模拟预测）设O为坐标原点，片，鸟为双曲线C条—察=1的两个焦点，点P在。上，

96

cos/RP®=当则\OP\=

5---------

10.（2024.广西来宾.模拟预测）已知双曲线。:毛—%=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为月、月,若双曲

ab

线的左支上一点P满足叱器g=3,以用为圆心的圆与FiP的延长线相切于点双，且加=

S1Y1/P耳R-

3演,则双曲线的离心率为.

真题感赳—

1.（2024•天津・高考真题）双曲线考■—"=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为E、£.P是双曲线右支上

ab

一点,且直线PE的斜率为2.APE月是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

A，—8——2=T1及B_8—y4―T=1C0，28—T1D，48T―1

2社2

2.（2023•全国•高考真题）已知双曲线—与=1（。>0,6>0）的离心率为V5,。的一条渐近线与圆

ab

Q—2）2+3—3）2=1交于A,8两点，则|AB|=（）

3V5D.峥

5

3.（2023•全国•高考真题）设A,B为双曲线/—<=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是

（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(―1,—4)

4.（2023•天津・高考真题）已知双曲线三—斗=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片、月.过月向一条

ab

渐近线作垂线，垂足为尸.若上回=2,直线P用的斜率为彳，则双曲线的方程为（）

5.（2023•北京・高考真题）已知双曲线。的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为方,则。的方程为.

6.（2023•全国•高考真题）已知双曲线。的中心为坐标原点，左焦点为（—2西,0）,离心率为0.

（1）求。的方程；

（2）记。的左、右顶点分别为4,4,过点（—4,0）的直线与。的左支交于两点，河在第二象限,

直线M4与NA2交于点P.证明:点P在定直线上.

7.（2022•天津・高考真题）已知双曲线名—冬=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为用月,抛物线娟=

ab

4V5®的准线/经过同，且Z与双曲线的一条渐近线交于点A,若NFiF2A=j,则双曲线的方程为

（）

A.4=1B.4-£=1C.^--y2=lD.d—4=1

8.（2022.北京.高考真题）已知双曲线才+《=1的渐近线方程为y=士亭妨则m=.

9.（2022.全国.高考真题）若双曲线”—名=1（小＞o）的渐近线与圆田2+靖—49+3=0相切，则山=

m

2社2

10.（2022.全国.高考真题）记双曲线。:马—彳=1（。＞0,匕＞0）的离心率为‘,写出满足条件“直线'=

ab

2x与。无公共点”的e的一个值.

11.（2021•全国・高考真题）双曲线与—2=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为

45----------

12.（2021.全国.高考真题）若双曲线4g=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程

ab

13.（2021•北京・高考真题）若双曲线—4=1离心率为2,过点（2,g），则该双曲线的方程为

ab

（）

22°2

A.2x2-y2=lB.a;2-y=1C.5x2-3y2=l—=l

14.（2021•全国•高考真题）已知双曲线C:—-y2=l（m＞0）的一条渐近线为&+小沙=0,则C的焦距

m

为.

15.（2021.全国.高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点^（-717,0）＞^（717,0）,\MF^-\MF^=2,

点M的轨迹为C.

（1）求。的方程；

（2）设点T在直线2=］上，过T的两条直线分别交。于4B两点和P,Q两点，且|Z4|•\TB\=

llPHTQl，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

•M

双曲线方程陵其性质

R.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新，卷，第12题,5分求双曲线的离心率无

由递推关系证明等比数列

2024年新H卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标

向量夹角的坐标表示

利用定义解决双曲线中集点三角形问题

2023年新I卷，第16题,5分无

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

直线的点斜式方程及辨析

2023年新II卷，第21题,12分根据a、b、c求双曲线的标准方程

双曲线中的定直线问题

求双曲线中三角形（四边形）的面积问题

2022年新I卷，第21题,12分求双